El criterio de Sylvester

Criterio de definibilidad positiva de una matriz

En matemáticas, el criterio de Sylvester es un criterio necesario y suficiente para determinar si una matriz hermítica es positiva-definida.

El criterio de Sylvester establece que una matriz hermítica M n × n es definida positiva si y solo si todas las matrices siguientes tienen un determinante positivo :

• la esquina superior izquierda 1 por 1 de M ,
• la esquina superior izquierda de 2 por 2 de M ,
• la esquina superior izquierda de 3 por 3 de M ,
• ${\displaystyle {}\quad \vdots }$
• M en sí.

En otras palabras, todos los menores principales deben ser positivos. Mediante el uso de permutaciones apropiadas de filas y columnas de M , también se puede demostrar que la positividad de cualquier secuencia anidada de n menores principales de M es equivalente a que M sea definida positiva. ^[1]

Un teorema análogo se aplica para caracterizar matrices hermíticas semidefinidas positivas , excepto que ya no es suficiente considerar solo los menores principales principales como lo ilustra la matriz hermítica.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&-1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}\quad {\text{with eigenvectors}}\quad {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}.}$

Una matriz hermítica M es positiva-semidefinida si y sólo si todos los menores principales de M son no negativos. ^{[2] [3]}

Demostración para el caso de matrices definidas positivas

Supóngase que es una matriz hermítica . Sean las matrices menores principales, es decir, las matrices de la esquina superior izquierda. Se demostrará que si es definida positiva, entonces las matrices menores principales son positivas; es decir, para todo . ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M_{n}^{\dagger }=M_{n}}$ ${\displaystyle M_{k},k=1,\ldots n}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle \det M_{k}>0}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle M_{k}}$es positiva definida. De hecho, elegir

${\displaystyle x=\left({\begin{array}{c}x_{1}\\\vdots \\x_{k}\\0\\\vdots \\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}{\vec {x}}\\0\\\vdots \\0\end{array}}\right)}$

podemos observar que , de manera equivalente, los valores propios de son positivos, y esto implica que dado que el determinante es el producto de los valores propios. ${\displaystyle 0<x^{\dagger }M_{n}x={\vec {x}}^{\dagger }M_{k}{\vec {x}}.}$ ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle \det M_{k}>0}$

Para demostrar la implicación inversa, utilizamos la inducción . La forma general de una matriz hermítica es ${\displaystyle (n+1)\times (n+1)}$

${\displaystyle M_{n+1}=\left({\begin{array}{cc}M_{n}&{\vec {v}}\\{\vec {v}}^{\dagger }&d\end{array}}\right)\qquad (*)}$,

donde es una matriz hermítica, es un vector y es una constante real. ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle d}$

Supongamos que el criterio se cumple para . Suponiendo que todos los menores principales de son positivos implica que , , y que es definida positiva por la hipótesis inductiva. Denote ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle M_{n+1}}$ ${\displaystyle \det M_{n+1}>0}$ ${\displaystyle \det M_{n}>0}$ ${\displaystyle M_{n}}$

${\displaystyle x=\left({\begin{array}{c}{\vec {x}}\\x_{n+1}\end{array}}\right)}$

entonces

${\displaystyle x^{\dagger }M_{n+1}x={\vec {x}}^{\dagger }M_{n}{\vec {x}}+x_{n+1}{\vec {x}}^{\dagger }{\vec {v}}+{\bar {x}}_{n+1}{\vec {v}}^{\dagger }{\vec {x}}+d|x_{n+1}|^{2}}$

Completando los cuadrados, esta última expresión es igual a

${\displaystyle ({\vec {x}}^{\dagger }+{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\bar {x}}_{n+1})M_{n}({\vec {x}}+x_{n+1}M_{n}^{-1}{\vec {v}})-|x_{n+1}|^{2}{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}}+d|x_{n+1}|^{2}}$

${\displaystyle =({\vec {x}}+{\vec {c}})^{\dagger }M_{n}({\vec {x}}+{\vec {c}})+|x_{n+1}|^{2}(d-{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}})}$

donde (nótese que existe porque los valores propios de son todos positivos). El primer término es positivo según la hipótesis inductiva. Ahora examinamos el signo del segundo término. Utilizando la fórmula del determinante de la matriz de bloques ${\displaystyle {\vec {c}}=x_{n+1}M_{n}^{-1}{\vec {v}}}$ ${\displaystyle M_{n}^{-1}}$ ${\displaystyle M_{n}}$

${\displaystyle \det \left({\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}}\right)=\det A\det(D-CA^{-1}B)}$

en obtenemos ${\displaystyle (*)}$

${\displaystyle \det M_{n+1}=\det M_{n}(d-{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}})>0}$, lo que implica . ${\displaystyle d-{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}}>0}$

Como consecuencia, ${\displaystyle x^{\dagger }M_{n+1}x>0.}$

Demostración para el caso de matrices semidefinidas positivas

Sea una matriz hermítica de n x n . Supongamos que es semidefinida. Básicamente, la misma prueba que para el caso que es estrictamente definida positiva muestra que todos los menores principales (no necesariamente los menores principales principales) son no negativos. ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle M_{n}}$

Para la implicación inversa, basta con mostrar que si tiene todos los menores principales no negativos, entonces para todo t>0 , todos los menores principales de la matriz hermítica son estrictamente positivos, donde es la matriz identidad n x n . De hecho, a partir del caso definido positivo, sabríamos que las matrices son estrictamente definidas positivas. Como el límite de las matrices definidas positivas es siempre semidefinidas positivas, podemos concluir. ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle M_{n}+tI_{n}}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle M_{n}+tI_{n}}$ ${\displaystyle t\to 0}$

Para demostrar esto, sea la k ésima submatriz principal principal de Sabemos que es un polinomio en t , relacionado con el polinomio característico mediante Usamos la identidad en Polinomio característico#Propiedades para escribir donde es la traza de la j ésima potencia exterior de ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle M_{n}.}$ ${\displaystyle q_{k}(t)=\det(M_{k}+tI_{k})}$ ${\displaystyle p_{M_{k}}}$ $${\displaystyle q_{k}(t)=(-1)^{k}p_{M_{k}}(-t).}$$ $${\displaystyle q_{k}(t)=\sum _{j=0}^{k}t^{k-j}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{j}M_{k}\right),}$$ ${\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{j}M_{k}\right)}$ ${\displaystyle M_{k}.}$

De Minor_(linear_algebra)#Multilinear_algebra_approach , sabemos que las entradas en la expansión matricial de (para j > 0 ) son solo los menores de En particular, las entradas diagonales son los menores principales de , que por supuesto también son menores principales de , y por lo tanto no son negativos. Dado que la traza de una matriz es la suma de las entradas diagonales, se deduce que Por lo tanto, el coeficiente de en no es negativo para todo j > 0. Para j = 0 , está claro que el coeficiente es 1. En particular, para todo t > 0 , que es lo que se requería demostrar. ${\displaystyle \bigwedge ^{j}M_{k}}$ ${\displaystyle M_{k}.}$ ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle M_{n}}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{j}M_{k}\right)\geq 0.}$$ ${\displaystyle t^{k-j}}$ ${\displaystyle q_{k}(t)}$ ${\displaystyle q_{k}(t)>0}$

Notas

1. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Análisis de matrices , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6. Véase el teorema 7.2.5.
2. Carl D. Meyer, Análisis de matrices y álgebra lineal aplicada. Véase la sección 7.6 Matrices definidas positivas , página 566
3. Prussing, John E. (1986), "La prueba principal menor para matrices semidefinidas" (PDF) , Journal of Guidance, Control, and Dynamics , 9 (1): 121–122, Bibcode :1986JGCD....9..121P, doi :10.2514/3.20077, archivado desde el original (PDF) el 2017-01-07 , consultado el 2017-09-28

Referencias

• Gilbert, George T. (1991), "Matrices definidas positivas y el criterio de Sylvester", The American Mathematical Monthly , 98 (1), Mathematical Association of America: 44–46, doi :10.2307/2324036, ISSN  0002-9890, JSTOR  2324036.
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Análisis de matrices , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6. Teorema 7.2.5.
• Carl D. Meyer (junio de 2000), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada , SIAM , ISBN 0-89871-454-0.