El álgebra multilineal es el estudio de funciones con múltiples argumentos con valores vectoriales , siendo las funciones aplicaciones lineales con respecto a cada argumento. Implica conceptos como matrices , tensores , multivectores , sistemas de ecuaciones lineales , espacios de dimensiones superiores , determinantes , productos internos y externos y espacios duales . Es una herramienta matemática utilizada en ingeniería , aprendizaje automático , física y matemáticas . [1]
Si bien muchos conceptos y aplicaciones teóricas involucran vectores únicos , matemáticos como Hermann Grassmann consideraron estructuras que involucran pares, tripletes y multivectores que generalizan vectores . Con múltiples posibilidades combinacionales, el espacio de multivectores se expande a 2 n dimensiones, donde n es la dimensión del espacio vectorial relevante. [2] El determinante se puede formular de forma abstracta utilizando las estructuras del álgebra multilineal.
El álgebra multilineal aparece en el estudio de la respuesta mecánica de los materiales a tensiones y deformaciones, involucrando varios módulos de elasticidad . El término " tensor " describe elementos dentro del espacio multilineal debido a su estructura añadida. A pesar de los primeros trabajos de Grassmann en 1844 con su Ausdehnungslehre , que también se volvió a publicar en 1862, el tema inicialmente no fue ampliamente comprendido, ya que incluso el álgebra lineal ordinaria planteaba muchos desafíos en ese momento.
Los conceptos de álgebra multilineal encuentran aplicaciones en ciertos estudios de cálculo multivariado y variedades , particularmente en lo que respecta a la matriz jacobiana . Los diferenciales infinitesimales que se encuentran en el cálculo de una sola variable se transforman en formas diferenciales en el cálculo multivariado , y su manipulación se lleva a cabo utilizando álgebra exterior . [3]
Siguiendo a Grassmann, Victor Schlegel realizó avances en álgebra multilineal en 1872 con la publicación de la primera parte de su System der Raumlehre [4] y Elwin Bruno Christoffel . En particular, se produjeron avances significativos gracias al trabajo de Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita , [5] particularmente en la forma de cálculo diferencial absoluto dentro del álgebra multilineal. Marcel Grossmann y Michele Besso introdujeron esta forma a Albert Einstein , y en 1915, la publicación de Einstein sobre la relatividad general , que explica la precesión del perihelio de Mercurio , estableció el álgebra multilineal y los tensores como importantes herramientas matemáticas en física.
En 1958, Nicolas Bourbaki incluyó un capítulo sobre álgebra multilineal titulado " Algèbre Multilinéaire " en su serie Éléments de mathématique , concretamente dentro del libro de álgebra. El capítulo cubre temas como funciones bilineales, el producto tensorial de dos módulos y las propiedades de los productos tensoriales. [6]
Los conceptos de álgebra multilineal encuentran aplicaciones en diversas áreas, que incluyen: