En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , un elemento idempotente o simplemente idempotente de un anillo es un elemento a tal que a 2 = a . [1] [a] Es decir, el elemento es idempotente bajo la multiplicación del anillo. Entonces, inductivamente también se puede concluir que a = a 2 = a 3 = a 4 = ... = a n para cualquier entero positivo n . Por ejemplo, un elemento idempotente de un anillo matricial es precisamente una matriz idempotente .
Para los anillos generales, los elementos idempotentes bajo multiplicación están involucrados en descomposiciones de módulos y están conectados a propiedades homológicas del anillo. En álgebra de Boole , los principales objetos de estudio son los anillos en los que todos los elementos son idempotentes tanto en la suma como en la multiplicación.
Se puede considerar el anillo de números enteros módulo n , donde n no tiene cuadrados . Según el teorema del resto chino , este anillo se factoriza en el producto de anillos de números enteros módulo p , donde p es primo . Ahora bien, cada uno de estos factores es un campo , por lo que está claro que los únicos idempotentes de los factores serán 0 y 1 . Es decir, cada factor tiene dos idempotentes. Entonces, si hay m factores, habrá 2 m idempotentes.
Podemos comprobar esto para los números enteros mod 6 , R = Z / 6 Z. Dado que 6 tiene dos factores primos ( 2 y 3 ), debería tener 2 2 idempotentes.
A partir de estos cálculos, 0 , 1 , 3 y 4 son idempotentes de este anillo, mientras que 2 y 5 no lo son. Esto también demuestra las propiedades de descomposición que se describen a continuación: debido a que 3 + 4 ≡ 1 (mod 6) , hay una descomposición del anillo 3 Z / 6 Z ⊕ 4 Z / 6 Z . En 3 Z /6 Z la identidad multiplicativa es 3 + 6 Z y en 4 Z /6 Z la identidad multiplicativa es 4 + 6 Z.
Dado un anillo R y un elemento f ∈ R tal que f 2 ≠ 0 , el anillo cociente
tiene el idempotente f . Por ejemplo, esto podría aplicarse a x ∈ Z [ x ] , o cualquier polinomio f ∈ k [ x 1 , ..., x n ] .
Hay un hiperboloide de idempotentes en el anillo del cuaternión dividido . [ cita necesaria ]
Una lista parcial de tipos importantes de idempotentes incluye:
Cualquier idempotente no trivial a es un divisor de cero (porque ab = 0 sin que a ni b sean cero, donde b = 1 − a ). Esto muestra que los dominios integrales y los anillos de división no tienen tales idempotentes. Los anillos locales tampoco tienen tales idempotentes, pero por una razón diferente. El único idempotente contenido en el radical de Jacobson de un anillo es 0 .
Los idempotentes de R tienen una conexión importante con la descomposición de los módulos R. Si M es un R -módulo y E = End R ( M ) es su anillo de endomorfismos , entonces A ⊕ B = M si y sólo si hay una única e idempotente en E tal que A = eM y B = (1 − mi ) M . Claramente entonces, M es directamente indescomponible si y sólo si 0 y 1 son los únicos idempotentes en E. [2]
En el caso en que M = R (se supone unital), el anillo de endomorfismo End R ( R ) = R , donde cada endomorfismo surge como multiplicación por la izquierda por un elemento de anillo fijo. Con esta modificación de notación, A ⊕ B = R como módulos derechos si y solo si existe un idempotente único e tal que eR = A y (1 − e ) R = B . Por tanto, toda suma directa de R es generada por un idempotente.
Si a es un idempotente central, entonces el anillo de la esquina aRa = Ra es un anillo con identidad multiplicativa a . Así como los idempotentes determinan las descomposiciones directas de R como módulo, los idempotentes centrales de R determinan las descomposiciones de R como suma directa de anillos. Si R es la suma directa de los anillos R 1 , ..., R n , entonces los elementos identidad de los anillos R i son idempotentes centrales en R , ortogonales por pares, y su suma es 1 . Por el contrario, dados idempotentes centrales a 1 , ..., an en R que son ortogonales por pares y tienen suma 1 , entonces R es la suma directa de los anillos Ra 1 , ..., Ra n . Entonces, en particular, cada idempotente central a en R da lugar a una descomposición de R como una suma directa de los anillos de las esquinas aRa y (1 − a ) R (1 − a ) . Como resultado, un anillo R es directamente indescomponible como anillo si y sólo si la identidad 1 es centralmente primitiva.
Trabajando inductivamente, se puede intentar descomponer 1 en una suma de elementos centralmente primitivos. Si 1 es centralmente primitivo, hemos terminado. Si no, es una suma de idempotentes ortogonales centrales, que a su vez son primitivos o sumas de más idempotentes centrales, y así sucesivamente. El problema que puede ocurrir es que esto continúe sin fin, produciendo una familia infinita de idempotentes ortogonales centrales. La condición " R no contiene conjuntos infinitos de idempotentes ortogonales centrales " es un tipo de condición de finitud en el anillo. Se puede conseguir de muchas maneras, como por ejemplo exigiendo que el anillo sea correcto noetheriano . Si existe una descomposición R = c 1 R ⊕ c 2 R ⊕ ... ⊕ c n R con cada c i un idempotente centralmente primitivo, entonces R es una suma directa de los anillos de las esquinas c i Rc i , cada uno de los cuales es un anillo irreducible. [3]
Para álgebras asociativas o álgebras de Jordan sobre un campo, la descomposición de Peirce es una descomposición de un álgebra como una suma de espacios propios de elementos idempotentes conmutantes.
Si a es un idempotente del anillo de endomorfismo End R ( M ) , entonces el endomorfismo f = 1 − 2 a es una involución del módulo R de M . Es decir, f es un homomorfismo de módulo R tal que f 2 es el endomorfismo identidad de M.
Un elemento idempotente a de R y su involución asociada f da lugar a dos involuciones del módulo R , dependiendo de si se ve a R como un módulo izquierdo o derecho. Si r representa un elemento arbitrario de R , f puede verse como un homomorfismo de módulo R derecho r ↦ fr de modo que ffr = r , o f también puede verse como un homomorfismo de módulo R izquierdo r ↦ rf , donde rff = r .
Este proceso se puede revertir si 2 es un elemento invertible de R : [b] si b es una involución, entonces 2 −1 (1 − b ) y 2 −1 (1 + b ) son idempotentes ortogonales, correspondientes a a y 1. − un . Así, para un anillo en el que 2 es invertible, los elementos idempotentes corresponden a involuciones de manera uno a uno.
La eliminación de los idempotentes también tiene consecuencias importantes para la categoría de módulos R. Todos los idempotentes elevan el módulo I si y solo si cada R sumando directo de R / I tiene una cobertura proyectiva como R -módulo. [4] Los idempotentes siempre levantan ideales y anillos de módulo nulo para los cuales R es I -ádicamente completo .
La elevación es más importante cuando I = J( R ) , el radical de Jacobson de R. Otra caracterización más de los anillos semiperfectos es que son anillos semilocales cuyos idempotentes elevan el módulo J( R ) . [5]
Se puede definir un orden parcial en los idempotentes de un anillo de la siguiente manera: si a y b son idempotentes, escribimos a ≤ b si y sólo si ab = ba = a . Con respecto a este orden, 0 es el idempotente más pequeño y 1 el más grande. Para idempotentes ortogonales a y b , a + b también es idempotente, y tenemos a ≤ a + b y b ≤ a + b . Los átomos de este orden parcial son precisamente los idempotentes primitivos. [6]
Cuando el orden parcial anterior se restringe a los idempotentes centrales de R , se puede dar una estructura reticular , o incluso una estructura de álgebra booleana . Para dos idempotentes centrales e y f , el complemento viene dado por
el encuentro esta dado por
y la unión está dada por
El orden ahora se vuelve simplemente e ≤ f si y solo si eR ⊆ f R , y la unión y el encuentro satisfacen ( e ∨ f ) R = eR + f R y ( e ∧ f ) R = eR ∩ f R = ( eR ) ( f R ) . Se muestra en Goodearl 1991, p. 99 que si R es regular de von Neumann y autoinyectivo derecho , entonces la red es una red completa .