Regla de Cramer

Fórmula para resolver sistemas de ecuaciones lineales

En álgebra lineal , la regla de Cramer es una fórmula explícita para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas, válida siempre que el sistema tenga una solución única. Expresa la solución en términos de los determinantes de la matriz de coeficientes (cuadrados) y de las matrices obtenidas a partir de ella reemplazando una columna por el vector columna de los lados derechos de las ecuaciones. Recibe su nombre en honor a Gabriel Cramer , quien publicó la regla para un número arbitrario de incógnitas en 1750, ^{[1] [2]} aunque Colin Maclaurin también publicó casos especiales de la regla en 1748, ^[3] y posiblemente la conocía ya en 1729. ^{[4] [5] [6]}

La regla de Cramer, implementada de forma ingenua, es computacionalmente ineficiente para sistemas de más de dos o tres ecuaciones. ^[7] En el caso de n ecuaciones en n incógnitas, requiere el cálculo de n + 1 determinantes, mientras que la eliminación gaussiana produce el resultado con la misma complejidad computacional que el cálculo de un solo determinante. ^{[8] [9] [ verificación necesaria ]} La regla de Cramer también puede ser numéricamente inestable incluso para sistemas 2×2. ^[10] Sin embargo, la regla de Cramer se puede implementar con la misma complejidad que la eliminación gaussiana , ^{[11] [12]} (requiere consistentemente el doble de operaciones aritméticas y tiene la misma estabilidad numérica cuando se aplican las mismas matrices de permutación).

Caso general

Consideremos un sistema de n ecuaciones lineales para n incógnitas, representadas en forma de multiplicación de matrices de la siguiente manera:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

donde la matriz A de n × n tiene un determinante distinto de cero y el vector es el vector columna de las variables. Entonces el teorema establece que en este caso el sistema tiene una solución única, cuyos valores individuales para las incógnitas están dados por: ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n}$

donde es la matriz formada al reemplazar la i -ésima columna de A por el vector columna b . ${\displaystyle A_{i}}$

Una versión más general de la regla de Cramer ^[13] considera la ecuación matricial

${\displaystyle AX=B}$

donde la matriz A de n × n tiene un determinante distinto de cero, y X , B son matrices de n × m . Dadas las sucesiones y , sea la submatriz k × k de X con filas en y columnas en . Sea la matriz de n × n formada al reemplazar la columna de A por la columna de B , para todo . Entonces ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq m}$ ${\displaystyle X_{I,J}}$ ${\displaystyle I:=(i_{1},\ldots ,i_{k})}$ ${\displaystyle J:=(j_{1},\ldots ,j_{k})}$ ${\displaystyle A_{B}(I,J)}$ ${\displaystyle i_{s}}$ ${\displaystyle j_{s}}$ ${\displaystyle s=1,\ldots ,k}$

${\displaystyle \det X_{I,J}={\frac {\det(A_{B}(I,J))}{\det(A)}}.}$

En este caso , esto se reduce a la regla normal de Cramer. ${\displaystyle k=1}$

La regla es válida para sistemas de ecuaciones con coeficientes e incógnitas en cualquier campo , no sólo en los números reales .

Prueba

La prueba de la regla de Cramer utiliza las siguientes propiedades de los determinantes : linealidad con respecto a cualquier columna dada y el hecho de que el determinante es cero siempre que dos columnas sean iguales, lo que está implícito en la propiedad de que el signo del determinante cambia si se intercambian dos columnas.

Fije el índice j de una columna y considere que las entradas de las otras columnas tienen valores fijos. Esto hace que el determinante sea una función de las entradas de la columna j . La linealidad con respecto a esta columna significa que esta función tiene la forma

${\displaystyle D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j},}$

donde son coeficientes que dependen de las entradas de A que no están en la columna j . Por lo tanto, se tiene ${\displaystyle C_{i,j}}$

${\displaystyle \det(A)=D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j}}$

( La expansión de Laplace proporciona una fórmula para calcular, pero su expresión no es importante aquí). ${\displaystyle C_{i,j}}$

Si la función se aplica a cualquier otra columna k de A , entonces el resultado es el determinante de la matriz obtenida de A al reemplazar la columna j por una copia de la columna k , por lo que el determinante resultante es 0 (el caso de dos columnas iguales). ${\displaystyle D_{j}}$

Consideremos ahora un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas , cuya matriz de coeficientes es A , y se supone que det( A ) no es cero: ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.\end{matrix}}}$

Si uno combina estas ecuaciones tomando C _{1, j} por la primera ecuación, más C _{2, j} por la segunda, y así sucesivamente hasta C _{n , j} por la última, entonces para cada k el coeficiente resultante de x _k se convierte en

${\displaystyle D_{j}(a_{1,k},\ldots ,a_{n,k}).}$

Entonces, todos los coeficientes se vuelven cero, excepto el coeficiente de que se convierte en . De manera similar, el coeficiente constante se convierte en y la ecuación resultante es, por lo tanto ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle \det(A).}$ ${\displaystyle D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),}$

${\displaystyle \det(A)x_{j}=D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),}$

lo que da el valor de como ${\displaystyle x_{j}}$

${\displaystyle x_{j}={\frac {1}{\det(A)}}D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}).}$

Como, por construcción, el numerador es el determinante de la matriz obtenida de A al reemplazar la columna j por b , obtenemos la expresión de la regla de Cramer como condición necesaria para una solución.

Queda por demostrar que estos valores para las incógnitas forman una solución. Sea M la matriz n × n que tiene los coeficientes de como la fila j , para (esta es la matriz adjunta para A ). Expresado en términos matriciales, tenemos que demostrar que ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {1}{\det(A)}}M\mathbf {b} }$

es una solución; es decir, que

${\displaystyle A\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\mathbf {b} =\mathbf {b} .}$

Para ello, basta con demostrar que

${\displaystyle A\,\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)=I_{n},}$

¿Dónde está la matriz identidad ? ${\displaystyle I_{n}}$

Las propiedades anteriores de las funciones muestran que se tiene MA = det( A ) I _n , y por lo tanto, ${\displaystyle D_{j}}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\,A=I_{n}.}$

Esto completa la prueba, ya que una inversa izquierda de una matriz cuadrada es también una inversa derecha (ver Teorema de la matriz invertible ).

Para otras pruebas, ver más abajo.

Encontrar la matriz inversa

Sea A una matriz n × n con entradas en un campo F . Entonces

${\displaystyle A\,\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\,A=\det(A)I}$

donde adj( A ) denota la matriz adjunta , det( A ) es el determinante e I es la matriz identidad . Si det( A ) es distinto de cero, entonces la matriz inversa de A es

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\operatorname {adj} (A).}$

Esto da una fórmula para la inversa de A , siempre que det( A ) ≠ 0. De hecho, esta fórmula funciona siempre que F sea un anillo conmutativo , siempre que det( A ) sea una unidad . Si det( A ) no es una unidad, entonces A no es invertible sobre el anillo (puede ser invertible sobre un anillo más grande en el que algunos elementos no unitarios de F pueden ser invertibles).

Aplicaciones

Fórmulas explícitas para sistemas pequeños

Consideremos el sistema lineal

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y&={\color {red}c_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y&={\color {red}c_{2}}\end{matrix}}\right.}$

que en formato matricial es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}c_{1}}\\{\color {red}c_{2}}\end{bmatrix}}.}$

Supongamos que a ₁ b ₂ − b ₁ a ₂ es distinto de cero. Entonces, con la ayuda de los determinantes , x e y se pueden hallar con la regla de Cramer como

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}{c_{1}}}&b_{1}\\{\color {red}{c_{2}}}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={{\color {red}c_{1}}b_{2}-b_{1}{\color {red}c_{2}} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}{c_{1}}}\\a_{2}&{\color {red}{c_{2}}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={a_{1}{\color {red}c_{2}}-{\color {red}c_{1}}a_{2} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\end{aligned}}.}$

Las reglas para matrices de 3 × 3 son similares. Dado

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z&={\color {red}d_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z&={\color {red}d_{2}}\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z&={\color {red}d_{3}}\end{matrix}}\right.}$

que en formato matricial es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}d_{1}}\\{\color {red}d_{2}}\\{\color {red}d_{3}}\end{bmatrix}}.}$

Luego los valores de x, y y z se pueden encontrar de la siguiente manera:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}d_{1}}&b_{1}&c_{1}\\{\color {red}d_{2}}&b_{2}&c_{2}\\{\color {red}d_{3}}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}d_{1}}&c_{1}\\a_{2}&{\color {red}d_{2}}&c_{2}\\a_{3}&{\color {red}d_{3}}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},{\text{ and }}z={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&{\color {red}d_{1}}\\a_{2}&b_{2}&{\color {red}d_{2}}\\a_{3}&b_{3}&{\color {red}d_{3}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}}.}$

Geometría diferencial

Cálculo de Ricci

La regla de Cramer se utiliza en el cálculo de Ricci en varios cálculos que involucran los símbolos de Christoffel de primer y segundo tipo. ^[14]

En particular, la regla de Cramer se puede utilizar para demostrar que el operador de divergencia en una variedad de Riemann es invariante con respecto al cambio de coordenadas. Damos una prueba directa, suprimiendo el papel de los símbolos de Christoffel. Sea una variedad de Riemann equipada con coordenadas locales . Sea un campo vectorial . Usamos la convención de suma en todo momento. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})}$ ${\displaystyle A=A^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

Teorema .

La divergencia de , ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {div} A={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(A^{i}{\sqrt {\det g}}\right),}$

es invariante bajo cambio de coordenadas.

Cálculo de derivadas implícitamente

Consideremos las dos ecuaciones y . Cuando u y v son variables independientes, podemos definir y ${\displaystyle F(x,y,u,v)=0}$ ${\displaystyle G(x,y,u,v)=0}$ ${\displaystyle x=X(u,v)}$ ${\displaystyle y=Y(u,v).}$

Se puede encontrar una ecuación para aplicando la regla de Cramer. ${\displaystyle {\dfrac {\partial x}{\partial u}}}$

Programación de enteros

La regla de Cramer se puede utilizar para demostrar que un problema de programación entera cuya matriz de restricción es totalmente unimodular y cuyo lado derecho es entero, tiene soluciones básicas enteras. Esto hace que el programa entero sea sustancialmente más fácil de resolver.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

La regla de Cramer se utiliza para derivar la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea mediante el método de variación de parámetros .

Interpretación geométrica

Interpretación geométrica de la regla de Cramer. Las áreas del segundo y tercer paralelogramo sombreado son iguales y el segundo es multiplicado por el primero. De esta igualdad se deduce la regla de Cramer. ${\displaystyle x_{1}}$

La regla de Cramer tiene una interpretación geométrica que puede considerarse también como una demostración o simplemente como una explicación de su naturaleza geométrica. Estos argumentos geométricos funcionan en general y no solo en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas que se presentan aquí.

Dado el sistema de ecuaciones

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=b_{2}\end{matrix}}}$

Puede considerarse como una ecuación entre vectores.

${\displaystyle x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}={\binom {b_{1}}{b_{2}}}.}$

El área del paralelogramo determinado por y viene dada por el determinante del sistema de ecuaciones: ${\displaystyle {\binom {a_{11}}{a_{21}}}}$ ${\displaystyle {\binom {a_{12}}{a_{22}}}}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}.}$

En general, cuando hay más variables y ecuaciones, el determinante de n vectores de longitud n dará el volumen del paralelepípedo determinado por esos vectores en el espacio euclidiano de n -ésima dimensión .

Por lo tanto, el área del paralelogramo determinado por y tiene que ser multiplicada por el área del primero, ya que uno de los lados se ha multiplicado por este factor. Ahora bien, este último paralelogramo, por el principio de Cavalieri , tiene la misma área que el paralelogramo determinado por y ${\displaystyle x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}}$ ${\displaystyle {\binom {a_{12}}{a_{22}}}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle {\binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}}$ ${\displaystyle {\binom {a_{12}}{a_{22}}}.}$

Igualando las áreas de este último y el segundo paralelogramo se obtiene la ecuación

${\displaystyle {\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}\\b_{2}&a_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}\\a_{21}x_{1}&a_{22}\end{vmatrix}}=x_{1}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}}$

de donde se sigue la regla de Cramer.

Otras pruebas

Una prueba mediante álgebra lineal abstracta

Esta es una reformulación de la prueba anterior en lenguaje abstracto.

Consideremos la función donde es la matriz con sustituida en la columna n, como en la regla de Cramer. Debido a la linealidad del determinante en cada columna, esta función es lineal. Observemos que envía la columna n de al vector base n (con 1 en el lugar n), porque el determinante de una matriz con una columna repetida es 0. Por lo tanto, tenemos una función lineal que concuerda con la inversa de en el espacio columna; por lo tanto, concuerda con en el espacio columnar. Como es invertible, los vectores columna abarcan todos los , por lo que nuestra función es realmente la inversa de . De ello se deduce la regla de Cramer. ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto {\frac {1}{\det A}}\left(\det(A_{1}),\ldots ,\det(A_{n})\right),}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,1,\ldots ,0)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$

Una prueba breve

Se puede dar una prueba corta de la regla de Cramer ^[15] observando que es el determinante de la matriz ${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle X_{1}={\begin{bmatrix}x_{1}&0&0&\cdots &0\\x_{2}&1&0&\cdots &0\\x_{3}&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

Por otra parte, suponiendo que nuestra matriz original A es invertible, esta matriz tiene columnas , donde es la n -ésima columna de la matriz A . Recordemos que la matriz tiene columnas , y por lo tanto . Por lo tanto, al utilizar que el determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes, tenemos ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle A^{-1}\mathbf {b} ,A^{-1}\mathbf {v} _{2},\ldots ,A^{-1}\mathbf {v} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{n}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ,\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$ ${\displaystyle X_{1}=A^{-1}A_{1}}$

${\displaystyle x_{1}=\det(X_{1})=\det(A^{-1})\det(A_{1})={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}.}$

La prueba para los demás es similar. ${\displaystyle x_{j}}$

Uso del álgebra geométrica

Casos inconsistentes e indeterminados

Se dice que un sistema de ecuaciones es inconsistente cuando no tiene soluciones y se dice que es indeterminado cuando tiene más de una solución. En el caso de las ecuaciones lineales, un sistema indeterminado tendrá infinitas soluciones (si se encuentra sobre un cuerpo infinito), ya que las soluciones se pueden expresar en términos de uno o más parámetros que pueden tomar valores arbitrarios.

La regla de Cramer se aplica al caso en que el determinante del coeficiente es distinto de cero. En el caso 2×2, si el determinante del coeficiente es cero, entonces el sistema es incompatible si los determinantes del numerador son distintos de cero, o indeterminado si los determinantes del numerador son cero.

En sistemas de 3×3 o superiores, lo único que se puede decir cuando el determinante del coeficiente es igual a cero es que si alguno de los determinantes del numerador es distinto de cero, entonces el sistema debe ser inconsistente. Sin embargo, que todos los determinantes sean cero no implica que el sistema sea indeterminado. Un ejemplo simple en el que todos los determinantes se anulan (son iguales a cero) pero el sistema sigue siendo incompatible es el sistema de 3×3 x + y + z = 1, x + y + z = 2, x + y + z = 3.

Véase también

• Teorema de Rouché-Capelli
• Eliminación gaussiana

Referencias

1. Cramer, Gabriel (1750). "Introducción al análisis de líneas Courbes algébriques" (en francés). Ginebra: Europea. págs. 656–659 . Consultado el 18 de mayo de 2012 .
2. Kosinski, AA (2001). "La regla de Cramer se debe a Cramer". Revista de Matemáticas . 74 (4): 310–312. doi :10.2307/2691101. JSTOR  2691101.
3. MacLaurin, Colin (1748). Tratado de álgebra, en tres partes.
4. Boyer, Carl B. (1968). Una historia de las matemáticas (2.ª ed.). Wiley. pág. 431.
5. Katz, Victor (2004). Una historia de las matemáticas (edición breve). Pearson Education. págs. 378–379.
6. Hedman, Bruce A. (1999). "Una fecha anterior para la "regla de Cramer"" (PDF) . Historia Mathematica . 26 (4): 365–368. doi :10.1006/hmat.1999.2247. S2CID  121056843.
7. David Poole (2014). Álgebra lineal: una introducción moderna . Cengage Learning. pág. 276. ISBN 978-1-285-98283-0.
8. Joe D. Hoffman; Steven Frankel (2001). Métodos numéricos para ingenieros y científicos, segunda edición . CRC Press. pág. 30. ISBN 978-0-8247-0443-8.
9. Thomas S. Shores (2007). Álgebra lineal aplicada y análisis matricial . Springer Science & Business Media. pág. 132. ISBN 978-0-387-48947-6.
10. Nicholas J. Higham (2002). Precisión y estabilidad de algoritmos numéricos: segunda edición . SIAM. pág. 13. ISBN 978-0-89871-521-7.
11. Ken Habgood; Itamar Arel (2012). "Una aplicación basada en condensación de la regla de Cramer para resolver sistemas lineales a gran escala". Journal of Discrete Algorithms . 10 : 98–109. doi : 10.1016/j.jda.2011.06.007 .
12. GIMalaschonok (1983). "Solución de un sistema de ecuaciones lineales en un anillo integral". Revista de Matemáticas y Física de la URSS 23 : 1497–1500 . arXiv : 1711.09452 .
13. Zhiming Gong; M. Aldeen; L. Elsner (2002). "Una nota sobre una regla de Cramer generalizada". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 340 (1–3): 253–254. doi : 10.1016/S0024-3795(01)00469-4 .
14. Levi-Civita, Tullio (1926). El cálculo diferencial absoluto (Cálculo de tensores) . Dover. pp. 111–112. ISBN 9780486634012.
15. Robinson, Stephen M. (1970). "Una breve demostración de la regla de Cramer". Revista de Matemáticas . 43 (2): 94–95. doi :10.1080/0025570X.1970.11976018.

Enlaces externos

• Prueba de la regla de Cramer Archivado el 22 de septiembre de 2015 en Wayback Machine.
• Aplicación web que resuelve de forma descriptiva sistemas de ecuaciones lineales con la regla de Cramer
• Calculadora en línea de sistemas de ecuaciones lineales
• Explicación de Wolfram MathWorld sobre este tema