El axioma de reducibilidad fue introducido por Bertrand Russell a principios del siglo XX como parte de su teoría ramificada de tipos . Russell ideó e introdujo el axioma en un intento de gestionar las contradicciones que había descubierto en su análisis de la teoría de conjuntos . [1]
Con el descubrimiento de Russell (1901, 1902) [2] de una paradoja en el Begriffsschrift de Gottlob Frege de 1879 y el reconocimiento de la misma por parte de Frege (1902), Russell introdujo tentativamente su solución como "Apéndice B: Doctrina de tipos" en su obra de 1903 Los principios. de Matemáticas . [3] Esta contradicción puede expresarse como "la clase de todas las clases que no se contienen a sí mismas como elementos". [4] Al final de este apéndice, Russell afirma que su "doctrina" resolvería el problema inmediato planteado por Frege, pero "hay al menos una contradicción estrechamente análoga que probablemente no sea soluble con esta doctrina. La totalidad de todos los objetos lógicos , o de todas las proposiciones, implica, parecería una dificultad lógica fundamental. Cuál puede ser la solución completa de la dificultad, no he logrado descubrir; pero afecta a los fundamentos mismos del razonamiento..." [5 ]
En el momento de su Lógica matemática de 1908 basada en la teoría de tipos [6] Russell había estudiado "las contradicciones" (entre ellas la paradoja de Epiménides , la paradoja de Burali-Forti y la paradoja de Richard ) y concluyó que "En todas las contradicciones hay una característica común, que podemos describir como autorreferencia o reflexividad". [7]
En 1903, Russell definió las funciones predicativas como aquellas cuyo orden es uno más que la función de orden más alto que aparece en la expresión de la función. Si bien estaban bien para la situación, las funciones impredicativas tuvieron que ser rechazadas:
Una función cuyo argumento es un individuo y cuyo valor es siempre una proposición de primer orden se llamará función de primer orden. Una función que incluya una función o proposición de primer orden como variable aparente se denominará función de segundo orden, y así sucesivamente. Una función de una variable que es del orden inmediatamente superior al de su argumento se llamará función predicativa ; se le dará el mismo nombre a una función de varias variables [etc]. [8]
Repite esta definición de una manera ligeramente diferente más adelante en el artículo (junto con una prohibición sutil que expresarían más claramente en 1913):
Una función predicativa de x es aquella cuyos valores son proposiciones del tipo inmediatamente superior al de x , si x es un individuo o una proposición, o el de valores de x si x es una función. Puede describirse como aquel en el que las variables aparentes, si las hay, son todas del mismo tipo que x o de tipo inferior; y una variable es de tipo inferior a x si puede aparecer significativamente como argumento de x , o como argumento de un argumento de x , y así sucesivamente. [énfasis añadido] [9]
Este uso se traslada a los Principia Mathematica de Alfred North Whitehead y Russell de 1913 , donde los autores dedican una subsección completa de su Capítulo II: "La teoría de los tipos lógicos" al subcapítulo I. El principio del círculo vicioso : "Definiremos una función de uno variable como predicativa cuando es del orden inmediatamente superior al de su argumento, es decir, del orden más bajo compatible con que tenga ese argumento... Una función de varios argumentos es predicativa si uno de sus argumentos es tal que, cuando el otro "A los argumentos se les asignan valores, obtenemos una función predicativa del argumento indeterminado". [10]
Nuevamente proponen la definición de función predicativa como aquella que no viola la teoría de los tipos lógicos. De hecho, los autores afirman que tales violaciones son "incapaces [de lograr]" e "imposibles":
Así llegamos a la conclusión, tanto por el principio del círculo vicioso como por la inspección directa, de que las funciones para las cuales un objeto dado a puede ser un argumento son incapaces de ser argumentos entre sí, y que no tienen ningún término en común. con las funciones de las que pueden ser argumentos. Nos vemos así llevados a construir una jerarquía. [11]
Los autores subrayan la palabra imposible :
si no nos equivocamos, que no sólo es imposible que una función φz ^ tenga como argumento a sí misma o cualquier cosa derivada de ella, sino que, si ψz ^ es otra función tal existen argumentos a con los que tanto "φa" como " ψa" son significativos, entonces ψz ^ y cualquier cosa derivada de él no puede ser un argumento significativo para φz ^ . [12]
El axioma de reducibilidad establece que cualquier función de verdad (es decir, función proposicional ) puede expresarse mediante una función de verdad predicativa formalmente equivalente . Hizo su primera aparición en Lógica matemática de Bertrand Russell (1908) basada en la teoría de tipos , pero sólo después de unos cinco años de prueba y error. [13] En sus palabras:
Así, una función predicativa de un individuo es una función de primer orden; y para tipos superiores de argumentos, las funciones predicativas ocupan el lugar que ocupan las funciones de primer orden con respecto a los individuos. Suponemos entonces que toda función es equivalente, para todos sus valores, a alguna función predicativa del mismo argumento. Este supuesto parece ser la esencia del supuesto habitual de clases [conjuntos modernos]. . . Llamaremos a este supuesto axioma de clases o axioma de reducibilidad . [14]
Para las relaciones (funciones de dos variables como "Para todo x y para todo y, aquellos valores para los cuales f(x,y) es verdadero", es decir, ∀x∀y: f(x,y)), Russell asumió un axioma de relaciones , o [el mismo] axioma de reducibilidad .
En 1903, propuso un posible proceso para evaluar una función de dos posiciones comparando el proceso con la doble integración: uno tras otro, inserte en x valores definidos a m (es decir, la a j particular es "una constante" o un parámetro mantenido constante), luego evalúe f( a m , y n ) en todas las n instancias de y n posibles . Para todos y n evalúe f(a 1 , y n ), luego para todos y n evalúe f( a 2 , y n ), etc. hasta que se agoten todos los x = a m ). Esto crearía una matriz de valores m por n : VERDADERO o DESCONOCIDO. (En esta exposición, el uso de índices es una conveniencia moderna).
En 1908, Russell no hizo mención de esta matriz de valores x , y que hacen que una función de dos lugares (por ejemplo, una relación) sea VERDADERA, pero en 1913 introdujo un concepto similar a una matriz en "función". En *12 de Principia Mathematica (1913) define "una matriz" como "cualquier función, de cualquier número de variables, que no involucre ninguna variable aparente. Entonces, cualquier función posible que no sea una matriz se deriva de una matriz mediante generalización". , es decir, considerando la proposición que afirma que la función en cuestión es verdadera con todos los valores posibles o con algunos valores de uno de los argumentos, quedando el otro argumento o argumentos indeterminados". [15] Por ejemplo, si uno afirma que "∀y: f(x, y) es verdadero", entonces x es la variable aparente porque no está especificada.
Russell ahora define una matriz de "individuos" como una matriz de primer orden , y sigue un proceso similar para definir una matriz de segundo orden , etc. Finalmente, introduce la definición de función predicativa :
Se dice que una función es predicativa cuando es una matriz. Se observará que, en una jerarquía en la que todas las variables son individuos o matrices, una matriz es lo mismo que una función elemental [cf. 1913:127, es decir: la función no contiene variables aparentes]. ¶ "Matriz" o "función predicativa" es una idea primitiva. [dieciséis]
A partir de este razonamiento, utiliza la misma redacción para proponer los mismos axiomas de reducibilidad que en su 1908.
Aparte, Russell en su 1903 consideró, y luego rechazó, "la tentación de considerar una relación tan definible en extensión como una clase de parejas", [17] es decir, la noción moderna de la teoría de conjuntos de par ordenado . Una versión intuitiva de esta noción apareció en Begriffsschrift de Frege (1879) (traducido en van Heijenoort 1967:23); El 1903 de Russell siguió de cerca el trabajo de Frege (cf. Russell 1903:505ff). A Russell le preocupaba que "es necesario dar sentido a la pareja, distinguir el referente del relatum: así una pareja se vuelve esencialmente distinta de una clase de dos términos, y debe ser introducida como una idea primitiva. Parecería, considerando "La idea, filosóficamente, de que el sentido sólo puede derivarse de alguna proposición relacional... parece, por lo tanto, más correcto adoptar una visión intensional de las relaciones e identificarlas más bien con conceptos de clase que con clases". [18] Como se muestra a continuación, Norbert Wiener (1914) redujo la noción de relación a clase mediante su definición de par ordenado.
La prohibición absoluta que implica el axioma de reducibilidad de Russell fue duramente criticada por Ernst Zermelo en sus Investigaciones sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos I de 1908 , herido como estaba por una exigencia similar a la de Russell que provenía de Poincaré :
Según Poincaré (1906, p. 307) una definición es "predicativa" y lógicamente admisible sólo si excluye todos los objetos que son "dependientes" de la noción definida, es decir, que pueden ser determinados de alguna manera por ella. [19]
Zermelo respondió:
Es muy posible que una definición se base en nociones equivalentes a la que se está definiendo; de hecho, en toda definición definiens y definiendum son nociones equivalentes, y la estricta observancia de la exigencia de Poincaré haría imposible toda definición, y por tanto toda la ciencia. [20]
En su obra de 1914 Una simplificación de la lógica de las relaciones , Norbert Wiener eliminó la necesidad del axioma de reducibilidad aplicado a las relaciones entre dos variables x e y , por ejemplo, φ ( x , y ). Lo hizo introduciendo una forma de expresar una relación como un conjunto de pares ordenados: "Se verá que lo que hemos hecho es prácticamente volver al tratamiento de Schröder de una relación como una clase [conjunto] de pares ordenados". [21] Van Heijenoort observa que "[al] dar una definición del par ordenado de dos elementos en términos de operaciones de clase, la nota redujo la teoría de las relaciones a la de clases". [22] Pero Wiener opinó que si bien había despachado la versión de dos variables del axioma *12.11 de Russell y Whitehead, la versión de una sola variable del axioma de reducibilidad para (axioma *12.1 en Principia Mathematica ) todavía era necesaria. [23]
Ludwig Wittgenstein , mientras estaba encarcelado en un campo de prisioneros, terminó su Tractatus Logico-Philosophicus . Su introducción acredita "las grandes obras de Frege y los escritos de mi amigo Bertrand Russell". No es un intelectual modesto, afirmó que "la verdad de los pensamientos aquí comunicados me parece incuestionable y definitiva. Por lo tanto, soy de la opinión de que los problemas en lo esencial finalmente se han resuelto". [24] Entonces, dada tal actitud, no sorprende que la teoría de tipos de Russell sea criticada:
3.33
- En la sintaxis lógica, el significado de un signo nunca debería desempeñar un papel; debe admitirse establecido sin que por ello se haga mención del significado de un signo; debería presuponer sólo la descripción de las expresiones.
3.331
- A partir de esta observación obtenemos una visión más amplia: la teoría de tipos de Russell . El error de Russell se demuestra por el hecho de que al elaborar sus reglas simbólicas tiene que hablar del significado de los signos.
3.332
- Ninguna proposición puede decir nada sobre sí misma, porque el signo de la proposición no puede estar contenido en sí mismo (esa es "toda la teoría de los tipos").
3.333
- Una función no puede ser su propio argumento, porque el signo funcional ya contiene el prototipo de su propio argumento y no puede contenerse a sí mismo. ... Con esto la paradoja de Russell desaparece. [25]
Esto parece respaldar el mismo argumento que utiliza Russell para borrar su "paradoja". Este "usar los signos" para "hablar de los signos" lo critica Russell en su introducción que precedió a la traducción original al inglés:
Lo que causa dudas es el hecho de que, después de todo, Wittgenstein logra decir mucho sobre lo que no se puede decir, sugiriendo así al lector escéptico que posiblemente pueda haber algún resquicio a través de una jerarquía de lenguajes, o por alguna otra salida.
Este problema aparece más tarde, cuando Wittgenstein llega a esta suave negación del axioma de reducibilidad; una interpretación de lo siguiente es que Wittgenstein está diciendo que Russell ha cometido (lo que hoy se conoce como) un error categorial ; Russell ha afirmado (insertado en la teoría) una "ley adicional de la lógica" cuando todas las leyes (por ejemplo, el trazo ilimitado de Sheffer adoptado por Wittgenstein) ya han sido afirmadas:
6.123
- Está claro que las leyes de la lógica no pueden obedecer por sí mismas a otras leyes lógicas. (No existe, como suponía Russell, para cada "tipo" una ley especial de contradicción; pero una es suficiente, ya que no se aplica a sí mismo.)
6.1231
- La característica de las proposiciones lógicas no es su validez general. Ser general sólo es ser accidentalmente válido para todas las cosas. Una proposición no generalizada puede ser tan tautóloga como una generalizada.
6.1232
- La validez general lógica podríamos llamarla validez general esencial, en contraposición a la validez general accidental, por ejemplo, de la proposición "todos los hombres son mortales". Proposiciones como el "axioma de reducibilidad" de Russell no son proposiciones lógicas, y esto explica nuestra sensación de que, si son verdaderas, sólo pueden serlo por una feliz casualidad.
6.1233
- Podemos imaginar un mundo en el que el axioma de reducibilidad no sea válido. Pero está claro que la lógica no tiene nada que ver con la cuestión de si nuestro mundo es realmente de este tipo o no. [26]
Bertrand Russell en su Introducción a la Filosofía Matemática de 1919 , un complemento no matemático de su primera edición de PM , analiza su Axioma de reducibilidad en las clases del capítulo 17 (págs. 146 y siguientes). Concluye que "no podemos aceptar la "clase" como una idea primitiva; los símbolos de las clases son "meras conveniencias" y las clases son "ficciones lógicas o (como decimos) 'símbolos incompletos'... las clases no pueden considerarse parte del mobiliario último del mundo" (p. 146). La razón de esto es el problema de la impredicatividad: "las clases no pueden considerarse como una especie de individuos, debido a la contradicción acerca de las clases que no son miembros de sí mismas". ... y porque podemos demostrar que el número de clases es mayor que el número de individuos, [etc]". Lo que hace entonces es proponer 5 obligaciones que deben cumplirse respecto de una teoría de clases, y el resultado es su axioma de reducibilidad. Afirma que este axioma es "una forma generalizada de la identidad de indiscernibles de Leibniz" (p. 155). Pero concluye que el supuesto de Leibniz no es necesariamente cierto para todos los predicados posibles en todos los mundos posibles, por lo que concluye que:
No veo ninguna razón para creer que el axioma de reducibilidad sea lógicamente necesario, que es lo que significaría decir que es cierto en todos los mundos posibles. La admisión de este axioma en un sistema lógico es, por tanto, un defecto... una suposición dudosa. (pág.155)
El objetivo que se propone entonces es "adaptar su teoría" de evitar clases:
en su reducción de proposiciones nominalmente sobre clases a proposiciones sobre sus funciones definitorias. Evitar clases como entidades mediante este método debe, al parecer, ser sensato en principio, sin embargo, el detalle aún puede requerir ajustes. (pág.155)
Thoralf Skolem en sus Algunas observaciones sobre la teoría de conjuntos axiomatizada de 1922 adoptó una actitud poco positiva hacia "Russell y Whitehead" (es decir, su trabajo Principia Mathematica ):
Hasta ahora, hasta donde yo sé, sólo uno de esos sistemas de axiomas ha encontrado una aceptación bastante general, a saber, el construido por Zermelo (1908). Russell y Whitehead también construyeron un sistema de lógica que proporciona una base para la teoría de conjuntos; Sin embargo, si no me equivoco, los matemáticos se han interesado poco en ello. [27]
Skolem luego observa los problemas de lo que llamó "definición no predicativa" en la teoría de conjuntos de Zermelo: [28]
la dificultad es que tenemos que formar algunos conjuntos cuya existencia depende de todos los conjuntos... Poincaré llamó a este tipo de definición y la consideró como la verdadera debilidad lógica de la teoría de conjuntos. [29]
Si bien Skolem aborda principalmente un problema con la teoría de conjuntos de Zermelo, hace esta observación sobre el axioma de reducibilidad :
ellos [Russell y Whitehead] también se contentan simplemente con sortear la dificultad introduciendo una estipulación, el axioma de reducibilidad . En realidad, este axioma decreta que las estipulaciones no predicativas serán satisfechas. No hay pruebas de ello; además, hasta donde puedo ver, tal prueba debe ser imposible desde el punto de vista de Russell y Whitehead, así como desde el de Zermelo. [énfasis añadido] [30]
En su "Introducción" de 1927 a la segunda edición de Principia Mathematica , Russell critica su propio axioma:
Un punto respecto del cual es obviamente deseable mejorar es el axioma de reducibilidad (*12.1.11). Este axioma tiene una justificación puramente pragmática: conduce a los resultados deseados y no a otros. Pero está claro que no es el tipo de axioma con el que podamos contentarnos. Sin embargo, a este respecto no se puede decir que todavía se pueda obtener una solución satisfactoria. ... Hay otro curso recomendado por Wittgenstein† [† Tractatus Logico-Philosophicus , *5.54ff] por razones filosóficas. Esto es asumir que las funciones de las proposiciones son siempre funciones de verdad, y que una función sólo puede ocurrir como en una proposición a través de sus valores. Hay dificultades... Implica la consecuencia de que todas las funciones de funciones son extensionales. ... [Pero las consecuencias de su lógica son que] la teoría del infinito dedekindiano y del buen orden colapsa, de modo que los irracionales, y los números reales en general, ya no pueden tratarse adecuadamente. También la prueba de Cantor de que 2 n > n se descompone a menos que n sea finito. Quizás algún axioma adicional, menos objetable que el axioma de reducibilidad, podría dar estos resultados, pero no hemos logrado encontrar tal axioma. [31]
El 5.54ff de Wittgenstein se centra más en la noción de función :
5.54
- En la forma proposicional general, las proposiciones aparecen en una proposición sólo como bases de las operaciones de verdad.
5.541
- A primera vista parece como si también hubiera una manera diferente en que una proposición podría ocurrir en otra. ¶ Especialmente en ciertas formas proposicionales de la psicología, como "A piensa que p es el caso", o "A piensa p ", etc. ¶ Aquí parece superficialmente como si la proposición p estuviera con el objeto A en una especie de relación . ¶ (Y en la epistemología moderna [Russell, Moore, etc.] esas proposiciones han sido concebidas de esta manera.)
5.542
- Pero está claro que "A cree que p" , "A piensa p ", "A dice p ", son de la forma "' p ' piensa p "; y aquí no tenemos coordinación entre un hecho y un objeto, sino una coordinación de hechos mediante una coordinación de sus objetos.
5.5421 [etc: "Un alma compuesta ya no sería un alma."] 5.5422
- La explicación correcta de la forma de la proposición "A juzga p " debe mostrar que es imposible juzgar un sinsentido. (La teoría de Russell no satisface esta condición). [32]
Una posible interpretación de la postura de Wittgenstein es que el pensador A, es decir, ' p ' es idénticamente el pensamiento p , de esta manera el "alma" sigue siendo una unidad y no un compuesto. Entonces, decir "el pensamiento piensa el pensamiento" no tiene sentido, porque según 5.542 la expresión no especifica nada.
John von Neumann en su "Una axiomatización de la teoría de conjuntos" de 1925 luchó con los mismos problemas que Russell, Zermelo, Skolem y Fraenkel. Rechazó sumariamente el esfuerzo de Russell:
Aquí cabe mencionar a Russell, J. Konig, Weyl y Brouwer. Llegaron a resultados completamente diferentes [a los de los teóricos de conjuntos], pero el efecto general de su actividad me parece francamente devastador. En Russell, todas las matemáticas y la teoría de conjuntos parecen descansar sobre el altamente problemático "axioma de reducibilidad", mientras que Weyl y Brouwer rechazan sistemáticamente la mayor parte de las matemáticas y la teoría de conjuntos por considerarlas completamente carentes de sentido. [33]
Luego señala el trabajo de los teóricos de conjuntos Zermelo, Fraenkel y Schoenflies, en los que "por "conjunto" no se entiende nada más que un objeto del que no se sabe ni se quiere saber más que lo que se sigue de él a partir de los postulados. Los postulados [de la teoría de conjuntos] deben formularse de tal manera que de ellos se deriven todos los teoremas deseados de la teoría de conjuntos de Cantor, pero no las antinomias. [34]
Si bien menciona los esfuerzos de David Hilbert por demostrar la coherencia de su axiomatización de las matemáticas [35], von Neumann lo colocó en el mismo grupo que Russell. Más bien, von Neumann consideró que su propuesta estaba "en el espíritu del segundo grupo... Sin embargo, debemos evitar formar conjuntos reuniendo o separando elementos [durch Zusammenfassung oder Aussonderung von Elementen], etc., así como evitar el principio poco claro de 'definición' que todavía se puede encontrar en Zermelo. [...] Preferimos, sin embargo, axiomatizar no 'conjunto' sino 'función'". [36]
Van Heijenoort observa que, en última instancia, este sistema axiomático de von Neumann "fue simplificado, revisado y ampliado... y llegó a ser conocido como la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel". [37]
El sistema axiomático de David Hilbert que presenta en su libro de 1925 Los fundamentos de las matemáticas es la expresión madura de una tarea que emprendió a principios del siglo XX pero que dejó de lado por un tiempo (cf. su libro de 1904 Sobre los fundamentos de la lógica y la aritmética ). Su sistema no es teórico de conjuntos ni se deriva directamente de Russell y Whitehead. Más bien, invoca 13 axiomas de lógica: cuatro axiomas de implicación, seis axiomas de Y lógico y O lógico, 2 axiomas de negación lógica y 1 axioma ε (axioma de "existencia"), además de una versión de los axiomas de Peano en 4 axiomas que incluyen la inducción matemática , algunas definiciones que "tienen el carácter de axiomas y ciertos axiomas de recursividad que resultan de un esquema de recursividad general" [38] además de algunas reglas de formación que "gobiernan el uso de los axiomas". [39]
Hilbert afirma que, con respecto a este sistema, es decir, "la teoría de los fundamentos de Russell y Whitehead [,]... el fundamento que proporciona a las matemáticas descansa, primero, en el axioma del infinito y, luego, en lo que se llama el axioma de la reducibilidad, y ambos axiomas son supuestos de contenido genuinos que no están respaldados por una prueba de consistencia; son supuestos cuya validez de hecho sigue siendo dudosa y que, en cualquier caso, mi teoría no requiere... la reducibilidad no se presupone en mi teoría... la ejecución de la reducción sería necesaria sólo en caso de que se diera una prueba de una contradicción, y entonces, según mi teoría de la prueba, esta reducción siempre estaría destinada a tener éxito." [40]
Es sobre esta base que se basa la teoría moderna de la recursividad .
En 1925, Frank Plumpton Ramsey argumentó que no era necesario. [41] Sin embargo, en la segunda edición de Principia Mathematica (1927, página xiv) y en el artículo de Ramsey de 1926 [42] se afirma que ciertos teoremas sobre números reales no se pudieron demostrar utilizando el enfoque de Ramsey. La mayoría de los formalismos matemáticos posteriores ( el formalismo de Hilbert o el intuicionismo de Brower , por ejemplo) no lo utilizan.
Ramsey demostró que es posible reformular la definición de predicativo utilizando las definiciones del Tractatus Logico-Philosophicus de Wittgenstein . Como resultado, todas las funciones de un orden determinado son predicativas , independientemente de cómo se expresen. Continúa demostrando que su formulación aún evita las paradojas. Sin embargo, la teoría del "Tractatus" no parecía lo suficientemente sólida como para demostrar algunos resultados matemáticos.
Kurt Gödel en su libro La lógica matemática de Russell de 1944 ofrece, en palabras de su comentarista Charles Parsons, "[lo] que podría verse como una defensa de estas actitudes [realistas] de Russell contra el reduccionismo prominente en su filosofía e implícito en gran parte de su actual "Trabajo lógico. Fue quizás la defensa más sólida del realismo sobre las matemáticas y sus objetos desde las paradojas y llegó a la conciencia del mundo matemático después de 1900". [43]
En general, Gödel simpatiza con la noción de que una función proposicional puede reducirse (identificarse con) los objetos reales que la satisfacen, pero esto causa problemas con respecto a la teoría de los números reales, e incluso de los números enteros (p. 134). Observa que la primera edición de PM "abandonó" la "actitud" realista (constructivista) con su propuesta del axioma de reducibilidad (p. 133). Sin embargo, en la introducción a la segunda edición de PM (1927), Gödel afirma que "la actitud constructivista se retoma nuevamente" (p. 133) cuando Russell "abandonó" el axioma de reducibilidad en favor de la teoría matricial (de verdad funcional). ; Russell "declaró explícitamente que todos los predicados primitivos pertenecen al tipo inferior y que el único propósito de las variables (y evidentemente también de las constantes) es hacer posible afirmar funciones de verdad más complicadas de proposiciones atómicas... [es decir] las superiores Los tipos y órdenes son únicamente una façon de parler " (p. 134). Pero esto sólo funciona cuando el número de individuos y predicados primitivos es finito, ya que se pueden construir cadenas finitas de símbolos como:
Y a partir de tales cadenas se pueden formar cadenas de cadenas para obtener el equivalente de clases de clases, siendo posible una mezcla de tipos. Sin embargo, a partir de tales cadenas finitas no se puede construir toda la matemática porque no se pueden "analizar", es decir, reducir a la ley de identidad o refutar mediante negaciones de la ley:
Incluso la teoría de los números enteros es no analítica, siempre que se requiera que las reglas de eliminación permitan realmente llevar a cabo la eliminación en un número finito de pasos en cada caso. 44 ( 44 Porque esto implicaría la existencia de un procedimiento de decisión para todas las proposiciones aritméticas. Cf. Turing 1937 .) ... [Así] toda la matemática aplicada a oraciones de longitud infinita tiene que presuponerse para probar [la] analiticidad [de la teoría de los números enteros], por ejemplo, se puede demostrar que el axioma de elección es analítico sólo si se supone que es verdadero. (pág.139)
Pero observa que "este procedimiento parece presuponer la aritmética de una forma u otra" (p. 134), y afirma en el párrafo siguiente que "la cuestión de si (o en qué medida) la teoría de los números enteros puede obtenerse la base de la jerarquía ramificada debe considerarse como no resuelta." (pág.135)
Gödel propuso que se debería adoptar un "enfoque más conservador":
aclarar el significado de los términos "clase" y "concepto" y establecer una teoría coherente de clases y conceptos como entidades objetivamente existentes. Este es el curso que ha estado tomando el desarrollo actual de la lógica matemática... Entre los principales intentos en esta dirección... están la teoría simple de tipos... y la teoría axiomática de conjuntos, las cuales han tenido éxito al menos hasta el momento. hasta tal punto que permiten la derivación de las matemáticas modernas y al mismo tiempo evitan todas las paradojas conocidas. Sin embargo, muchos síntomas muestran demasiado claramente que los conceptos primitivos necesitan una mayor aclaración. (pág.140)
En una crítica que también analiza los pros y los contras de Ramsey (1931) [44] WVO Quine califica la formulación de "tipos" de Russell como "problemática... la confusión persiste mientras intenta definir ' proposiciones de n- ésimo orden'... ... el método es, en efecto, extrañamente tortuoso... el axioma de reducibilidad es modesto", etc. [45]
Al igual que Stephen Kleene , Quine observa que Ramsey (1926) [46] dividió las diversas paradojas en dos variedades (i) "las de la teoría pura de conjuntos" y (ii) las derivadas de "conceptos semánticos como la falsedad y la especificabilidad", y Ramsey Creía que la segunda variedad debería haberse dejado fuera de la solución de Russell. Quine termina con la opinión de que "debido a la confusión de proposiciones con oraciones y de atributos con sus expresiones, la supuesta solución de Russell a las paradojas semánticas era enigmática de todos modos". [47]
En su sección "§12. Primeras inferencias a partir de las paradojas" (subcapítulo "LOGICISMO"), Stephen Kleene (1952) rastrea el desarrollo de la teoría de tipos de Russell:
Para adaptar la construcción logicista [sic] de las matemáticas a la situación que surge del descubrimiento de las paradojas, Russell excluyó las definiciones impredicativas mediante su teoría ramificada de tipos (1908, 1910). [48]
Kleene observa que "para excluir definiciones impredicativas dentro de un tipo, los tipos por encima del tipo 0 [objetos o individuos primarios "no sujetos a análisis lógico"] se separan aún más en órdenes. Así, para el tipo 1 [propiedades de los individuos, es decir, resultados lógicos de la cálculo proposicional ], las propiedades definidas sin mencionar ninguna totalidad pertenecen al orden 0, y las propiedades definidas utilizando la totalidad de propiedades de un orden dado por debajo del siguiente orden superior)". [49]
Kleene, sin embargo, observa entre paréntesis que "la definición lógica de número natural ahora se vuelve predicativa cuando se especifica que la [propiedad] P en ella abarca sólo propiedades de un orden dado; en [este] caso, la propiedad de ser un número natural es del siguiente orden superior". [50] Pero esta separación en órdenes hace imposible construir el análisis familiar, que [ver el ejemplo de Kleene en Impredicatividad ] contiene definiciones impredicativas. Para evitar este resultado, Russell postuló su axioma de reducibilidad . [51] Pero, se pregunta Kleene, "¿sobre qué bases deberíamos creer en el axioma de reducibilidad?" [52] Observa que, mientras que los Principia Mathematica se presentan como derivados de axiomas derivados intuitivamente que "debían ser creídos sobre el mundo, o al menos aceptados como hipótesis plausibles sobre el mundo[,]... si las propiedades van a construirse, el asunto debe resolverse sobre la base de construcciones, no mediante un axioma". De hecho, cita a Whitehead y Russell (1927) cuestionando su propio axioma: "claramente no es el tipo de axioma con el que podemos estar contentos". [53]
Kleene hace referencia al trabajo de Ramsey 1926, pero señala que "ni Whitehead y Russell ni Ramsey lograron alcanzar el objetivo logicista de manera constructiva" y "una propuesta interesante... de Langford 1927 y Carnap 1931-2, tampoco está libre de dificultades". " [54] Kleene termina esta discusión con citas de Weyl (1946) de que "el sistema de Principia Mathematica ... [está fundado en] una especie de paraíso para los lógicos" y cualquiera "que esté dispuesto a creer en este 'mundo trascendental' podría Aceptamos también el sistema de la teoría de conjuntos axiomáticos (Zermelo, Fraenkel, etc.), que, para la deducción de las matemáticas, tiene la ventaja de ser más simple en su estructura." [55]
