En lógica matemática , la lógica algebraica es el razonamiento que se obtiene manipulando ecuaciones con variables libres .
Lo que ahora se suele llamar lógica algebraica clásica se centra en la identificación y descripción algebraica de modelos apropiados para el estudio de diversas lógicas (en forma de clases de álgebras que constituyen la semántica algebraica de estos sistemas deductivos ) y problemas relacionados como la representación y la dualidad. Resultados bien conocidos, como el teorema de representación de las álgebras booleanas y la dualidad de Stone, caen bajo el paraguas de la lógica algebraica clásica (Czelakowski 2003).
Los trabajos en la lógica algebraica abstracta (AAL) más reciente se centran en el proceso de algebraización en sí, como la clasificación de varias formas de algebraizabilidad utilizando el operador de Leibniz (Czelakowski 2003).
Una relación binaria homogénea se encuentra en el conjunto de potencias de X × X para algún conjunto X , mientras que una relación heterogénea se encuentra en el conjunto de potencias de X × Y , donde X ≠ Y. Si una relación dada es válida para dos individuos es un bit de información, por lo que las relaciones se estudian con aritmética booleana. Los elementos del conjunto de potencias están parcialmente ordenados por inclusión , y la red de estos conjuntos se convierte en un álgebra mediante la multiplicación relativa o la composición de relaciones .
"Las operaciones básicas son la unión, la intersección y la complementación de la teoría de conjuntos, la multiplicación relativa y la conversión". [1]
La conversión se refiere a la relación inversa que siempre existe, contrariamente a la teoría de funciones. Una relación dada puede representarse mediante una matriz lógica ; entonces la relación inversa está representada por la matriz transpuesta . Una relación obtenida como composición de otras dos se representa entonces mediante la matriz lógica obtenida mediante la multiplicación de matrices utilizando la aritmética booleana.
Un ejemplo de cálculo de relaciones surge en la erótica , la teoría de las preguntas. En el universo de los enunciados hay enunciados S y preguntas Q. Hay dos relaciones π y α de Q a S : q α a se cumple cuando a es una respuesta directa a la pregunta q . La otra relación, q π p, se cumple cuando p es una presuposición de la pregunta q . La relación inversa π T va de S a Q de modo que la composición π T α es una relación homogénea en S . [2] El arte de formular la pregunta correcta para obtener una respuesta suficiente se reconoce en el diálogo del método socrático .
La descripción de las propiedades clave de las relaciones binarias se ha formulado con el cálculo de relaciones. La propiedad de univalencia de las funciones describe una relación R que satisface la fórmula donde I es la relación de identidad en el rango de R. La propiedad inyectiva corresponde a la univalencia de , o la fórmula donde esta vez I es la identidad en el dominio de R .
Pero una relación univalente es sólo una función parcial , mientras que una relación univalente total es una función . La fórmula para la totalidad es Charles Loewner y Gunther Schmidt utilizan el término mapeo para una relación total y univalente. [3] [4]
La facilidad de las relaciones complementarias inspiró a Augustus De Morgan y Ernst Schröder a introducir equivalencias utilizando para el complemento de la relación R. Estas equivalencias proporcionan fórmulas alternativas para relaciones univalentes ( ) y relaciones totales ( ). Por lo tanto, las asignaciones satisfacen la fórmula. Schmidt usa este principio como "deslizarse por debajo de la negación desde la izquierda". [5] Para un mapeo f ,
Tarski trascendió la estructura del álgebra de relaciones , basada en la teoría de conjuntos, con axiomas que la describen. Luego preguntó si todo álgebra que satisficiera los axiomas podría representarse mediante una relación de conjuntos. La respuesta negativa [6] abrió la frontera de la lógica algebraica abstracta . [7] [8] [9]
La lógica algebraica trata las estructuras algebraicas , a menudo celosías acotadas , como modelos (interpretaciones) de ciertas lógicas , haciendo de la lógica una rama de la teoría del orden .
En lógica algebraica:
En la siguiente tabla, la columna de la izquierda contiene uno o más sistemas lógicos o matemáticos, y la estructura algebraica que son sus modelos se muestran a la derecha en la misma fila. Algunas de estas estructuras son álgebras de Boole o extensiones propias de las mismas. La lógica modal y otras lógicas no clásicas suelen modelarse mediante lo que se denomina "álgebras booleanas con operadores".
Los formalismos algebraicos que van más allá de la lógica de primer orden al menos en algunos aspectos incluyen:
La lógica algebraica es, quizás, el enfoque más antiguo de la lógica formal, y podría decirse que comienza con una serie de memorandos que Leibniz escribió en la década de 1680, algunos de los cuales fueron publicados en el siglo XIX y traducidos al inglés por Clarence Lewis en 1918. [10] : 291 –305 Pero casi todo el trabajo conocido de Leibniz sobre lógica algebraica no se publicó hasta 1903, después de que Louis Couturat lo descubriera en Nachlass de Leibniz . Parkinson (1966) y Loemker (1969) tradujeron al inglés selecciones del volumen de Couturat.
La lógica matemática moderna comenzó en 1847, con dos folletos cuyos autores respectivos fueron George Boole [11] y Augustus De Morgan . [12] En 1870 Charles Sanders Peirce publicó el primero de varios trabajos sobre la lógica de los relativos . Alexander Macfarlane publicó sus Principios del álgebra de la lógica [13] en 1879, y en 1883, Christine Ladd , estudiante de Peirce en la Universidad Johns Hopkins , publicó "Sobre el álgebra de la lógica". [14] La lógica se volvió más algebraica cuando las relaciones binarias se combinaron con la composición de relaciones . Para los conjuntos A y B , una relación entre A y B se representa como un miembro del conjunto potencia de A × B con propiedades descritas por el álgebra booleana . El "cálculo de relaciones" [9] es posiblemente la culminación del enfoque de Leibniz hacia la lógica. En la Hochschule Karlsruhe, Ernst Schröder describió el cálculo de relaciones . [15] En particular formuló las reglas de Schröder , aunque De Morgan las había anticipado con su Teorema K.
En 1903 Bertrand Russell desarrolló el cálculo de relaciones y el logicismo como su versión de la matemática pura basada en las operaciones del cálculo como nociones primitivas . [16] El "álgebra lógica de Boole-Schröder" fue desarrollado en la Universidad de California, Berkeley, en un libro de texto de Clarence Lewis en 1918. [10] Trató la lógica de las relaciones como derivada de las funciones proposicionales de dos o más variables.
Hugh MacColl , Gottlob Frege , Giuseppe Peano y AN Whitehead compartían el sueño de Leibniz de combinar la lógica simbólica , las matemáticas y la filosofía .
Algunos escritos de Leopold Löwenheim y Thoralf Skolem sobre lógica algebraica aparecieron después de la publicación de Principia Mathematica en 1910-13 , y Tarski revivió el interés en las relaciones con su ensayo de 1941 "Sobre el cálculo de relaciones". [9]
Según Helena Rasiowa , "En los años 1920-40, en particular en la escuela polaca de lógica, se realizaron investigaciones sobre cálculos proposicionales no clásicos mediante el llamado método de matrices lógicas . Dado que las matrices lógicas son determinadas álgebras abstractas, esto condujo a el uso de un método algebraico en lógica." [17]
Brady (2000) analiza las ricas conexiones históricas entre la lógica algebraica y la teoría de modelos . Los fundadores de la teoría de modelos, Ernst Schröder y Leopold Loewenheim, fueron lógicos de tradición algebraica. Alfred Tarski , el fundador de la teoría de modelos teóricos de conjuntos como una rama importante de la lógica matemática contemporánea, también:
En la práctica del cálculo de relaciones, Jacques Riguet utilizó la lógica algebraica para avanzar conceptos útiles: extendió el concepto de relación de equivalencia (en un conjunto) al caso heterogéneo con la noción de relación difuncional . Riguet también amplió el orden al contexto heterogéneo al señalar que una matriz lógica de escalera tiene un complemento que también es una escalera, y que el teorema de NM Ferrers se deriva de la interpretación de la transpuesta de una escalera. Riguet generó relaciones rectangulares tomando el producto exterior de vectores lógicos; estos contribuyen a los rectángulos no ampliables del análisis de conceptos formales .
Leibniz no tuvo influencia en el surgimiento de la lógica algebraica porque sus escritos lógicos fueron poco estudiados antes de las traducciones de Parkinson y Loemker. Nuestra comprensión actual de Leibniz como lógico surge principalmente del trabajo de Wolfgang Lenzen, resumido en Lenzen (2004). Para ver cómo el trabajo actual en lógica y metafísica puede inspirarse y arrojar luz sobre el pensamiento de Leibniz, véase Zalta (2000).
Perspectiva historica
