Extensión conservadora

En lógica matemática , una extensión conservadora es una superteoría de una teoría que suele ser conveniente para demostrar teoremas , pero no demuestra nuevos teoremas sobre el lenguaje de la teoría original. De manera similar, una extensión no conservadora es una superteoría que no es conservadora y puede demostrar más teoremas que la original.

Expresado de manera más formal, una teoría es una extensión conservadora ( de prueba teórica ) de una teoría si cada teorema de es un teorema de , y cualquier teorema de en el lenguaje de ya es un teorema de . ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$

De manera más general, si es un conjunto de fórmulas en el lenguaje común de y , entonces es -conservador sobre si cada fórmula de demostrable en también es demostrable en . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$

Nótese que una extensión conservadora de una teoría consistente es consistente. Si no lo fuera, entonces, por el principio de explosión , cada fórmula en el lenguaje de sería un teorema de , por lo que cada fórmula en el lenguaje de sería un teorema de , por lo que no sería consistente. Por lo tanto, las extensiones conservadoras no conllevan el riesgo de introducir nuevas inconsistencias. Esto también puede verse como una metodología para escribir y estructurar grandes teorías: comenzar con una teoría, , que se sabe (o se supone) que es consistente, y construir sucesivamente extensiones conservadoras , , ... de ella. ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$

Recientemente, se han utilizado extensiones conservadoras para definir una noción de módulo para ontologías ^{[ cita requerida ]} : si una ontología se formaliza como una teoría lógica, una subteoría es un módulo si toda la ontología es una extensión conservadora de la subteoría.

Una extensión que no es conservativa puede llamarse extensión propia .

Ejemplos

• ${\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}}$, un subsistema de la aritmética de segundo orden estudiado en matemáticas inversas , es una extensión conservadora de la aritmética de Peano de primer orden .
• Los subsistemas de la aritmética de segundo orden y son -conservadores sobre . ^[1] ${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}^{*}}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$ ${\displaystyle {\mathsf {EFA}}}$
• El subsistema es una extensión -conservadora de , y una sobre -conservadora ( aritmética recursiva primitiva ). ^[1] ${\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$ ${\displaystyle {\mathsf {PRA}}}$
• La teoría de conjuntos de von Neumann–Bernays–Gödel ( ) es una extensión conservadora de la teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel con el axioma de elección ( ). ${\displaystyle {\mathsf {NBG}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$
• La teoría de conjuntos internos es una extensión conservadora de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección ( ). ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$
• Las extensiones por definición son conservadoras.
• Las extensiones mediante símbolos de predicados o funciones sin restricciones son conservadoras.
• ${\displaystyle I\Sigma _{1}}$(un subsistema de la aritmética de Peano con inducción sólo para -fórmulas ) es una extensión -conservativa de . ^[2] ${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$ ${\displaystyle {\mathsf {PRA}}}$
• ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$es una extensión -conservadora del teorema de absolutismo de Shoenfield . ${\displaystyle \Sigma _{3}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$
• ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$con la hipótesis del continuo es una extensión -conservadora de . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \Pi _{1}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Extensión conservadora de la teoría de modelos

Con medios teóricos de modelos , se obtiene una noción más fuerte: una extensión de una teoría es conservadora en teoría de modelos si y cada modelo de puede expandirse a un modelo de . Cada extensión conservadora en teoría de modelos también es una extensión conservadora (en teoría de pruebas) en el sentido anterior. ^[3] La noción de teoría de modelos tiene la ventaja sobre la de teoría de pruebas de que no depende tanto del lenguaje en cuestión; por otro lado, suele ser más difícil establecer la conservatividad en teoría de modelos. ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}\subseteq T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$

Véase también

• Extensión por definiciones
• Extensión mediante nuevos nombres de constantes y funciones

Referencias

1. SG Simpson, RL Smith, "Factorización de polinomios y Σ 1 0 {\displaystyle \Sigma _{1}^{0}} -inducción" (1986). Anales de lógica pura y aplicada, vol. 31 (p.305)
2. Fernando Ferreira, Una demostración sencilla del teorema de Parsons. Notre Dame Journal of Formal Logic, vol. 46, n.º 1, 2005.
3. Hodges, Wilfrid (1997). Una teoría de modelos más breve . Cambridge: Cambridge University Press . Pág. 58. Ejercicio 8. ISBN. 978-0-521-58713-6.

Enlaces externos

• La importancia de las extensiones conservadoras para los fundamentos de las matemáticas