En lógica matemática , la lógica algebraica abstracta es el estudio de la algebrización de sistemas deductivos que surgen como una abstracción de la conocida álgebra de Lindenbaum-Tarski , y cómo las álgebras resultantes se relacionan con los sistemas lógicos. [1]
La asociación arquetípica de este tipo, fundamental para los orígenes históricos de la lógica algebraica y que se encuentra en el corazón de todas las subteorías desarrolladas posteriormente, es la asociación entre la clase de álgebras de Boole y el cálculo proposicional clásico . Esta asociación fue descubierta por George Boole en la década de 1850, y luego desarrollada y refinada por otros, especialmente CS Peirce y Ernst Schröder , desde la década de 1870 hasta la de 1890. Este trabajo culminó en las álgebras de Lindenbaum-Tarski , ideadas por Alfred Tarski y su estudiante Adolf Lindenbaum en la década de 1930. Más tarde, Tarski y sus estudiantes estadounidenses (cuyas filas incluyen a Don Pigozzi) descubrieron el álgebra cilíndrica , cuyas instancias representables algebraizan toda la lógica clásica de primer orden , y revivieron el álgebra de relaciones , cuyos modelos incluyen todas las teorías de conjuntos axiomáticos bien conocidas .
La lógica algebraica clásica, que comprende todo el trabajo sobre lógica algebraica hasta aproximadamente 1960, estudiaba las propiedades de clases específicas de álgebras utilizadas para "algebraizar" sistemas lógicos específicos de particular interés para investigaciones lógicas específicas. En general, se descubrió que el álgebra asociada con un sistema lógico era un tipo de retículo , posiblemente enriquecido con una o más operaciones unarias distintas de la complementación de retículo .
La lógica algebraica abstracta es una subárea moderna de la lógica algebraica que surgió en Polonia durante los años 1950 y 1960 con el trabajo de Helena Rasiowa , Roman Sikorski , Jerzy Łoś y Roman Suszko (por nombrar algunos). Alcanzó su madurez en la década de 1980 con las publicaciones seminales del lógico polaco Janusz Czelakowski, el lógico holandés Wim Blok y el lógico estadounidense Don Pigozzi. El enfoque de la lógica algebraica abstracta pasó del estudio de clases específicas de álgebras asociadas con sistemas lógicos específicos (el enfoque de la lógica algebraica clásica), al estudio de:
El paso de la lógica algebraica clásica a la lógica algebraica abstracta puede compararse con el paso del álgebra "moderna" o abstracta (es decir, el estudio de grupos , anillos , módulos , campos , etc.) al álgebra universal (el estudio de clases de álgebras de tipos de similitud arbitrarios ( firmas algebraicas ) que satisfacen propiedades abstractas específicas).
Las dos motivaciones principales para el desarrollo de la lógica algebraica abstracta están estrechamente relacionadas con los puntos (1) y (3) mencionados anteriormente. Con respecto a (1), un paso crítico en la transición fue iniciado por el trabajo de Rasiowa. Su objetivo era abstraer los resultados y métodos que se sabía que eran válidos para el cálculo proposicional clásico y las álgebras de Boole y algunos otros sistemas lógicos estrechamente relacionados, de tal manera que estos resultados y métodos pudieran aplicarse a una variedad mucho más amplia de lógicas proposicionales.
(3) debe mucho al trabajo conjunto de Blok y Pigozzi, que exploran las diferentes formas que el conocido teorema de deducción del cálculo proposicional clásico y la lógica de primer orden adopta en una amplia variedad de sistemas lógicos. Relacionaron estas diversas formas del teorema de deducción con las propiedades de las contrapartes algebraicas de estos sistemas lógicos.
La lógica algebraica abstracta se ha convertido en un subcampo bien establecido de la lógica algebraica, con muchos resultados profundos e interesantes. Estos resultados explican muchas propiedades de diferentes clases de sistemas lógicos que anteriormente solo se explicaban caso por caso o estaban envueltas en misterio. Tal vez el logro más importante de la lógica algebraica abstracta haya sido la clasificación de las lógicas proposicionales en una jerarquía , llamada jerarquía algebraica abstracta o jerarquía de Leibniz, cuyos diferentes niveles reflejan aproximadamente la fuerza de los vínculos entre una lógica en un nivel particular y su clase asociada de álgebras. La posición de una lógica en esta jerarquía determina el grado en que esa lógica puede estudiarse utilizando métodos y técnicas algebraicas conocidas. Una vez que se asigna una lógica a un nivel de esta jerarquía, se puede recurrir al poderoso arsenal de resultados, acumulados durante los últimos 30 años, que gobiernan las álgebras situadas en el mismo nivel de la jerarquía.
Los términos similares "lógica algebraica general" y "lógica algebraica universal" se refieren al enfoque de la Escuela Húngara que incluye a Hajnal Andréka , István Németi y otros.