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axiomas de hilbert

Los axiomas de Hilbert son un conjunto de 20 supuestos propuestos por David Hilbert en 1899 en su libro Grundlagen der Geometrie [1] [2] [3] [4] (tr. Los fundamentos de la geometría ) como base para un tratamiento moderno de la geometría euclidiana. . Otras axiomatizaciones modernas muy conocidas de la geometría euclidiana son las de Alfred Tarski y George Birkhoff .

los axiomas

El sistema de axiomas de Hilbert se construye con seis nociones primitivas : tres términos primitivos: [5]

y tres relaciones primitivas : [6]

Los segmentos de línea, los ángulos y los triángulos pueden definirse en términos de puntos y líneas rectas, utilizando las relaciones de intermediación y contención. Todos los puntos, líneas rectas y planos de los siguientes axiomas son distintos a menos que se indique lo contrario.

I. Incidencia

  1. Por cada dos puntos A y B existe una recta a que los contiene a ambos. Escribimos AB = a o BA = a . En lugar de "contiene", también podemos emplear otras formas de expresión; por ejemplo, podemos decir " A se encuentra sobre a ", " A es un punto de a ", " a pasa por A y por B ", " a une A con B ", etc. Si A se encuentra sobre a y en el Al mismo tiempo, sobre otra línea b , utilizamos también la expresión: "Las líneas a y b tienen en común el punto A ", etc.
  2. Por cada dos puntos no existe más de una recta que los contenga a ambos; en consecuencia, si AB = a y AC = a , donde B ≠ C , entonces también BC = a .
  3. Existen al menos dos puntos en una línea. Existen al menos tres puntos que no se encuentran en la misma recta.
  4. Por cada tres puntos A , B , C no situados en la misma recta existe un plano α que los contiene a todos. Para cada plano existe un punto que se encuentra sobre él. Escribimos ABC = α . Empleamos también las expresiones: " A , B , C se encuentran en α "; " A , B , C son puntos de α ", etc.
  5. Por cada tres puntos A , B , C que no se encuentran en la misma recta, no existe más que un plano que los contenga a todos.
  6. Si dos puntos A , B de una recta a se encuentran en un plano α , entonces cada punto de a se encuentra en α . En este caso decimos: "La recta a se encuentra en el plano α ", etc.
  7. Si dos planos α , β tienen un punto A en común, entonces tienen al menos un segundo punto B en común.
  8. Existen al menos cuatro puntos que no se encuentran en un plano.

II. Orden

  1. Si un punto B se encuentra entre los puntos A y C , B también está entre C y A , y existe una línea que contiene los distintos puntos A , B , C.
  2. Si A y C son dos puntos, entonces existe al menos un punto B en la recta AC tal que C se encuentra entre A y B. [7]
  3. De tres puntos cualesquiera situados en una recta, no hay más que uno que se encuentre entre los otros dos. [8]
  4. Axioma de Pasch : Sean A , B , C tres puntos que no están en la misma línea y sea a una línea que se encuentra en el plano ABC y que no pasa por ninguno de los puntos A , B , C. Entonces, si la recta a pasa por un punto del segmento AB , también pasará por un punto del segmento BC o por un punto del segmento AC .

III. Congruencia

  1. Si A , B son dos puntos de una recta a , y si A ′ es un punto de la misma recta a ′ o de otra, entonces, sobre un lado dado de A ′ de la recta a ′, siempre podemos encontrar un punto B ′ de modo que el segmento AB sea congruente con el segmento A ′ B ′. Indicamos esta relación escribiendo AB ≅ A ′ B ′ . Cada segmento es congruente consigo mismo; es decir, siempre tenemos AB ≅ AB .
    Podemos enunciar brevemente el axioma anterior diciendo que cada segmento se puede colocar en un lado dado de un punto dado de una línea recta dada en al menos una forma.
  2. Si un segmento AB es congruente con el segmento A ′ B ′ y también con el segmento A ″ B ″, entonces el segmento A ′ B ′ es congruente con el segmento A ″ B ″; es decir, si AB ≅ A ′ B ′ y AB ≅ A ″ B ″ , entonces A ′ B ′ ≅ A ″ B ″ .
  3. Sean AB y BC dos segmentos de una recta a que no tienen puntos en común aparte del punto B , y, además, sean A ′ B ′ y B ′ C ′ dos segmentos de la misma o de otra recta a ′ que tienen , asimismo, ningún otro punto en común que B ′. Entonces, si AB ≅ A ′ B ′ y BC ≅ B ′ C ′ , tenemos AC ≅ A ′ C ′ .
  4. Sea un ángulo ∠ ( h , k ) en el plano α y una recta a ′ en un plano α ′. Supongamos también que en el plano α ′ se asigna un lado definido de la recta a ′. Denotemos por h ′ un rayo de la recta a ′ que emana de un punto O ′ de esta recta. Entonces en el plano α ′ existe uno y sólo un rayo k ′ tal que el ángulo ∠ ( h , k ) , o ∠ ( k , h ) , es congruente con el ángulo ∠ ( h ′, k ′ ) y en el Al mismo tiempo, todos los puntos interiores del ángulo ∠ ( h ′, k ′) se encuentran en el lado dado de a ′. Expresamos esta relación mediante la notación ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) .
  5. Si el ángulo ∠ ( h , k ) es congruente con el ángulo ∠ ( h ′, k ′ ) y con el ángulo ∠ ( h ″, k ″) , entonces el ángulo ∠ ( h ′, k ′) es congruente con el ángulo ∠ ( h ″, k ″) ; es decir, si ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) y ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ″, k ″) , entonces ∠ ( h ′, k ′) ≅ ∠ ( h '', k '') .
  6. Si en los dos triángulos ABC y A ′ B ′ C ′ se cumplen las congruencias AB ≅ A ′ B ′ , AC ≅ A ′ C ′ , ∠ BAC ≅ ∠ B ′ A ′ C ′ , entonces la congruencia ∠ ABC ≅ ∠ A ′ B ′ C ′ se cumple (y, mediante un cambio de notación, se deduce que ∠ ACB ≅ ∠ A ′ C ′ B ′ también se cumple).

IV. Paralelas

  1. Axioma de Euclides : [9] Sea a cualquier recta y A un punto que no se encuentra en ella. Entonces hay como máximo una recta en el plano, determinada por a y A , que pasa por A y no corta a a .

V. Continuidad

  1. Axioma de Arquímedes : Si AB y CD son segmentos, entonces existe un número n tal que n segmentos CD construidos contiguamente desde A , a lo largo del rayo de A a B , pasarán más allá del punto B.
  2. Axioma de completitud de línea : una extensión (una línea extendida a partir de una línea que ya existe, generalmente utilizada en geometría) de un conjunto de puntos en una línea con sus relaciones de orden y congruencia que preservarían las relaciones existentes entre los elementos originales, así como Las propiedades fundamentales del orden de las líneas y la congruencia que se derivan de los axiomas I-III y de V-1 son imposibles.

El axioma descartado de Hilbert

Hilbert (1899) incluyó un axioma número 21 que decía lo siguiente:

II.4. Cualesquiera cuatro puntos A , B , C , D de una línea siempre pueden etiquetarse de modo que B esté entre A y C y también entre A y D , y, además, que C esté entre A y D y también entre B y D .

Este enunciado también se conoce como teorema de Pasch .

EH Moore y RL Moore demostraron de forma independiente que este axioma es redundante, y el primero publicó este resultado en un artículo que apareció en Transactions of the American Mathematical Society en 1902. [10]

Antes de esto, el axioma de Pasch , ahora listado como II.4, estaba numerado como II.5.

Ediciones y traducciones de Grundlagen der Geometrie

La monografía original, basada en sus propias conferencias, fue organizada y escrita por Hilbert para un discurso conmemorativo pronunciado en 1899. A esto siguió rápidamente una traducción al francés, en la que Hilbert añadió V.2, el axioma de completitud. EJ Townsend realizó una traducción al inglés, autorizada por Hilbert, con derechos de autor en 1902. Esta traducción incorporó los cambios realizados en la traducción al francés y, por lo tanto, se considera una traducción de la segunda edición. Hilbert continuó haciendo cambios en el texto y aparecieron varias ediciones en alemán. La séptima edición fue la última que apareció en vida de Hilbert. En el prefacio de esta edición Hilbert escribió:

"La presente séptima edición de mi libro Fundamentos de Geometría aporta mejoras y adiciones considerables a la edición anterior, en parte de mis conferencias posteriores sobre este tema y en parte de mejoras realizadas mientras tanto por otros escritores. El texto principal del libro ha sido revisado respectivamente."

A la séptima siguieron nuevas ediciones, pero el texto principal esencialmente no fue revisado. Las modificaciones en estas ediciones se producen en los apéndices y en los suplementos. Los cambios en el texto fueron grandes en comparación con el original y Open Court Publishers, que había publicado la traducción de Townsend, encargó una nueva traducción al inglés. Entonces, la segunda edición en inglés fue traducida por Leo Unger de la décima edición alemana en 1971. Esta traducción incorpora varias revisiones y ampliaciones de las ediciones alemanas posteriores de Paul Bernays.

La traducción de Unger se diferencia de la traducción de Townsend con respecto a los axiomas en los siguientes aspectos:

Axioma de completitud . A un sistema de puntos, rectas y planos, es imposible añadir otros elementos de tal manera que el sistema así generalizado forme una nueva geometría que obedezca a los cinco grupos de axiomas. En otras palabras, los elementos de la geometría forman un sistema que no es susceptible de extensión, si consideramos válidos los cinco grupos de axiomas.

Las dos últimas modificaciones se deben a P. Bernays.

Otros cambios destacables son:

Solicitud

Estos axiomas axiomatizan la geometría sólida euclidiana . Eliminar cinco axiomas que mencionan "plano" de manera esencial, a saber, I.4-8, y modificar III.4 y IV.1 para omitir la mención de planos, produce una axiomatización de la geometría plana euclidiana .

Los axiomas de Hilbert, a diferencia de los axiomas de Tarski , no constituyen una teoría de primer orden porque los axiomas V.1-2 no pueden expresarse en lógica de primer orden .

El valor de los Grundlagen de Hilbert era más metodológico que sustantivo o pedagógico. Otras contribuciones importantes a la axiomática de la geometría fueron las de Moritz Pasch , Mario Pieri , Oswald Veblen , Edward Vermilye Huntington , Gilbert Robinson y Henry George Forder . El valor de Grundlagen es su enfoque pionero de las cuestiones metamatemáticas , incluido el uso de modelos para demostrar la independencia de los axiomas; y la necesidad de demostrar la coherencia y la integridad de un sistema de axiomas.

Las matemáticas en el siglo XX evolucionaron hacia una red de sistemas formales axiomáticos . Esto fue, en gran parte, influenciado por el ejemplo que Hilbert dio en los Grundlagen . Sin embargo , un esfuerzo de 2003 (Meikle y Fleuriot) para formalizar los Grundlagen con una computadora encontró que algunas de las pruebas de Hilbert parecen depender de diagramas e intuición geométrica y, como tal, reveló algunas posibles ambigüedades y omisiones en sus definiciones. [11]

Ver también

Notas

  1. ^ Sommer, Julio (1900). "Reseña: Grundlagen der Geometrie, Teubner, 1899" (PDF) . Toro. América. Matemáticas. Soc . 6 (7): 287–299. doi : 10.1090/s0002-9904-1900-00719-1 .
  2. ^ Poincaré, Henri (1903). "Reseña de Poincaré de" Fundamentos de la geometría "de Hilbert, traducida por EV Huntington" (PDF) . Toro. América. Matemáticas. Soc . 10 : 1–23. doi : 10.1090/S0002-9904-1903-01061-1 .
  3. ^ Schweitzer, Arthur Richard (1909). "Reseña: Grundlagen der Geometrie, tercera edición, Teubner, 1909" (PDF) . Toro. América. Matemáticas. Soc . 15 (10): 510–511. doi : 10.1090/s0002-9904-1909-01814-2 .
  4. ^ Gronwall, TH (1919). "Reseña: Grundlagen der Geometrie, cuarta edición, Teubner, 1913" (PDF) . Toro. América. Matemáticas. Soc . 20 (6): 325–326. doi : 10.1090/S0002-9904-1914-02492-9 .
  5. ↑ Estos axiomas y su numeración están tomados de la traducción de Unger (al inglés) de la décima edición de Grundlagen der Geometrie .
  6. ^ Se podrían contar esto como seis relaciones como se especifica a continuación, pero Hilbert no lo hizo.
  7. ^ En la edición de Townsend esta afirmación se diferencia en que también incluye la existencia de al menos un punto D con C entre A y D , que se convirtió en un teorema en una edición posterior.
  8. ^ La parte de existencia ("hay al menos uno") es un teorema.
  9. ^ Ésta es la terminología de Hilbert. Esta afirmación se conoce más familiarmente como axioma de Playfair .
  10. ^ Moore, EH (1902), "Sobre los axiomas proyectivos de la geometría" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 3 (1): 142–158, doi : 10.2307/1986321 , JSTOR  1986321
  11. ^ En la página 334: "Al formalizar los Grundlagen en Isabelle/Isar demostramos que el trabajo de Hilbert pasó por alto puntos sutiles de razonamiento y se basó en gran medida, en algunos casos, en diagramas que permitían hacer suposiciones implícitas. Por esta razón se puede argumentar que Hilbert intercaló sus axiomas con la intuición geométrica para demostrar muchos de sus teoremas."

Referencias

enlaces externos