El concepto matemático de función data del siglo XVII en relación con el desarrollo del cálculo ; por ejemplo, la pendiente de una gráfica en un punto se consideraba una función de la coordenada x del punto. Las funciones no se consideraban explícitamente en la antigüedad, pero quizás se puedan ver algunos precursores del concepto en el trabajo de filósofos y matemáticos medievales como Oresme .
Los matemáticos del siglo XVIII normalmente consideraban que una función estaba definida por una expresión analítica . En el siglo XIX, las exigencias del desarrollo riguroso del análisis por parte de Weierstrass y otros, la reformulación de la geometría en términos de análisis y la invención de la teoría de conjuntos por Cantor , eventualmente llevaron al concepto moderno, mucho más general, de una función como una función. mapeo de un solo valor de un conjunto a otro.
Ya en el siglo XII, el matemático Sharaf al-Din al-Tusi analizó la ecuación x 3 + d = b ⋅ x 2 en la forma x 2 ⋅ ( b – x ) = d , afirmando que el lado izquierdo debe ser al menos igual el valor de d para que la ecuación tenga solución. Luego determinó el valor máximo de esta expresión. Es discutible que el aislamiento de esta expresión sea una aproximación temprana a la noción de "función". Un valor menor que d significa que no hay solución positiva; un valor igual a d corresponde a una solución, mientras que un valor mayor que d corresponde a dos soluciones. El análisis de Sharaf al-Din de esta ecuación fue un avance notable en las matemáticas islámicas , pero su trabajo no continuó en ese momento, ni en el mundo musulmán ni en Europa. [1]
Según Dieudonné [2] y Ponte, [3] el concepto de función surgió en el siglo XVII como resultado del desarrollo de la geometría analítica y el cálculo infinitesimal . Sin embargo, Medvedev sugiere que el concepto implícito de función tiene un linaje antiguo. [4] Ponte también ve enfoques más explícitos del concepto en la Edad Media :
El desarrollo de la geometría analítica alrededor de 1640 permitió a los matemáticos alternar entre problemas geométricos sobre curvas y relaciones algebraicas entre "coordenadas variables x e y ". [6] El cálculo se desarrolló utilizando la noción de variables, con su significado geométrico asociado, que persistió hasta bien entrado el siglo XVIII. [7] Sin embargo, la terminología de "función" llegó a utilizarse en las interacciones entre Leibniz y Bernoulli hacia finales del siglo XVII. [8]
El término "función" fue introducido literalmente por Gottfried Leibniz , en una carta de 1673, para describir una cantidad relacionada con puntos de una curva , como una coordenada o la pendiente de una curva . [9] [10] Johann Bernoulli comenzó a llamar "funciones" a expresiones formadas por una sola variable. En 1698, estuvo de acuerdo con Leibniz en que cualquier cantidad formada "de manera algebraica y trascendental" puede denominarse función de x . [11] En 1718, llegó a considerar como función "cualquier expresión compuesta por una variable y algunas constantes". [12] Alexis Claude Clairaut (aproximadamente en 1734) y Leonhard Euler introdujeron la notación familiar para el valor de una función. [13]
Las funciones consideradas en aquellos tiempos se denominan hoy funciones diferenciables . Para este tipo de funciones se puede hablar de límites y derivadas; ambas son medidas de la salida o del cambio en la salida, ya que depende de la entrada o del cambio en la entrada. Estas funciones son la base del cálculo .
En el primer volumen de su texto fundamental Introductio in analysin infinitorum , publicado en 1748, Euler dio esencialmente la misma definición de función que su maestro Bernoulli, como una expresión o fórmula que involucra variables y constantes, por ejemplo . [14] La propia definición de Euler dice:
Euler también permitió funciones multivaluadas cuyos valores están determinados por una ecuación implícita.
En 1755, sin embargo, en sus Institutiones calculi diferencialis , Euler dio un concepto más general de función:
Medvedev [17] considera que "En esencia, ésta es la definición que pasó a conocerse como definición de Dirichlet". Edwards [18] también atribuye a Euler un concepto general de función y dice además que
En su Théorie Analytique de la Chaleur, [19] Fourier afirmó que una función arbitraria podría representarse mediante una serie de Fourier . [20] Fourier tenía una concepción general de una función, que incluía funciones que no eran continuas ni estaban definidas por una expresión analítica. [21] Cuestiones relacionadas sobre la naturaleza y representación de funciones, que surgen de la solución de la ecuación de onda para una cuerda vibrante, ya habían sido objeto de disputa entre d'Alembert y Euler, y tuvieron un impacto significativo en la generalización de la noción. de una función. Luzin observa que:
Durante el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a formalizar las diferentes ramas de las matemáticas. Uno de los primeros en hacerlo fue Cauchy ; sus resultados algo imprecisos fueron posteriormente hechos completamente rigurosos por Weierstrass , quien defendió construir el cálculo sobre la aritmética en lugar de sobre la geometría , lo que favoreció la definición de Euler sobre la de Leibniz (ver aritmetización del análisis ). Según Smithies, Cauchy pensaba que las funciones estaban definidas por ecuaciones que involucraban números reales o complejos , y tácitamente asumió que eran continuas:
A Nikolai Lobachevsky [24] y Peter Gustav Lejeune Dirichlet [25] se les atribuye tradicionalmente el mérito de haber dado de forma independiente la definición "formal" moderna de una función como una relación en la que cada primer elemento tiene un segundo elemento único.
Lobachevsky (1834) escribe que
mientras Dirichlet (1837) escribe
Eves afirma que "el estudiante de matemáticas suele cumplir con la definición de función de Dirichlet en su curso de introducción al cálculo" .
La afirmación de Dirichlet de esta formalización ha sido cuestionada por Imre Lakatos :
Sin embargo, Gardiner dice "... me parece que Lakatos va demasiado lejos, por ejemplo, cuando afirma que 'hay amplia evidencia de que [Dirichlet] no tenía idea del concepto [de función moderna]'". [30] Además, como se señaló anteriormente, el artículo de Dirichlet parece incluir una definición similar a la que generalmente se le atribuye, aunque (como Lobachevsky) la establece sólo para funciones continuas de una variable real.
De manera similar, Lavine observa que:
Debido a que a Lobachevsky y Dirichlet se les atribuye el mérito de estar entre los primeros en introducir la noción de correspondencia arbitraria, esta noción a veces se denomina definición de función de Dirichlet o Lobachevsky-Dirichlet. [32] Bourbaki (1939) utilizó posteriormente una versión general de esta definición , y algunos en la comunidad educativa se refieren a ella como la definición "Dirichlet-Bourbaki" de una función.
Dieudonné , que fue uno de los miembros fundadores del grupo Bourbaki, atribuye a Dedekind una definición moderna precisa y general de una función en su obra Was sind und was sollen die Zahlen , [33] que apareció en 1888 pero ya había sido redactada en 1878. Dieudonné observa que en lugar de limitarse, como en concepciones anteriores, a funciones reales (o complejas), Dedekind define una función como una aplicación de un solo valor entre dos conjuntos cualesquiera:
Hardy 1908, págs. 26-28 definió una función como una relación entre dos variables xey tal que "a algunos valores de x en cualquier caso corresponden valores de y ". No requirió que la función estuviera definida para todos los valores de x ni que asociara cada valor de x a un solo valor de y . Esta amplia definición de función abarca más relaciones de las que normalmente se consideran funciones en las matemáticas contemporáneas. Por ejemplo, la definición de Hardy incluye funciones multivaluadas y lo que en la teoría de la computabilidad se llaman funciones parciales .
Los lógicos de esta época estaban principalmente involucrados en el análisis de silogismos (las formas aristotélicas de hace 2000 años y otras), o como lo afirmó Augustus De Morgan (1847): "el examen de esa parte del razonamiento que depende de la manera en que se realizan las inferencias". se forman, y la investigación de máximas y reglas generales para la construcción de argumentos". [35] En este momento la noción de "función" (lógica) no es explícita, pero al menos en el trabajo de De Morgan y George Boole está implícita: vemos la abstracción de las formas argumentales, la introducción de variables, la introducción de un álgebra simbólica con respecto a estas variables, y algunas de las nociones de la teoría de conjuntos.
"LÓGICA FORMAL O, El cálculo de inferencia, necesaria y probable" de De Morgan de 1847 observa que "[una] verdad lógica depende de la estructura del enunciado , y no de los asuntos particulares de los que se habla"; no pierde el tiempo (prefacio página i) en hacer abstracciones: "En la forma de la proposición, la cópula se hace tan abstracta como los términos". Inmediatamente (p. 1) convierte lo que llama "la proposición" ( función o relación proposicional actual ) en una forma como "X es Y", donde los símbolos X, "es" e Y representan, respectivamente, el sujeto , la cópula y el predicado. Si bien la palabra "función" no aparece, la noción de "abstracción" está ahí, las "variables" están ahí, la noción de inclusión en su simbolismo "todo el Δ está en el О" (p. 9) está ahí, y, por último, existe un nuevo simbolismo para el análisis lógico de la noción de "relación" (utiliza la palabra con respecto a este ejemplo "X)Y" (p. 75):
En su libro de 1848, The Nature of Logic, Boole afirma que "la lógica... es en un sentido más especial la ciencia del razonamiento mediante signos", y analiza brevemente las nociones de "pertenencia a" y "clase": "Un individuo puede poseer una gran variedad de atributos y por lo tanto pertenecen a una gran variedad de clases diferentes". [36] Al igual que De Morgan, utiliza la noción de "variable" extraída del análisis; da un ejemplo de "representar la clase bueyes por x y la de caballos por y y la conjunción y por el signo +... podríamos representar la clase agregada bueyes y caballos por x + y ". [37]
En el contexto del "cálculo diferencial", Boole definió (hacia 1849) la noción de función de la siguiente manera:
Eves observa "que los lógicos se han esforzado por reducir aún más el nivel inicial del desarrollo definitorio de las matemáticas y derivar la teoría de conjuntos , o clases , a partir de una base en la lógica de las proposiciones y funciones proposicionales". [39] Pero a finales del siglo XIX la investigación de los lógicos sobre los fundamentos de las matemáticas estaba atravesando una división importante. La dirección del primer grupo, los logicistas , probablemente pueda resumirse mejor en Bertrand Russell (1903): "cumplir dos objetivos: primero, mostrar que todas las matemáticas se derivan de la lógica simbólica y, segundo, descubrir, en la medida de lo posible, qué son los principios de la lógica simbólica misma."
El segundo grupo de lógicos, los teóricos de conjuntos, surgió con la "teoría de conjuntos" de Georg Cantor (1870-1890), pero fue impulsado en parte como resultado del descubrimiento de Russell de una paradoja que podría derivarse de la concepción de "función" de Frege. ", sino también como reacción contra la solución propuesta por Russell. [40] La respuesta teórica de conjuntos de Zermelo fueron sus Investigaciones sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos I de 1908 , la primera teoría de conjuntos axiomática ; aquí también juega un papel la noción de "función proposicional".
En su Investigación sobre las leyes del pensamiento, Boole definió ahora una función en términos de un símbolo x de la siguiente manera:
Luego, Boole usó expresiones algebraicas para definir nociones algebraicas y lógicas , por ejemplo, 1 − x es lógico NO( x ), xy es el lógico AND( x , y ), x + y es el lógico OR( x , y ), x ( x + y ) es xx + xy , y "la ley especial" xx = x 2 = x . [42]
En su Lógica simbólica de 1881 , Venn estaba usando las palabras "función lógica" y el simbolismo contemporáneo ( x = f ( y ), y = f −1 ( x ), cf. página xxi) más los diagramas circulares históricamente asociados con Venn para describir "relaciones de clase", [43] las nociones "'cuantificar' nuestro predicado", "proposiciones con respecto a su extensión", "la relación de inclusión y exclusión de dos clases entre sí" y "función proposicional" (todas en p. 10), la barra sobre una variable para indicar no- x (página 43), etc. De hecho, equiparó inequívocamente la noción de "función lógica" con "clase" ["conjunto" moderno]: "... en el Desde el punto de vista adoptado en este libro, f ( x ) nunca representa nada más que una clase lógica. Puede ser una clase compuesta agregada de muchas clases simples; puede ser una clase indicada por ciertas operaciones lógicas inversas, puede estar compuesta de dos grupos de clases iguales entre sí, o lo que es lo mismo, declarando su diferencia igual a cero, es decir, una ecuación lógica, pero por muy compuesta o derivada que sea, f ( x ) para nosotros nunca será más que una expresión general para clases lógicas de cosas que puedan encontrar un lugar en la lógica ordinaria". [44]
Begriffsschrift (1879) de Gottlob Frege precedió a Giuseppe Peano (1889), pero Peano no tuvo conocimiento de Frege 1879 hasta después de haber publicado su 1889. [45] Ambos escritores influyeron fuertemente en Russell (1903). Russell, a su vez, influyó en gran parte de las matemáticas y la lógica del siglo XX a través de sus Principia Mathematica (1913), escritos conjuntamente con Alfred North Whitehead .
Al principio, Frege abandona los tradicionales "conceptos sujeto y predicado ", reemplazándolos por argumento y función respectivamente, que cree "resistirán la prueba del tiempo". Es fácil ver cómo considerar un contenido como función de un argumento conduce a "La formación de conceptos. Además, merece atención la demostración de la conexión entre los significados de las palabras si, y, no, o, hay, algunos, todos, etc." [46]
Frege comienza su discusión sobre la "función" con un ejemplo: comience con la expresión [47] "El hidrógeno es más ligero que el dióxido de carbono". Ahora elimine el signo de hidrógeno (es decir, la palabra "hidrógeno") y reemplácelo con el signo de oxígeno (es decir, la palabra "oxígeno"); esto hace una segunda declaración. Haga esto nuevamente (usando cualquiera de las afirmaciones) y sustituya el signo por nitrógeno (es decir, la palabra "nitrógeno") y observe que "Esto cambia el significado de tal manera que "oxígeno" o "nitrógeno" entra en las relaciones en las que " el hidrógeno" estaba delante". [48] Hay tres afirmaciones:
Observemos ahora en los tres un "componente estable, que representa la totalidad de [las] relaciones"; [49] llama a esto la función , es decir,
Frege llama al argumento de la función "[e]l signo [por ejemplo, hidrógeno, oxígeno o nitrógeno], considerado reemplazable por otros, que denota el objeto que se encuentra en estas relaciones". [50] Señala que también podríamos haber derivado la función como "El hidrógeno es más ligero que...", con una posición del argumento a la derecha ; La observación exacta la hace Peano (ver más abajo). Finalmente, Frege permite el caso de dos (o más) argumentos. Por ejemplo, elimine el "dióxido de carbono" para obtener la parte invariante (la función) como:
La función de un argumento Frege generaliza en la forma Φ(A) donde A es el argumento y Φ( ) representa la función, mientras que la función de dos argumentos la simboliza como Ψ(A, B) con A y B los argumentos y Ψ ( , ) la función y advierte que "en general Ψ(A, B) difiere de Ψ(B, A)". Utilizando su simbolismo único, traduce para el lector el siguiente simbolismo:
Peano definió la noción de "función" de una manera algo similar a Frege, pero sin tanta precisión. [52] Primero Peano define el signo "K significa clase , o agregado de objetos", [53] cuyos objetos satisfacen tres condiciones de igualdad simples, [54] a = a , ( a = b ) = ( b = a ), SI (( a = b ) Y ( b = c )) ENTONCES ( a = c ). Luego introduce φ, "un signo o un agregado de signos tal que si x es un objeto de la clase s , la expresión φ x denota un nuevo objeto". Peano añade dos condiciones a estos nuevos objetos: primero, que las tres condiciones de igualdad se cumplan para los objetos φ x ; en segundo lugar, que "si x e y son objetos de clase s y si x = y , suponemos que es posible deducir φ x = φ y ". [55] Si se cumplen todas estas condiciones, φ es un "presigno de función". Asimismo, identifica un "postsigno de función". Por ejemplo, si φ es la función presigno a +, entonces φ x produce a + x , o si φ es la función possigno + a entonces x φ produce x + a . [54]
Si bien la influencia de Cantor y Peano fue primordial, [56] en el Apéndice A "Las doctrinas lógicas y aritméticas de Frege" de Los principios de las matemáticas , Russell llega a una discusión sobre la noción de función de Frege , "...un punto en el que El trabajo de Frege es muy importante y requiere un examen cuidadoso". [57] En respuesta a su intercambio de cartas con Frege en 1902 sobre la contradicción que descubrió en el Begriffsschrift de Frege , Russell añadió esta sección en el último momento.
Para Russell la noción que atormenta es la de variable : "6. Las proposiciones matemáticas no sólo se caracterizan por el hecho de que afirman implicaciones, sino también por el hecho de que contienen variables . La noción de variable es una de las más difíciles con las que la lógica tiene que ocuparse. Por el momento, deseo abiertamente dejar claro que hay variables en todas las proposiciones matemáticas, incluso cuando a primera vista puedan parecer ausentes... Siempre encontraremos, en todas las proposiciones matemáticas, que las palabras any o some ocurren; y estas palabras son las marcas de una implicación variable y formal". [58]
Como lo expresó Russell "el proceso de transformar constantes de una proposición en variables conduce a lo que se llama generalización y nos da, por así decirlo, la esencia formal de una proposición... Siempre y cuando cualquier término de nuestra proposición pueda transformarse en una variable, nuestra proposición puede generalizarse; y mientras esto sea posible, es tarea de las matemáticas hacerlo"; [59] Russell denominó a estas generalizaciones funciones proposicionales . [60] De hecho, cita y cita el Begriffsschrift de Frege y presenta un vívido ejemplo de Function und Begriff de Frege de 1891 : Que "la esencia de la función aritmética 2 x 3 + x es lo que queda cuando se quita x , es decir, en la instancia anterior 2( ) 3 + ( ). El argumento x no pertenece a la función pero los dos juntos forman el todo". [57] Russell estuvo de acuerdo con la noción de "función" de Frege en un sentido: "Él considera las funciones -y en esto estoy de acuerdo con él- como más fundamentales que los predicados y las relaciones ", pero Russell rechazó la "teoría del sujeto y la aserción" de Frege, en En particular, "piensa que, si un término a aparece en una proposición, la proposición siempre puede analizarse en a y una afirmación sobre a ". [57]
Russell llevaría adelante sus ideas en su Lógica matemática de 1908 basada en la teoría de tipos y en sus Principia Mathematica de 1910-1913 junto con Whitehead . En la época de los Principia Mathematica, Russell, al igual que Frege, consideraba fundamental la función proposicional: "Las funciones proposicionales son el tipo fundamental del que se derivan los tipos más habituales de funciones, como "sen x " o log x o "el padre de x ". derivadas. Estas funciones derivadas... se llaman "funciones descriptivas". Las funciones de las proposiciones... son un caso particular de funciones proposicionales". [61]
Funciones proposicionales : debido a que su terminología es diferente de la contemporánea, el lector puede confundirse con la "función proposicional" de Russell. Un ejemplo puede ayudar. Russell escribe una función proposicional en su forma cruda, por ejemplo, como φŷ : " ŷ está herido". (Observe el circunflejo o "sombrero" sobre la variable y ). Para nuestro ejemplo, asignaremos solo 4 valores a la variable ŷ : "Bob", "Este pájaro", "Emily el conejo" e " y ". La sustitución de uno de estos valores por la variable ŷ produce una proposición ; esta proposición se llama "valor" de la función proposicional. En nuestro ejemplo hay cuatro valores de la función proposicional, por ejemplo, "Bob está herido", "Este pájaro está herido", "Emily el conejo está herido" y " y está herido". Una proposición, si es significativa —es decir, si su verdad está determinada— tiene un valor de verdad de verdad o falsedad . Si el valor de verdad de una proposición es "verdad", entonces se dice que el valor de la variable satisface la función proposicional. Finalmente, según la definición de Russell, "una clase [conjunto] son todos los objetos que satisfacen alguna función proposicional" (p. 23). Nótese la palabra "todos": así es como entran en el tratamiento las nociones contemporáneas de "Para todos ∀" y "existe al menos una instancia ∃" (p. 15).
Para continuar con el ejemplo: Supongamos (desde fuera de las matemáticas/lógica) que uno determina que las proposiciones "Bob está herido" tiene un valor de verdad de "falsedad", "Este pájaro está herido" tiene un valor de verdad de "verdad", "Emily el conejo está herido" tiene un valor de verdad indeterminado porque "Emily el conejo" no existe, y " y está herido" es ambiguo en cuanto a su valor de verdad porque el argumento y en sí mismo es ambiguo. Si bien las dos proposiciones "Bob está herido" y "Este pájaro está herido" son significativas (ambas tienen valores de verdad), sólo el valor "Este pájaro" de la variable ŷ satisface la función proposicional φŷ : " ŷ está herido". Cuando se va a formar la clase α: φŷ : " ŷ está herida", sólo se incluye "Este pájaro", dados los cuatro valores "Bob", "Este pájaro", "Emily el conejo" e " y " para la variable ŷ y sus respectivos valores de verdad: falsedad, verdad, indeterminado, ambiguo.
Russell define funciones de proposiciones con argumentos y funciones de verdad f ( p) . [62] Por ejemplo, supongamos que uno formara la "función de proposiciones con argumentos" p 1 : "NO( p ) Y q " y asignara a sus variables los valores de p : "Bob está herido" y q : "Este pájaro está herido". (Estamos restringidos a los vínculos lógicos NO, Y, O e IMPLICA, y sólo podemos asignar proposiciones "significativas" a las variables p y q ). Entonces la "función de las proposiciones con argumentos" es p 1 : NO ("Bob está herido") Y "Este pájaro está herido". Para determinar el valor de verdad de esta "función de proposiciones con argumentos" la sometemos a una "función de verdad", por ejemplo, f ( p 1 ): f ( NOT("Bob está herido") AND "Este pájaro está herido" ) , lo que produce un valor de verdad de "verdad".
La noción de una relación funcional de "muchos uno" : Russell primero analiza la noción de "identidad", luego define una función descriptiva (páginas 30 y siguientes) como el valor único ιx que satisface la función proposicional (2 variables) (es decir, "relación") φŷ .
Russell simboliza la función descriptiva como "el objeto que está en relación con y ": R'y = DEF ( ιx )( x R y ). Russell repite que " R'y es una función de y , pero no una función proposicional [sic]; la llamaremos función descriptiva . Todas las funciones ordinarias de las matemáticas son de este tipo. Así, en nuestra notación "sen y " sería escribirse " pecado 'y ", y "sin" representaría la relación que pecado 'y tiene con y ". [64]
David Hilbert se propuso el objetivo de "formalizar" las matemáticas clásicas "como una teoría axiomática formal, y se demostrará que esta teoría es consistente , es decir, libre de contradicciones". [65] En Hilbert 1927 The Foundations of Mathematics enmarca la noción de función en términos de la existencia de un "objeto":
Luego, Hilbert ilustra las tres formas en que se debe usar la función ε, en primer lugar como las nociones de "para todos" y "existe", en segundo lugar para representar el "objeto del cual [una proposición] es válida" y, por último, cómo formular en la función de elección .
Teoría de la recursión y computabilidad : Pero el resultado inesperado del esfuerzo de Hilbert y su alumno Bernays fue el fracaso; véanse los teoremas de incompletitud de Gödel de 1931. Casi al mismo tiempo, en un esfuerzo por resolver el Entscheidungsproblem de Hilbert , los matemáticos se propusieron definir lo que se entendía por "función efectivamente calculable" ( Alonzo Church 1936), es decir, "método efectivo" o " algoritmo ", es decir, un procedimiento explícito, paso a paso, que lograría calcular una función. Aparecieron varios modelos de algoritmos, en rápida sucesión, incluido el cálculo lambda de Church (1936), las funciones μ-recursivas de Stephen Kleene (1936) y la noción de Alan Turing (1936-1937) de reemplazar las "computadoras" humanas por computadoras completamente mecánicas. "máquinas informáticas" (ver Máquinas de Turing ). Se demostró que todos estos modelos podían calcular la misma clase de funciones computables . La tesis de Church sostiene que esta clase de funciones agota todas las funciones de teoría de números que pueden calcularse mediante un algoritmo. Los resultados de estos esfuerzos fueron demostraciones vívidas de que, en palabras de Turing, "no puede haber un proceso general para determinar si una fórmula dada U del cálculo funcional K [ Principia Mathematica ] es demostrable"; [67] ver más en Independencia (lógica matemática) y Teoría de la computabilidad .
La teoría de conjuntos comenzó con el trabajo de los lógicos con la noción de "clase" ("conjunto" moderno), por ejemplo De Morgan (1847), Jevons (1880), Venn (1881), Frege (1879) y Peano (1889). Fue impulsado por el intento de Georg Cantor de definir el infinito en el tratamiento de la teoría de conjuntos (1870-1890) y un descubrimiento posterior de una antinomia (contradicción, paradoja) en este tratamiento ( la paradoja de Cantor ), por el descubrimiento de Russell (1902). ) de una antinomia en Frege de 1879 ( la paradoja de Russell ), por el descubrimiento de más antinomias a principios del siglo XX (por ejemplo, la paradoja de Burali-Forti de 1897 y la paradoja de Richard de 1905 ), y por la resistencia al complejo tratamiento de la lógica por parte de Russell [68 ] y disgusto por su axioma de reducibilidad [69] (1908, 1910-1913) que propuso como medio para evadir las antinomias.
En 1902, Russell envió una carta a Frege señalando que su Begriffsschrift de 1879 permitía que una función fuera un argumento en sí misma: "Por otro lado, también puede ser que el argumento sea determinado y la función indeterminada..." [70 ] A partir de esta situación ilimitada, Russell pudo formar una paradoja:
Frege respondió prontamente que "su descubrimiento de la contradicción me causó la mayor sorpresa y, casi diría, consternación, ya que ha sacudido la base sobre la cual pretendía construir la aritmética". [72]
A partir de ese momento, el desarrollo de los fundamentos de las matemáticas se convirtió en un ejercicio sobre cómo esquivar la "paradoja de Russell", enmarcada como estaba en "las simples nociones [teóricas de conjuntos] de conjunto y elemento". [73]
La noción de "función" aparece como el axioma III de Zermelo: el axioma de separación (Axiom der Aussonderung). Este axioma nos obliga a utilizar una función proposicional Φ( x ) para "separar" un subconjunto M Φ de un conjunto M previamente formado :
Como no existe un conjunto universal (los conjuntos se originan mediante el Axioma II a partir de elementos del dominio B (no conjunto) - "... esto elimina la antinomia de Russell en lo que a nosotros respecta". [75] Pero el "criterio definitivo" de Zermelo es impreciso y está fijado por Weyl , Fraenkel , Skolem y von Neumann . [76]
De hecho, Skolem en su libro de 1922 se refirió a este "criterio definido" o "propiedad" como una "proposición definida":
van Heijenoort resume:
En esta cita el lector puede observar un cambio en la terminología: en ninguna parte se menciona la noción de "función proposicional", sino que se ven las palabras "fórmula", "cálculo de predicados", "predicado" y "cálculo lógico". Este cambio de terminología se analiza con más detalle en la sección que cubre la "función" en la teoría de conjuntos contemporánea.
La historia de la noción de " par ordenado " no está clara. Como se señaló anteriormente, Frege (1879) propuso un orden intuitivo en su definición de una función de dos argumentos Ψ(A, B). Norbert Wiener en su 1914 (ver más abajo) observa que su propio tratamiento esencialmente "vuelve al tratamiento de Schröder de una relación como una clase de parejas ordenadas". [79] Russell (1903) consideró la definición de una relación (como Ψ(A, B)) como una "clase de parejas", pero la rechazó:
En 1910-1913 y Principia Mathematica Russell había renunciado al requisito de una definición intensional de una relación, afirmando que "las matemáticas siempre se ocupan de extensiones más que de intensiones" y "las relaciones, como las clases, deben tomarse en extensión ". [81] Para demostrar la noción de una relación en extensión, Russell adoptó ahora la noción de pareja ordenada : "Podemos considerar una relación... como una clase de parejas... la relación determinada por φ( x, y ) es la clase de parejas ( x, y ) para las cuales φ( x, y ) es verdadera". [82] En una nota a pie de página aclaró su noción y llegó a esta definición:
Pero continúa diciendo que no introduciría más a las parejas ordenadas en su "tratamiento simbólico"; propone en su lugar su "matriz" y su impopular axioma de reducibilidad.
Un intento de resolver el problema de las antinomias llevó a Russell a proponer su "doctrina de tipos" en un apéndice B de su obra de 1903 Los principios de las matemáticas . [83] En unos pocos años refinaría esta noción y propondría en su Teoría de tipos de 1908 dos axiomas de reducibilidad , cuyo propósito era reducir las funciones proposicionales (de una sola variable) y las relaciones (de dos variables) a un " "inferior" (y finalmente en una forma completamente extensional ); él y Alfred North Whitehead trasladarían este tratamiento a Principia Mathematica 1910-1913 con un refinamiento adicional llamado "una matriz". [84] El primer axioma es *12.1; el segundo es *12.11. Para citar a Wiener, el segundo axioma *12.11 "está involucrado sólo en la teoría de las relaciones". [85] Ambos axiomas, sin embargo, fueron recibidos con escepticismo y resistencia; ver más en Axioma de reducibilidad . En 1914, Norbert Wiener, utilizando el simbolismo de Whitehead y Russell, eliminó el axioma *12.11 (la versión de "dos variables" (relacional) del axioma de reducibilidad) al expresar una relación como un par ordenado utilizando el conjunto nulo. Aproximadamente al mismo tiempo, Hausdorff (1914, p. 32) dio la definición del par ordenado ( a , b ) como {{ a ,1}, { b , 2}}. Unos años más tarde , Kuratowski (1921) ofreció una definición que ha sido ampliamente utilizada desde entonces, a saber, {{ a , b }, { a }}". [86] Como señaló Suppes (1960) "Esta definición. . . Fue históricamente importante al reducir la teoría de las relaciones a la teoría de conjuntos. [87]
Obsérvese que, si bien Wiener "redujo" la forma relacional *12.11 del axioma de reducibilidad, no redujo ni cambió de otro modo la forma de función proposicional *12.1; de hecho, declaró que esto era "esencial para el tratamiento de la identidad, las descripciones, las clases y las relaciones". [88]
No está claro de dónde deriva exactamente la noción general de "función" como correspondencia de muchos uno. Russell en su Introducción a la Filosofía Matemática de 1920 afirma que "Debe observarse que todas las funciones matemáticas resultan de relaciones uno-muchos [sic - el uso contemporáneo es muchos-uno]... Las funciones en este sentido son funciones descriptivas ". [89] Una posibilidad razonable es la noción de Principia Mathematica de "función descriptiva" – R 'y = DEF (ι x )( x R y ): "el objeto singular que tiene una relación R con y ". Cualquiera sea el caso, en 1924, Moses Schönfinkel expresó la noción, afirmando que era "bien conocida":
Según Willard Quine , Schönfinkel 1924 "proporciona... todo el alcance de la teoría abstracta de conjuntos. El quid de la cuestión es que Schönfinkel deja que las funciones sirvan como argumentos. Para Schönfinkel, sustancialmente como para Frege, las clases son tipos especiales de funciones. Son funciones proposicionales, funciones cuyos valores son valores de verdad. Todas las funciones, proposicionales o no, son para Schönfinkel funciones de un solo lugar". [91] Sorprendentemente, Schönfinkel reduce todas las matemáticas a un cálculo funcional extremadamente compacto que consta de sólo tres funciones: constancia, fusión (es decir, composición) y exclusividad mutua. Quine señala que Haskell Curry (1958) llevó adelante este trabajo "bajo el título de lógica combinatoria ". [92]
En 1925, Abraham Fraenkel (1922) y Thoralf Skolem (1922) habían modificado la teoría de conjuntos de Zermelo de 1908. Pero von Neumann no estaba convencido de que esta axiomatización no pudiera conducir a las antinomias. [93] Así que propuso su propia teoría, su 1925 Una axiomatización de la teoría de conjuntos . [94] Contiene explícitamente una versión "contemporánea" de la teoría de conjuntos de la noción de "función":
Al principio comienza con I-objetos y II-objetos , dos objetos A y B que son I-objetos (primer axioma), y dos tipos de "operaciones" que asumen el ordenamiento como una propiedad estructural [96] obtenida del resultado. objetos [ x , y ] y ( x , y ). Los dos "dominios de los objetos" se denominan "argumentos" (objetos I) y "funciones" (objetos II); donde se superponen están las "funciones de argumento" (las llama objetos I-II). Introduce dos "operaciones universales con dos variables" – (i) la operación [ x , y ]: ". . . lea 'el valor de la función x para el argumento y ... él mismo es un objeto de tipo I", y (ii) la operación ( x , y ): "... (léase 'el par ordenado x , y' ) cuyas variables x e y deben ser argumentos y eso a su vez produce un argumento ( x , y ). Una propiedad importante es que x 1 = x 2 e y 1 = y 2 se derivan de ( x 1 = y 2 ) = ( x 2 = y 2 )". Para aclarar el par de funciones, señala que "en lugar de f ( x ) escribimos [ f,x ] para indicar que f , al igual que x , debe considerarse como una variable en este procedimiento". Para evitar las "antinomias de la ingenua teoría de conjuntos, en primer lugar en la de Russell... debemos renunciar a tratar ciertas funciones como argumentos". [97] Adopta una noción de Zermelo para restringir estas "determinadas funciones". [98]
Suppes [99] observa que la axiomatización de von Neumann fue modificada por Bernays "para permanecer más cerca del sistema original de Zermelo... Introdujo dos relaciones de pertenencia: una entre conjuntos y otra entre conjuntos y clases". Luego Gödel [1940] [100] modificó aún más la teoría: "sus nociones primitivas son las de conjunto, clase y membresía (aunque la membresía por sí sola es suficiente)". [101] Esta axiomatización se conoce ahora como teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel .
En 1939, Bourbaki , además de dar la conocida definición de par ordenado de una función como un determinado subconjunto del producto cartesiano E × F , dio lo siguiente:
"Sean E y F dos conjuntos, que pueden ser distintos o no. Una relación entre un elemento variable x de E y un elemento variable y de F se llama relación funcional en y si, para todo x ∈ E , existe un único y ∈ F que está en la relación dada con x , le damos el nombre de función a la operación que de esta manera asocia a cada elemento x ∈ E el elemento y ∈ F que está en la relación dada con x , y el Se dice que la función está determinada por la relación funcional dada. Dos relaciones funcionales equivalentes determinan la misma función."
Tanto la forma axiomática como la ingenua de la teoría de conjuntos de Zermelo modificada por Fraenkel (1922) y Skolem (1922) definen "función" como una relación, definen una relación como un conjunto de pares ordenados y definen un par ordenado como un conjunto de dos ". conjuntos "disimétricos".
Mientras que el lector de la Teoría axiomática de conjuntos de Suppes (1960) o de la Teoría ingenua de conjuntos de Halmos (1970) observa el uso del simbolismo de funciones en el axioma de separación , por ejemplo, φ( x ) (en Suppes) y S( x ) (en Halmos ), no verán ninguna mención de "proposición" o incluso de "cálculo de predicados de primer orden". En su lugar están las " expresiones del lenguaje objeto", las "fórmulas atómicas", las "fórmulas primitivas" y las "oraciones atómicas".
Kleene (1952) define las palabras de la siguiente manera: "En los lenguajes de palabras, una proposición se expresa mediante una oración. Luego, un 'predicado' se expresa mediante una oración incompleta o un esqueleto de oración que contiene un lugar abierto. Por ejemplo, "___ es un hombre". "expresa un predicado... El predicado es una función proposicional de una variable . Los predicados a menudo se denominan 'propiedades'... El cálculo de predicados tratará la lógica de los predicados en este sentido general de 'predicado', es decir, como proposicional. función". [102]
En 1954, Bourbaki, en la p. 76 en el Capítulo II de Theorie des Ensembles (teoría de conjuntos), dio una definición de función como una triple f = ( F , A , B ). [103] Aquí F es un gráfico funcional , es decir, un conjunto de pares donde no hay dos pares que tengan el mismo primer miembro. En P. 77 ( op. cit. ) Bourbaki afirma (traducción literal): "A menudo usaremos, en el resto de este Tratado, la palabra función en lugar de gráfico funcional ".
Suppes (1960) en Axiomatic Set Theory , define formalmente una relación (p. 57) como un conjunto de pares, y una función (p. 86) como una relación donde no hay dos pares que tengan el mismo primer miembro.
Tarski (1946) explica la razón de la desaparición de las palabras "función proposicional", por ejemplo en Suppes (1960) y Halmos (1970), junto con una explicación adicional de la terminología:
Por su parte Tarski llama a la forma relacional de la función una "RELACIÓN FUNCIONAL o simplemente una FUNCIÓN". [105] Después de una discusión sobre esta "relación funcional", afirma que:
Ver más sobre "la verdad bajo una interpretación" en Alfred Tarski .
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