La historia de las matemáticas trata del origen de los descubrimientos matemáticos y de los métodos y notaciones matemáticas del pasado . Antes de la era moderna y de la difusión mundial del conocimiento, sólo en unos pocos lugares se han conocido ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos. A partir del año 3000 a. C., los estados mesopotámicos de Sumer , Akkad y Asiria , seguidos de cerca por el antiguo Egipto y el estado levantino de Ebla, comenzaron a utilizar la aritmética , el álgebra y la geometría con fines tributarios , comerciales y también en el campo de la astronomía para registrar el tiempo y formular calendarios .
Los primeros textos matemáticos disponibles son de Mesopotamia y Egipto : Plimpton 322 ( babilonio c. 2000 – 1900 a. C.), [2] el Papiro matemático de Rhind ( egipcio c. 1800 a. C.) [3] y el Papiro matemático de Moscú (egipcio c. 1890 a. C.). Todos estos textos mencionan las llamadas ternas pitagóricas , por lo que, por inferencia, el teorema de Pitágoras parece ser el desarrollo matemático más antiguo y extendido después de la aritmética y la geometría básicas.
El estudio de las matemáticas como una "disciplina demostrativa" comenzó en el siglo VI a. C. con los pitagóricos , quienes acuñaron el término "matemáticas" del griego antiguo μάθημα ( mathema ), que significa "materia de instrucción". [4] Las matemáticas griegas refinaron enormemente los métodos (especialmente a través de la introducción del razonamiento deductivo y el rigor matemático en las demostraciones ) y expandieron el contenido de las matemáticas. [5] Los antiguos romanos usaron las matemáticas aplicadas en la topografía , la ingeniería estructural , la ingeniería mecánica , la contabilidad , la creación de calendarios lunares y solares e incluso en las artes y artesanías . Las matemáticas chinas hicieron contribuciones tempranas, incluido un sistema de valor posicional y el primer uso de números negativos . [6] [7] El sistema de numeración hindú-arábigo y las reglas para el uso de sus operaciones, en uso en todo el mundo hoy en día, evolucionaron a lo largo del primer milenio d. C. en la India y se transmitieron al mundo occidental a través de las matemáticas islámicas mediante el trabajo de Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī . [8] [9] Las matemáticas islámicas, a su vez, desarrollaron y expandieron las matemáticas conocidas por estas civilizaciones. [10] Contemporáneas pero independientes de estas tradiciones fueron las matemáticas desarrolladas por la civilización maya de México y América Central , donde el concepto de cero recibió un símbolo estándar en los numerales mayas .
A partir del siglo XII se tradujeron al latín numerosos textos griegos y árabes sobre matemáticas , lo que condujo a un mayor desarrollo de las matemáticas en la Europa medieval . Desde la antigüedad hasta la Edad Media , los períodos de descubrimiento matemático fueron seguidos a menudo por siglos de estancamiento. [11] A partir de la Italia del Renacimiento en el siglo XV, se produjeron nuevos avances matemáticos, interactuando con nuevos descubrimientos científicos, a un ritmo cada vez mayor que continúa hasta nuestros días. Esto incluye el trabajo innovador de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz en el desarrollo del cálculo infinitesimal durante el transcurso del siglo XVII.
Los orígenes del pensamiento matemático se encuentran en los conceptos de número , patrones en la naturaleza , magnitud y forma . [12] Los estudios modernos de la cognición animal han demostrado que estos conceptos no son exclusivos de los humanos. Tales conceptos habrían sido parte de la vida cotidiana en las sociedades de cazadores-recolectores . La idea de que el concepto de "número" evolucionó gradualmente con el tiempo está respaldada por la existencia de idiomas que preservan la distinción entre "uno", "dos" y "muchos", pero no de números mayores que dos. [12]
El hueso de Ishango , hallado cerca de las cabeceras del río Nilo (noreste del Congo ), puede tener más de 20.000 años y consiste en una serie de marcas talladas en tres columnas que recorren la longitud del hueso. Las interpretaciones más comunes son que el hueso de Ishango muestra un recuento de la demostración más antigua conocida de secuencias de números primos [13] [ verificación fallida ] o un calendario lunar de seis meses. [14] Peter Rudman sostiene que el desarrollo del concepto de números primos sólo pudo haber surgido después del concepto de división, que él fecha después del 10.000 a. C., y que los números primos probablemente no se comprendieron hasta alrededor del 500 a. C. También escribe que "no se ha hecho ningún intento de explicar por qué un recuento de algo debería exhibir múltiplos de dos, números primos entre 10 y 20, y algunos números que son casi múltiplos de 10". [15] El hueso de Ishango, según el erudito Alexander Marshack , puede haber influido en el desarrollo posterior de las matemáticas en Egipto ya que, como algunas entradas sobre el hueso de Ishango, la aritmética egipcia también hacía uso de la multiplicación por 2; esto, sin embargo, es objeto de controversia. [16]
Los egipcios predinásticos del quinto milenio a. C. representaban pictóricamente diseños geométricos. Se ha afirmado que los monumentos megalíticos de Inglaterra y Escocia , que datan del tercer milenio a. C., incorporan ideas geométricas como círculos , elipses y ternas pitagóricas en su diseño. [17] Sin embargo, todo lo anterior es discutido, y los documentos matemáticos indiscutibles más antiguos en la actualidad provienen de fuentes babilónicas y egipcias dinásticas. [18]
Las matemáticas babilónicas se refieren a cualquier matemática de los pueblos de Mesopotamia (actual Irak ) desde los días de los primeros sumerios a través del período helenístico casi hasta el amanecer del cristianismo . [19] La mayoría del trabajo matemático babilónico proviene de dos períodos ampliamente separados: los primeros cientos de años del segundo milenio a. C. (período babilónico antiguo) y los últimos siglos del primer milenio a. C. ( período seléucida ). [20] Se llama matemáticas babilónicas debido al papel central de Babilonia como lugar de estudio. Más tarde, bajo el Imperio árabe , Mesopotamia, especialmente Bagdad , volvió a convertirse en un importante centro de estudio de las matemáticas islámicas .
En contraste con la escasez de fuentes en las matemáticas egipcias , el conocimiento de las matemáticas babilónicas se deriva de más de 400 tablillas de arcilla desenterradas desde la década de 1850. [21] Escritas en escritura cuneiforme , las tablillas se inscribían mientras la arcilla estaba húmeda y se horneaban en un horno o al calor del sol. Algunas de estas parecen ser tareas calificadas. [22]
Las primeras evidencias de matemáticas escritas se remontan a los antiguos sumerios , que construyeron la civilización más antigua de Mesopotamia. Desarrollaron un complejo sistema de metrología a partir del año 3000 a. C. que se ocupaba principalmente del recuento administrativo/financiero, como las asignaciones de grano, los trabajadores, los pesos de plata o incluso los líquidos, entre otras cosas. [23] Desde aproximadamente el año 2500 a. C. en adelante, los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y se ocuparon de ejercicios geométricos y problemas de división . Los primeros rastros de los numerales babilónicos también datan de este período. [24]
Las matemáticas babilónicas se escribían utilizando un sistema numérico sexagesimal (base 60) . [21] De esto se deriva el uso moderno de 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora y 360 (60 × 6) grados en un círculo, así como el uso de segundos y minutos de arco para denotar fracciones de un grado. Se cree que el sistema sexagesimal fue utilizado inicialmente por los escribas sumerios porque 60 se puede dividir uniformemente por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30, [21] y para los escribas (que repartían las mencionadas asignaciones de grano, registraban pesos de plata, etc.) poder calcular fácilmente a mano era esencial, por lo que un sistema sexagesimal es pragmáticamente más fácil de calcular a mano; Sin embargo, existe la posibilidad de que el uso de un sistema sexagesimal fuera un fenómeno etnolingüístico (que tal vez nunca se conozca) y no una decisión matemática/práctica. [25] Además, a diferencia de los egipcios, griegos y romanos, los babilonios tenían un sistema de valor posicional, donde los dígitos escritos en la columna de la izquierda representaban valores mayores, de manera muy similar al sistema decimal . El poder del sistema de notación babilónico residía en que podía usarse para representar fracciones tan fácilmente como números enteros; por lo tanto, multiplicar dos números que contenían fracciones no era diferente de multiplicar números enteros, de manera similar a la notación moderna. El sistema de notación de los babilonios fue el mejor de cualquier civilización hasta el Renacimiento , y su poder le permitió lograr una notable precisión computacional; por ejemplo, la tablilla babilónica YBC 7289 da una aproximación de √ 2 precisa hasta cinco decimales. [26] Sin embargo, los babilonios carecían de un equivalente del punto decimal, por lo que el valor posicional de un símbolo a menudo tenía que inferirse del contexto. [20] En el período seléucida, los babilonios habían desarrollado un símbolo de cero como marcador de posición para posiciones vacías; sin embargo, solo se usaba para posiciones intermedias. [20] Este signo cero no aparece en posiciones terminales, por lo que los babilonios se acercaron pero no desarrollaron un verdadero sistema de valor posicional. [20]
Otros temas cubiertos por las matemáticas babilónicas incluyen fracciones, álgebra, ecuaciones cuadráticas y cúbicas, y el cálculo de números regulares y sus pares recíprocos . [27] Las tablillas también incluyen tablas de multiplicar y métodos para resolver ecuaciones lineales , cuadráticas y cúbicas , un logro notable para la época. [28] Las tablillas del período babilónico antiguo también contienen la declaración más antigua conocida del teorema de Pitágoras . [29] Sin embargo, al igual que con las matemáticas egipcias, las matemáticas babilónicas no muestran conciencia de la diferencia entre soluciones exactas y aproximadas, o la solubilidad de un problema, y lo más importante, ninguna declaración explícita de la necesidad de pruebas o principios lógicos. [22]
Las matemáticas egipcias se refieren a las matemáticas escritas en el idioma egipcio . A partir del período helenístico , el griego reemplazó al egipcio como el idioma escrito de los eruditos egipcios . El estudio de las matemáticas en Egipto continuó más tarde bajo el Imperio árabe como parte de las matemáticas islámicas , cuando el árabe se convirtió en el idioma escrito de los eruditos egipcios. La evidencia arqueológica ha sugerido que el sistema de conteo del Antiguo Egipto tuvo orígenes en el África subsahariana. [30] Además, los diseños de geometría fractal que están muy extendidos entre las culturas del África subsahariana también se encuentran en la arquitectura egipcia y los signos cosmológicos. [31]
El texto matemático egipcio más extenso es el papiro Rhind (a veces también llamado el Papiro Ahmes por su autor), que data de alrededor de 1650 a. C., pero probablemente sea una copia de un documento más antiguo del Reino Medio de alrededor de 2000-1800 a. C. [32] Es un manual de instrucciones para estudiantes de aritmética y geometría. Además de dar fórmulas de área y métodos para la multiplicación, división y trabajo con fracciones unitarias, también contiene evidencia de otros conocimientos matemáticos, [33] incluyendo números compuestos y primos ; medias aritméticas , geométricas y armónicas ; y entendimientos simplistas tanto de la Criba de Eratóstenes como de la teoría de números perfectos (a saber, la del número 6). [34] También muestra cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden [35] así como series aritméticas y geométricas . [36]
Otro texto matemático egipcio importante es el papiro de Moscú , también del período del Imperio Medio , que data de alrededor de 1890 a. C. [37] Consiste en lo que hoy se denominan problemas de palabras o problemas de historias , que aparentemente estaban pensados como entretenimiento. Un problema se considera de particular importancia porque proporciona un método para encontrar el volumen de un tronco de pirámide .
Finalmente, el Papiro de Berlín 6619 (c. 1800 a. C.) muestra que los antiguos egipcios podían resolver una ecuación algebraica de segundo orden . [38]
Las matemáticas griegas se refieren a las matemáticas escritas en lengua griega desde la época de Tales de Mileto (~600 a. C.) hasta el cierre de la Academia de Atenas en el 529 d. C. [39] Los matemáticos griegos vivían en ciudades repartidas por todo el Mediterráneo oriental, desde Italia hasta el norte de África, pero estaban unidos por la cultura y la lengua. Las matemáticas griegas del período posterior a Alejandro Magno a veces se denominan matemáticas helenísticas . [40]
Las matemáticas griegas eran mucho más sofisticadas que las matemáticas que habían desarrollado culturas anteriores. Todos los registros supervivientes de las matemáticas pregriegas muestran el uso del razonamiento inductivo , es decir, observaciones repetidas utilizadas para establecer reglas generales. Los matemáticos griegos, por el contrario, utilizaban el razonamiento deductivo . Los griegos utilizaban la lógica para derivar conclusiones de definiciones y axiomas, y utilizaban el rigor matemático para demostrarlas. [41]
Se cree que las matemáticas griegas comenzaron con Tales de Mileto (c. 624–c. 546 a. C.) y Pitágoras de Samos (c. 582–c. 507 a. C.). Aunque se discute el alcance de la influencia, es probable que se inspiraran en las matemáticas egipcias y babilónicas . Según la leyenda, Pitágoras viajó a Egipto para aprender matemáticas, geometría y astronomía de los sacerdotes egipcios.
Tales utilizó la geometría para resolver problemas como el cálculo de la altura de las pirámides y la distancia de los barcos a la costa. Se le atribuye el primer uso del razonamiento deductivo aplicado a la geometría, al derivar cuatro corolarios del teorema de Tales . Como resultado, ha sido aclamado como el primer matemático verdadero y el primer individuo conocido al que se le ha atribuido un descubrimiento matemático. [42] Pitágoras estableció la Escuela Pitagórica , cuya doctrina era que las matemáticas gobernaban el universo y cuyo lema era "Todo es número". [43] Fueron los pitagóricos quienes acuñaron el término "matemáticas", y con quienes comienza el estudio de las matemáticas por sí mismas. A los pitagóricos se les atribuye la primera prueba del teorema de Pitágoras , [44] aunque el enunciado del teorema tiene una larga historia, y la prueba de la existencia de números irracionales . [45] [46] Aunque fue precedido por los babilonios , los indios y los chinos , [47] el matemático neopitagórico Nicómaco (60-120 d. C.) proporcionó una de las primeras tablas de multiplicación grecorromanas , mientras que la tabla de multiplicación griega más antigua existente se encuentra en una tablilla de cera que data del siglo I d. C. (ahora se encuentra en el Museo Británico ). [48] La asociación de los neopitagóricos con la invención occidental de la tabla de multiplicar es evidente en su nombre medieval posterior : la mensa Pythagorica . [49]
Platón (428/427 a. C. - 348/347 a. C.) es importante en la historia de las matemáticas por inspirar y guiar a otros. [50] Su Academia platónica , en Atenas , se convirtió en el centro matemático del mundo en el siglo IV a. C., y fue de esta escuela de donde vinieron los principales matemáticos de la época, como Eudoxo de Cnido (c. 390 - c. 340 a. C.). [51] Platón también discutió los fundamentos de las matemáticas, [52] aclaró algunas de las definiciones (por ejemplo, la de una línea como "longitud sin anchura") y reorganizó los supuestos. [53] El método analítico se atribuye a Platón, mientras que una fórmula para obtener ternas pitagóricas lleva su nombre. [51]
Eudoxo desarrolló el método de exhaución , precursor de la integración moderna [54] y una teoría de proporciones que evitaba el problema de las magnitudes inconmensurables . [55] El primero permitió el cálculo de áreas y volúmenes de figuras curvilíneas, [56] mientras que el segundo permitió a los geómetras posteriores realizar avances significativos en geometría. Aunque no hizo ningún descubrimiento matemático técnico específico, Aristóteles (384– c. 322 a. C. ) contribuyó significativamente al desarrollo de las matemáticas al sentar las bases de la lógica . [57]
En el siglo III a. C., el principal centro de educación e investigación matemática era el Museo de Alejandría . [59] Fue allí donde Euclides ( c. 300 a. C. ) enseñó y escribió los Elementos , considerado ampliamente el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos. [1] Los Elementos introdujeron el rigor matemático a través del método axiomático y es el primer ejemplo del formato que todavía se usa en matemáticas hoy en día, el de definición, axioma, teorema y prueba. Aunque la mayoría de los contenidos de los Elementos ya se conocían, Euclides los organizó en un marco lógico único y coherente. [60] Los Elementos eran conocidos por todas las personas educadas en Occidente hasta mediados del siglo XX y sus contenidos todavía se enseñan en las clases de geometría hoy en día. [61] Además de los teoremas familiares de la geometría euclidiana , los Elementos fueron pensados como un libro de texto introductorio a todas las materias matemáticas de la época, como la teoría de números , el álgebra y la geometría de sólidos , [60] incluyendo pruebas de que la raíz cuadrada de dos es irracional y que hay infinitos números primos. Euclides también escribió extensamente sobre otros temas, como las secciones cónicas , la óptica , la geometría esférica y la mecánica, pero solo sobreviven la mitad de sus escritos. [62]
Arquímedes ( c. 287 –212 a. C.) de Siracusa , considerado ampliamente el mayor matemático de la antigüedad, [63] utilizó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita , de una manera no muy diferente del cálculo moderno. [64] También demostró que se podía utilizar el método de agotamiento para calcular el valor de π con tanta precisión como se deseara, y obtuvo el valor más preciso de π conocido hasta entonces, 3+ 10/71 < π < 3+ 10/70 . [65] También estudió la espiral que lleva su nombre, obtuvo fórmulas para los volúmenes de superficies de revolución (paraboloide, elipsoide, hiperboloide), [64] y un ingenioso método de exponenciación para expresar números muy grandes. [66] Si bien también es conocido por sus contribuciones a la física y varios dispositivos mecánicos avanzados, el propio Arquímedes le dio mucho más valor a los productos de su pensamiento y a los principios matemáticos generales. [67] Consideró como su mayor logro su hallazgo del área de superficie y el volumen de una esfera, que obtuvo al demostrar que estos son 2/3 del área de superficie y el volumen de un cilindro que circunscribe la esfera. [68]
Apolonio de Perge ( c. 262-190 a. C.) realizó avances significativos en el estudio de las secciones cónicas , demostrando que se pueden obtener las tres variedades de sección cónica variando el ángulo del plano que corta un cono de doble filo. [69] También acuñó la terminología que se utiliza hoy en día para las secciones cónicas, a saber, parábola ("colocar al lado" o "comparación"), "elipse" ("deficiencia") e "hipérbola" ("un lanzamiento más allá"). [70] Su obra Cónicas es una de las obras matemáticas más conocidas y conservadas de la antigüedad, y en ella deriva muchos teoremas relativos a las secciones cónicas que resultarían invaluables para los matemáticos y astrónomos posteriores que estudiaban el movimiento planetario, como Isaac Newton. [71] Aunque ni Apolonio ni ningún otro matemático griego dieron el salto a la geometría de coordenadas, el tratamiento de las curvas por parte de Apolonio es en algunos aspectos similar al tratamiento moderno, y parte de su trabajo parece anticipar el desarrollo de la geometría analítica por Descartes unos 1800 años después. [72]
Casi al mismo tiempo, Eratóstenes de Cirene ( c. 276-194 a. C.) ideó la Criba de Eratóstenes para encontrar números primos . [73] El siglo III a. C. se considera generalmente como la "Edad de Oro" de las matemáticas griegas, con avances en matemáticas puras a partir de entonces en relativo declive. [74] Sin embargo, en los siglos siguientes se hicieron avances significativos en matemáticas aplicadas, sobre todo en trigonometría , en gran medida para abordar las necesidades de los astrónomos. [74] Hiparco de Nicea ( c. 190-120 a. C.) es considerado el fundador de la trigonometría por compilar la primera tabla trigonométrica conocida, y a él también se le debe el uso sistemático del círculo de 360 grados. [75] A Herón de Alejandría ( c. 10-70 d. C.) se le atribuye la fórmula de Herón para encontrar el área de un triángulo escaleno y ser el primero en reconocer la posibilidad de que los números negativos posean raíces cuadradas. [76] Menelao de Alejandría ( c. 100 d. C. ) fue pionero en la trigonometría esférica a través del teorema de Menelao . [77] La obra trigonométrica más completa e influyente de la antigüedad es el Almagesto de Ptolomeo ( c. 90-168 d. C. ), un tratado astronómico de referencia cuyas tablas trigonométricas serían utilizadas por los astrónomos durante los siguientes mil años. [78] A Ptolomeo también se le atribuye el teorema de Ptolomeo para derivar cantidades trigonométricas, y el valor más preciso de π fuera de China hasta el período medieval, 3.1416. [79]
Tras un período de estancamiento tras Ptolomeo, el período entre 250 y 350 d. C. se conoce a veces como la «Edad de Plata» de las matemáticas griegas. [80] Durante este período, Diofanto realizó avances significativos en álgebra, particularmente en el análisis indeterminado , que también se conoce como «análisis diofántico». [81] El estudio de las ecuaciones diofánticas y las aproximaciones diofánticas es un área significativa de investigación hasta el día de hoy. Su obra principal fue la Arithmetica , una colección de 150 problemas algebraicos que tratan con soluciones exactas a ecuaciones determinadas e indeterminadas . [82] La Arithmetica tuvo una influencia significativa en matemáticos posteriores, como Pierre de Fermat , quien llegó a su famoso Último Teorema después de intentar generalizar un problema que había leído en la Arithmetica (el de dividir un cuadrado en dos cuadrados). [83] Diofanto también hizo avances significativos en la notación, siendo la Arithmetica el primer ejemplo de simbolismo algebraico y síncopa. [82]
Entre los últimos grandes matemáticos griegos se encuentra Pappus de Alejandría (siglo IV d. C.). Es conocido por su teorema del hexágono y el teorema del centroide , así como por la configuración de Pappus y el grafo de Pappus . Su Colección es una fuente importante de conocimiento sobre las matemáticas griegas, ya que la mayor parte de ella ha sobrevivido. [84] Pappus es considerado el último gran innovador en las matemáticas griegas, y su trabajo posterior consiste principalmente en comentarios sobre trabajos anteriores.
La primera mujer matemática registrada por la historia fue Hipatia de Alejandría (350-415 d. C.). Sucedió a su padre ( Teón de Alejandría ) como bibliotecaria de la Gran Biblioteca [ cita requerida ] y escribió muchas obras sobre matemáticas aplicadas. Debido a una disputa política, la comunidad cristiana de Alejandría la desnudó públicamente y la ejecutó. [85] Su muerte a veces se considera como el final de la era de las matemáticas griegas alejandrinas, aunque el trabajo continuó en Atenas durante otro siglo con figuras como Proclo , Simplicio y Eutocio . [86] Aunque Proclo y Simplicio eran más filósofos que matemáticos, sus comentarios sobre obras anteriores son fuentes valiosas sobre las matemáticas griegas. El cierre de la Academia neoplatónica de Atenas por el emperador Justiniano en el año 529 d. C. se considera tradicionalmente como el momento del fin de la era de las matemáticas griegas, aunque la tradición griega continuó ininterrumpida en el imperio bizantino con matemáticos como Antemio de Tralles e Isidoro de Mileto , los arquitectos de Santa Sofía . [87] Sin embargo, las matemáticas bizantinas consistían principalmente en comentarios, con poca innovación, y los centros de innovación matemática se encontraban en otros lugares en esa época. [88]
Aunque los matemáticos étnicos griegos continuaron bajo el gobierno de la República romana tardía y el posterior Imperio romano , no hubo matemáticos latinos nativos notables en comparación. [89] [90] Los antiguos romanos como Cicerón (106-43 a. C.), un estadista romano influyente que estudió matemáticas en Grecia, creían que los topógrafos y calculadores romanos estaban mucho más interesados en las matemáticas aplicadas que en las matemáticas teóricas y la geometría que apreciaban los griegos. [91] No está claro si los romanos derivaron primero su sistema numérico directamente del precedente griego o de los numerales etruscos utilizados por la civilización etrusca centrada en lo que ahora es Toscana , Italia central . [92]
Los romanos, gracias a su habilidad para calcular y detectar fraudes financieros , eran expertos en la gestión de impuestos para el tesoro . [93] Siculus Flaccus , uno de los gromatici (es decir, agrimensores) romanos, escribió las Categorías de campos , que ayudaban a los agrimensores romanos a medir las superficies de las tierras y territorios asignados. [94] Además de gestionar el comercio y los impuestos, los romanos también aplicaban regularmente las matemáticas para resolver problemas de ingeniería , incluida la construcción de arquitectura como puentes , la construcción de carreteras y la preparación para campañas militares . [95] Las artes y artesanías como los mosaicos romanos , inspirados en diseños griegos anteriores , creaban patrones geométricos ilusionistas y escenas ricas y detalladas que requerían medidas precisas para cada tesela ; las piezas de opus tessellatum medían en promedio ocho milímetros cuadrados y las piezas más finas de opus vermiculatum tenían una superficie promedio de cuatro milímetros cuadrados. [96] [97]
La creación del calendario romano también requirió matemáticas básicas. El primer calendario supuestamente data del siglo VIII a. C. durante el Reino Romano e incluía 356 días más un año bisiesto cada dos años. [98] En contraste, el calendario lunar de la era republicana contenía 355 días, aproximadamente diez días y un cuarto más corto que el año solar , una discrepancia que se resolvió agregando un mes extra al calendario después del 23 de febrero. [99] Este calendario fue reemplazado por el calendario juliano , un calendario solar organizado por Julio César (100-44 a. C.) e ideado por Sosígenes de Alejandría para incluir un día bisiesto cada cuatro años en un ciclo de 365 días. [100] Este calendario, que contenía un error de 11 minutos y 14 segundos, fue corregido más tarde por el calendario gregoriano organizado por el papa Gregorio XIII ( r. 1572-1585 ), prácticamente el mismo calendario solar utilizado en los tiempos modernos como calendario estándar internacional. [101]
Casi al mismo tiempo, los chinos Han y los romanos inventaron el odómetro con ruedas para medir las distancias recorridas, el modelo romano descrito por primera vez por el ingeniero civil y arquitecto romano Vitruvio ( c. 80 a. C. - c. 15 a. C. ). [102] El dispositivo se utilizó al menos hasta el reinado del emperador Cómodo ( r. 177 - 192 d. C. ), pero su diseño parece haberse perdido hasta que se realizaron experimentos durante el siglo XV en Europa occidental. [103] Quizás basándose en un engranaje y una tecnología similares encontrados en el mecanismo de Antikythera , el odómetro de Vitruvio presentaba ruedas de carro de 4 pies (1,2 m) de diámetro que giraban cuatrocientas veces en una milla romana (aproximadamente 4590 pies/1400 m). Con cada revolución, un dispositivo de pasador y eje accionaba una rueda dentada de 400 dientes que hacía girar un segundo engranaje encargado de dejar caer piedras en una caja; cada piedra representaba una milla recorrida. [104]
Un análisis de las matemáticas chinas tempranas ha demostrado su desarrollo único en comparación con otras partes del mundo, lo que lleva a los académicos a asumir un desarrollo completamente independiente. [105] El texto matemático existente más antiguo de China es el Zhoubi Suanjing (周髀算經), datado de diversas formas entre 1200 a. C. y 100 a. C., aunque una fecha de alrededor del 300 a. C. durante el Período de los Reinos Combatientes parece razonable. [106] Sin embargo, las Tiras de Bambú de Tsinghua , que contienen la tabla de multiplicación decimal más antigua conocida (aunque los antiguos babilonios tenían unas con una base de 60), están fechadas alrededor del 305 a. C. y es quizás el texto matemático sobreviviente más antiguo de China. [47]
De particular interés es el uso en las matemáticas chinas de un sistema de notación posicional decimal, los llamados "numerales de varilla" en los que se usaban cifras distintas para los números entre 1 y 10, y cifras adicionales para las potencias de diez. [107] Así, el número 123 se escribiría utilizando el símbolo de "1", seguido del símbolo de "100", luego el símbolo de "2" seguido del símbolo de "10", seguido del símbolo de "3". Este era el sistema numérico más avanzado del mundo en ese momento, aparentemente en uso varios siglos antes de la era común y mucho antes del desarrollo del sistema numérico indio. [108] Los numerales de varilla permitían la representación de números tan grandes como se deseara y permitían realizar cálculos en el suan pan , o ábaco chino. La fecha de la invención del suan pan no es segura, pero la primera mención escrita data del año 190 d. C., en las Notas complementarias sobre el arte de las figuras de Xu Yue .
La obra más antigua que se conserva sobre geometría en China procede del canon filosófico Mohist de alrededor del 330 a. C. , compilado por los seguidores de Mozi (470-390 a. C.). El Mo Jing describía diversos aspectos de muchos campos asociados con la ciencia física y también proporcionaba una pequeña cantidad de teoremas geométricos. [109] También definía los conceptos de circunferencia , diámetro , radio y volumen . [110]
En el año 212 a. C., el emperador Qin Shi Huang ordenó que se quemaran todos los libros del Imperio Qin que no estuvieran aprobados oficialmente. Este decreto no fue obedecido universalmente, pero como consecuencia de esta orden se sabe poco sobre las matemáticas chinas antiguas antes de esta fecha. Después de la quema de libros del año 212 a. C., la dinastía Han (202 a. C.-220 d. C.) produjo obras de matemáticas que presumiblemente ampliaron obras que ahora están perdidas. La más importante de ellas es Los nueve capítulos sobre el arte matemático , cuyo título completo apareció en el año 179 d. C., pero que existía en parte con otros títulos antes. Consiste en 246 problemas de palabras que involucran agricultura, negocios, empleo de geometría para calcular alturas y proporciones de dimensiones para torres de pagodas chinas , ingeniería, topografía e incluye material sobre triángulos rectángulos . [106] Creó una prueba matemática para el teorema de Pitágoras , [111] y una fórmula matemática para la eliminación gaussiana . [112] El tratado también proporciona valores de π , [106] que los matemáticos chinos originalmente aproximaron como 3 hasta que Liu Xin (fallecido en el 23 d. C.) proporcionó una cifra de 3,1457 y posteriormente Zhang Heng (78-139) aproximó pi como 3,1724, [113] así como 3,162 tomando la raíz cuadrada de 10. [114] [115] Liu Hui comentó los Nueve Capítulos en el siglo III d. C. y dio un valor de π preciso a 5 decimales (es decir, 3,14159). [116] [117] Aunque fue más una cuestión de esfuerzo computacional que de conocimiento teórico, en el siglo V d. C. Zu Chongzhi calculó el valor de π hasta siete decimales (entre 3,1415926 y 3,1415927), que siguió siendo el valor más preciso de π durante casi los siguientes 1000 años. [116] [118] También estableció un método que más tarde se llamaría el principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera . [119]
El punto culminante de las matemáticas chinas se produjo en el siglo XIII, durante la segunda mitad de la dinastía Song (960-1279), con el desarrollo del álgebra china. El texto más importante de ese período es el Precioso espejo de los cuatro elementos de Zhu Shijie (1249-1314), que trata de la solución de ecuaciones algebraicas simultáneas de orden superior utilizando un método similar al método de Horner . [116] El Precioso espejo también contiene un diagrama del triángulo de Pascal con coeficientes de desarrollos binomiales hasta la octava potencia, aunque ambos aparecen en obras chinas ya en 1100. [120] Los chinos también hicieron uso del complejo diagrama combinatorio conocido como el cuadrado mágico y los círculos mágicos , descritos en la antigüedad y perfeccionados por Yang Hui (1238-1298 d. C.). [120]
Incluso después de que las matemáticas europeas comenzaran a florecer durante el Renacimiento , las matemáticas europeas y chinas eran tradiciones separadas, y la producción matemática china significativa comenzó a declinar a partir del siglo XIII. Los misioneros jesuitas, como Matteo Ricci , llevaron ideas matemáticas de ida y vuelta entre las dos culturas desde el siglo XVI al XVIII, aunque en ese momento entraban en China muchas más ideas matemáticas de las que salían. [120]
Las matemáticas japonesas , coreanas y vietnamitas se consideran tradicionalmente como derivadas de las matemáticas chinas y pertenecientes a la esfera cultural del este asiático basada en el confucianismo . [121] Las matemáticas coreanas y japonesas estuvieron fuertemente influenciadas por las obras algebraicas producidas durante la dinastía Song de China, mientras que las matemáticas vietnamitas estaban fuertemente en deuda con las obras populares de la dinastía Ming de China (1368-1644). [122] Por ejemplo, aunque los tratados matemáticos vietnamitas fueron escritos en chino o en la escritura nativa vietnamita Chữ Nôm , todos ellos siguieron el formato chino de presentar una colección de problemas con algoritmos para resolverlos, seguidos de respuestas numéricas. [123] Las matemáticas en Vietnam y Corea estaban principalmente asociadas con la burocracia profesional de la corte de matemáticos y astrónomos , mientras que en Japón eran más frecuentes en el ámbito de las escuelas privadas . [124]
Las matemáticas que se desarrollaron en Japón durante el periodo Edo (1603-1887) son independientes de las matemáticas occidentales; a este periodo pertenece el matemático Seki Takakazu , de gran influencia, por ejemplo, en el desarrollo del wasan (matemática tradicional japonesa), y cuyos descubrimientos (en áreas como el cálculo integral ), son casi simultáneos a los de matemáticos europeos contemporáneos como Gottfried Leibniz .
Las matemáticas japonesas de este periodo se inspiran en las matemáticas chinas y se orientan hacia problemas esencialmente geométricos. En tablillas de madera llamadas sangaku se plantean y resuelven "enigmas geométricos"; de ahí, por ejemplo, el teorema del hexágono de Soddy .
La civilización más antigua del subcontinente indio es la del valle del Indo (segunda fase de madurez: 2600 a 1900 a. C.), que floreció en la cuenca del río Indo . Sus ciudades estaban dispuestas con regularidad geométrica, pero no se conocen documentos matemáticos de esta civilización. [126]
Los registros matemáticos existentes más antiguos de la India son los Sulba Sutras (fechados de diversas formas entre el siglo VIII a. C. y el siglo II d. C.), [127] apéndices de textos religiosos que dan reglas simples para construir altares de diversas formas, como cuadrados, rectángulos, paralelogramos y otros. [128] Al igual que con Egipto, la preocupación por las funciones del templo apunta a un origen de las matemáticas en el ritual religioso. [127] Los Sulba Sutras dan métodos para construir un círculo con aproximadamente la misma área que un cuadrado dado , lo que implica varias aproximaciones diferentes del valor de π. [129] [130] [a] Además, calculan la raíz cuadrada de 2 con varios decimales, enumeran ternas pitagóricas y dan una declaración del teorema de Pitágoras . [130] Todos estos resultados están presentes en las matemáticas babilónicas, lo que indica influencia mesopotámica. [127] No se sabe en qué medida los Sulba Sutras influyeron en los matemáticos indios posteriores. Al igual que en China, hay una falta de continuidad en las matemáticas indias; los avances significativos están separados por largos períodos de inactividad. [127]
Pāṇini (c. siglo V a. C.) formuló las reglas de la gramática sánscrita . [131] Su notación era similar a la notación matemática moderna, y utilizaba metarreglas, transformaciones y recursión . [132] Pingala (aproximadamente entre los siglos III y I a. C.) en su tratado de prosodia utiliza un dispositivo correspondiente a un sistema de numeración binario . [133] [134] Su discusión de la combinatoria de los metros corresponde a una versión elemental del teorema del binomio . La obra de Pingala también contiene las ideas básicas de los números de Fibonacci (llamados mātrāmeru ). [135]
Los siguientes documentos matemáticos importantes de la India después de los Sulba Sutras son los Siddhantas , tratados astronómicos de los siglos IV y V d. C. ( periodo Gupta ) que muestran una fuerte influencia helenística. [136] Son importantes porque contienen el primer ejemplo de relaciones trigonométricas basadas en la media cuerda, como es el caso de la trigonometría moderna, en lugar de la cuerda completa, como era el caso de la trigonometría ptolemaica. [137] A través de una serie de errores de traducción, las palabras "seno" y "coseno" derivan del sánscrito "jiya" y "kojiya". [137]
Alrededor del año 500 d. C., Aryabhata escribió el Aryabhatiya , un delgado volumen escrito en verso que pretendía complementar las reglas de cálculo utilizadas en astronomía y medición matemática, aunque sin ningún sentido de la lógica o la metodología deductiva. [138] Es en el Aryabhatiya donde aparece por primera vez el sistema de valor posicional decimal. Varios siglos después, el matemático musulmán Abu Rayhan Biruni describió el Aryabhatiya como una "mezcla de guijarros comunes y cristales costosos". [139]
En el siglo VII, Brahmagupta identificó el teorema de Brahmagupta , la identidad de Brahmagupta y la fórmula de Brahmagupta , y por primera vez, en Brahma-sphuta-siddhanta , explicó lúcidamente el uso del cero como marcador de posición y dígito decimal , y explicó el sistema de numeración hindú-árabe . [140] Fue a partir de una traducción de este texto indio sobre matemáticas (c. 770) que los matemáticos islámicos conocieron este sistema de numeración, que adaptaron como numeración árabe . Los eruditos islámicos llevaron el conocimiento de este sistema de numeración a Europa en el siglo XII, y ahora ha desplazado a todos los sistemas de numeración más antiguos en todo el mundo. Se utilizan varios conjuntos de símbolos para representar números en el sistema de numeración hindú-árabe, todos los cuales evolucionaron a partir de los numerales Brahmi . Cada una de las aproximadamente doce escrituras principales de la India tiene sus propios glifos numerales. En el siglo X, el comentario de Halayudha sobre la obra de Pingala contiene un estudio de la secuencia de Fibonacci y el triángulo de Pascal , y describe la formación de una matriz . [ cita requerida ]
En el siglo XII, Bhāskara II , [141] que vivió en el sur de la India, escribió extensamente sobre todas las ramas de las matemáticas conocidas en ese momento. Su obra contiene objetos matemáticos equivalentes o aproximadamente equivalentes a los infinitesimales, el teorema del valor medio y la derivada de la función seno, aunque no desarrolló la noción de derivada. [142] [143] En el siglo XIV, Narayana Pandita completó su Ganita Kaumudi . [144]
También en el siglo XIV, Madhava de Sangamagrama , el fundador de la Escuela de Matemáticas de Kerala , encontró la serie de Madhava-Leibniz y obtuvo de ella una serie transformada , cuyos primeros 21 términos utilizó para calcular el valor de π como 3,14159265359. Madhava también encontró la serie de Madhava-Gregory para determinar la arcotangente, la serie de potencias de Madhava-Newton para determinar el seno y el coseno y la aproximación de Taylor para las funciones seno y coseno. [145] En el siglo XVI, Jyesthadeva consolidó muchos de los desarrollos y teoremas de la Escuela de Kerala en el Yukti-bhāṣā . [146] [147] Se ha argumentado que ciertas ideas de cálculo como las series infinitas y las series de Taylor de algunas funciones trigonométricas, fueron transmitidas a Europa en el siglo XVI [6] a través de misioneros jesuitas y comerciantes que estaban activos alrededor del antiguo puerto de Muziris en ese momento y, como resultado, influyeron directamente en los desarrollos europeos posteriores en análisis y cálculo. [148] Sin embargo, otros académicos argumentan que la Escuela de Kerala no formuló una teoría sistemática de diferenciación e integración , y que no hay ninguna evidencia directa de que sus resultados se transmitieran fuera de Kerala. [149] [150] [151] [152]
El Imperio islámico, establecido en Oriente Medio , Asia Central , el norte de África , Iberia y partes de la India en el siglo VIII, realizó importantes contribuciones a las matemáticas. Aunque la mayoría de los textos islámicos sobre matemáticas se escribieron en árabe , no todos fueron escritos por árabes , ya que, al igual que el estatus del griego en el mundo helenístico, el árabe se usaba como lengua escrita por los eruditos no árabes en todo el mundo islámico en ese momento. [153]
En el siglo IX, el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Khwārizmī escribió un importante libro sobre los números indoarábigos y otro sobre métodos para resolver ecuaciones. Su libro Sobre el cálculo con números hindúes , escrito alrededor de 825, junto con el trabajo de Al-Kindi , fueron fundamentales para difundir las matemáticas indias y los números indios en Occidente. La palabra algoritmo se deriva de la latinización de su nombre, Algoritmi, y la palabra álgebra del título de una de sus obras, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa'l-muqābala ( El libro compendioso sobre el cálculo por compleción y balanceo ). Dio una explicación exhaustiva de la solución algebraica de ecuaciones cuadráticas con raíces positivas, [154] y fue el primero en enseñar álgebra en una forma elemental y por sí misma. [155] También discutió el método fundamental de " reducción " y "equilibrio", refiriéndose a la transposición de términos sustraídos al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos iguales en lados opuestos de la ecuación. Esta es la operación que al-Khwārizmī describió originalmente como al-jabr . [156] Su álgebra ya no se ocupaba "de una serie de problemas a resolver, sino de una exposición que comienza con términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles para ecuaciones, que de ahora en adelante constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio". También estudió una ecuación por sí misma y "de manera genérica, en la medida en que no surge simplemente en el curso de la resolución de un problema, sino que está específicamente llamada a definir una clase infinita de problemas". [157]
En Egipto, Abu Kamil extendió el álgebra al conjunto de números irracionales , aceptando raíces cuadradas y raíces cuartas como soluciones y coeficientes de ecuaciones cuadráticas. También desarrolló técnicas utilizadas para resolver tres ecuaciones simultáneas no lineales con tres variables desconocidas. Una característica única de sus trabajos fue tratar de encontrar todas las soluciones posibles a algunos de sus problemas, incluido uno en el que encontró 2676 soluciones. [158] Sus trabajos formaron una base importante para el desarrollo del álgebra e influyeron en matemáticos posteriores, como al-Karaji y Fibonacci.
Al-Karaji realizó más avances en el álgebra en su tratado al-Fakhri , donde extiende la metodología para incorporar potencias enteras y raíces enteras de cantidades desconocidas. Algo cercano a una prueba por inducción matemática aparece en un libro escrito por Al-Karaji alrededor del año 1000 d. C., quien lo utilizó para demostrar el teorema del binomio , el triángulo de Pascal y la suma de cubos enteros . [159] El historiador de las matemáticas, F. Woepcke, [160] elogió a Al-Karaji por ser "el primero que introdujo la teoría del cálculo algebraico ". También en el siglo X, Abul Wafa tradujo las obras de Diofanto al árabe. Ibn al-Haytham fue el primer matemático en derivar la fórmula para la suma de las cuartas potencias, utilizando un método que es fácilmente generalizable para determinar la fórmula general para la suma de cualquier potencia integral. Realizó una integración para hallar el volumen de un paraboloide y fue capaz de generalizar su resultado para las integrales de polinomios hasta el cuarto grado . De este modo, estuvo cerca de encontrar una fórmula general para las integrales de polinomios, pero no se ocupó de ningún polinomio superior al cuarto grado. [161]
A finales del siglo XI, Omar Khayyam escribió Discusiones sobre las dificultades de Euclides , un libro sobre lo que percibía como defectos en los Elementos de Euclides , especialmente el postulado de las paralelas . También fue el primero en encontrar la solución geométrica general a las ecuaciones cúbicas . También fue muy influyente en la reforma del calendario . [162]
En el siglo XIII, Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) realizó avances en la trigonometría esférica . También escribió un influyente trabajo sobre el postulado de las paralelas de Euclides . En el siglo XV, Ghiyath al-Kashi calculó el valor de π hasta el decimosexto decimal. Kashi también tenía un algoritmo para calcular raíces n- ésimas, que era un caso especial de los métodos propuestos muchos siglos después por Ruffini y Horner .
Otros logros de los matemáticos musulmanes durante este período incluyen la adición de la notación del punto decimal a los números arábigos , el descubrimiento de todas las funciones trigonométricas modernas además del seno, la introducción del criptoanálisis y el análisis de frecuencia por al-Kindi , el desarrollo de la geometría analítica por Ibn al-Haytham , el comienzo de la geometría algebraica por Omar Khayyam y el desarrollo de una notación algebraica por al-Qalasādī . [163]
Durante la época del Imperio Otomano y del Imperio Safávida a partir del siglo XV, el desarrollo de las matemáticas islámicas se estancó.
En las Américas precolombinas , la civilización maya que floreció en México y América Central durante el primer milenio d. C. desarrolló una tradición matemática única que, debido a su aislamiento geográfico, era completamente independiente de las matemáticas europeas, egipcias y asiáticas existentes. [164] Los numerales mayas usaban una base de veinte, el sistema vigesimal , en lugar de una base de diez que forma la base del sistema decimal utilizado por la mayoría de las culturas modernas. [164] Los mayas usaron las matemáticas para crear el calendario maya , así como para predecir fenómenos astronómicos en su astronomía maya nativa . [164] Si bien el concepto de cero tuvo que inferirse en las matemáticas de muchas culturas contemporáneas, los mayas desarrollaron un símbolo estándar para él. [164]
El interés europeo medieval por las matemáticas estaba impulsado por preocupaciones muy diferentes a las de los matemáticos modernos. Un elemento impulsor era la creencia de que las matemáticas proporcionaban la clave para comprender el orden creado de la naturaleza, frecuentemente justificada por el Timeo de Platón y el pasaje bíblico (en el Libro de la Sabiduría ) que dice que Dios había ordenado todas las cosas en medida, número y peso . [165]
Boecio le dio un lugar a las matemáticas en el currículo en el siglo VI cuando acuñó el término quadrivium para describir el estudio de la aritmética, la geometría, la astronomía y la música. Escribió De institutione arithmetica , una traducción libre del griego de la Introducción a la aritmética de Nicómaco ; De institutione musica , también derivada de fuentes griegas; y una serie de extractos de los Elementos de Euclides . Sus obras eran teóricas, más que prácticas, y fueron la base del estudio matemático hasta la recuperación de las obras matemáticas griegas y árabes. [166] [167]
En el siglo XII, los eruditos europeos viajaron a España y Sicilia en busca de textos científicos árabes , incluido el Libro compendioso sobre cálculo por completación y balanceo de al-Khwārizmī , traducido al latín por Roberto de Chester , y el texto completo de los Elementos de Euclides , traducido en varias versiones por Adelardo de Bath , Herman de Carintia y Gerardo de Cremona . [168] [169] Estas y otras nuevas fuentes provocaron una renovación de las matemáticas.
Leonardo de Pisa, ahora conocido como Fibonacci , aprendió por casualidad sobre los números indoarábigos en un viaje a lo que hoy es Béjaïa , Argelia , con su padre comerciante. (Europa todavía usaba números romanos ). Allí, observó un sistema de aritmética (específicamente el algorismo ) que, debido a la notación posicional de los números indoarábigos, era mucho más eficiente y facilitaba enormemente el comercio. Leonardo escribió Liber Abaci en 1202 (actualizado en 1254) introduciendo la técnica en Europa y comenzando un largo período de popularización. El libro también trajo a Europa lo que ahora se conoce como la secuencia de Fibonacci (conocida por los matemáticos indios durante cientos de años antes de eso) [170] que Fibonacci usó como un ejemplo poco destacable.
El siglo XIV fue testigo del desarrollo de nuevos conceptos matemáticos para investigar una amplia gama de problemas. [171] Una contribución importante fue el desarrollo de las matemáticas del movimiento local.
Thomas Bradwardine propuso que la velocidad (V) aumenta en proporción aritmética a medida que la relación entre la fuerza (F) y la resistencia (R) aumenta en proporción geométrica. Bradwardine expresó esto mediante una serie de ejemplos específicos, pero aunque el logaritmo aún no había sido concebido, podemos expresar su conclusión de manera anacrónica escribiendo: V = log (F/R). [172] El análisis de Bradwardine es un ejemplo de transferencia de una técnica matemática utilizada por al-Kindi y Arnald de Villanova para cuantificar la naturaleza de los medicamentos compuestos a un problema físico diferente. [173]
Uno de los calculadores de Oxford del siglo XIV , William Heytesbury , que carecía de cálculo diferencial y del concepto de límites , propuso medir la velocidad instantánea "por la trayectoria que describiría [un cuerpo] si ... se moviera uniformemente al mismo grado de velocidad con el que se mueve en ese instante dado". [176]
Heytesbury y otros determinaron matemáticamente la distancia recorrida por un cuerpo sometido a un movimiento uniformemente acelerado (hoy resuelta por integración), afirmando que "un cuerpo en movimiento que adquiere o pierde uniformemente ese incremento [de velocidad] recorrerá en un tiempo dado una [distancia] completamente igual a la que recorrería si se moviera continuamente durante el mismo tiempo con el grado medio [de velocidad]". [177]
Nicole Oresme de la Universidad de París y el italiano Giovanni di Casali proporcionaron demostraciones gráficas independientes de esta relación, afirmando que el área bajo la línea que representa la aceleración constante representaba la distancia total recorrida. [178] En un comentario matemático posterior sobre los Elementos de Euclides , Oresme realizó un análisis general más detallado en el que demostró que un cuerpo adquirirá en cada incremento sucesivo de tiempo un incremento de cualquier cualidad que aumenta con los números impares. Dado que Euclides había demostrado que la suma de los números impares son los números cuadrados, la cualidad total adquirida por el cuerpo aumenta con el cuadrado del tiempo. [179]
Durante el Renacimiento , el desarrollo de las matemáticas y de la contabilidad estaban entrelazados. [180] Si bien no existe una relación directa entre el álgebra y la contabilidad, la enseñanza de las materias y los libros publicados a menudo estaban destinados a los hijos de los comerciantes que eran enviados a escuelas de cálculo (en Flandes y Alemania ) o escuelas de ábaco (conocidas como abbaco en Italia), donde aprendían las habilidades útiles para el comercio. Probablemente no haya necesidad de álgebra para realizar operaciones de contabilidad , pero para operaciones complejas de trueque o el cálculo del interés compuesto , era obligatorio un conocimiento básico de aritmética y el conocimiento del álgebra era muy útil.
Piero della Francesca (c. 1415-1492) escribió libros sobre geometría sólida y perspectiva lineal , entre ellos De Prospectiva Pingendi (Sobre la perspectiva de la pintura) , Trattato d'Abaco (Tratado del ábaco) y De quinque corporibus regularibus (Sobre los cinco sólidos regulares). ) . [181] [182] [183]
La Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità (en italiano: «Revisión de aritmética , geometría , razón y proporción ») de Luca Pacioli se imprimió y publicó por primera vez en Venecia en 1494. Incluía un tratado de 27 páginas sobre contabilidad, «Particularis de Computis et Scripturis» (en italiano: «Detalles de cálculo y registro»). Fue escrita principalmente para, y vendida principalmente a, comerciantes que usaban el libro como texto de referencia, como una fuente de placer a partir de los acertijos matemáticos que contenía y para ayudar en la educación de sus hijos. [184] En Summa Arithmetica , Pacioli introdujo símbolos para más y menos por primera vez en un libro impreso, símbolos que se convirtieron en notación estándar en las matemáticas del Renacimiento italiano. Summa Arithmetica también fue el primer libro conocido impreso en Italia que contenía álgebra. Pacioli obtuvo muchas de sus ideas de Piero Della Francesca, a quien plagió.
En Italia, durante la primera mitad del siglo XVI, Scipione del Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia descubrieron soluciones para ecuaciones cúbicas . Gerolamo Cardano las publicó en su libro de 1545 Ars Magna , junto con una solución para las ecuaciones de cuarto grado , descubierta por su alumno Lodovico Ferrari . En 1572 Rafael Bombelli publicó su L'Algebra en el que mostraba cómo tratar las cantidades imaginarias que podían aparecer en la fórmula de Cardano para resolver ecuaciones cúbicas.
De Thiende ('El arte de las décimas') de Simon Stevin , publicado por primera vez en holandés en 1585, contenía el primer tratamiento sistemático de la notación decimal en Europa, que influyó en todo el trabajo posterior sobre el sistema de números reales . [185] [186]
Impulsada por las exigencias de la navegación y la creciente necesidad de mapas precisos de grandes áreas, la trigonometría se convirtió en una rama importante de las matemáticas. Bartholomaeus Pitiscus fue el primero en utilizar la palabra, publicando su Trigonometria en 1595. La tabla de senos y cosenos de Regiomontanus se publicó en 1533. [187]
Durante el Renacimiento, el deseo de los artistas de representar el mundo natural de forma realista, junto con el redescubrimiento de la filosofía de los griegos, llevó a los artistas a estudiar matemáticas. También eran los ingenieros y arquitectos de la época, y por lo tanto necesitaban las matemáticas en cualquier caso. El arte de la pintura en perspectiva y los avances en geometría que esto implicaba fueron estudiados intensamente. [188]
El siglo XVII fue testigo de un aumento sin precedentes de las ideas matemáticas y científicas en toda Europa. Galileo observó las lunas de Júpiter en órbita alrededor de ese planeta, utilizando un telescopio basado en el de Hans Lipperhey . Tycho Brahe había reunido una gran cantidad de datos matemáticos que describían las posiciones de los planetas en el cielo. Por su posición como asistente de Brahe, Johannes Kepler fue el primero en conocer e interactuar seriamente con el tema del movimiento planetario. Los cálculos de Kepler se simplificaron gracias a la invención contemporánea de los logaritmos por parte de John Napier y Jost Bürgi . Kepler logró formular leyes matemáticas del movimiento planetario. [189] La geometría analítica desarrollada por René Descartes (1596-1650) permitió trazar esas órbitas en un gráfico, en coordenadas cartesianas .
Basándose en el trabajo previo de muchos predecesores, Isaac Newton descubrió las leyes de la física que explican las Leyes de Kepler y reunió los conceptos que ahora se conocen como cálculo . Independientemente, Gottfried Wilhelm Leibniz desarrolló el cálculo y gran parte de la notación de cálculo que todavía se usa hoy en día. También refinó el sistema de numeración binario , que es la base de casi todas las computadoras digitales ( electrónicas , de estado sólido , de lógica discreta ) , incluida la arquitectura de Von Neumann , que es el paradigma de diseño estándar, o " arquitectura de computadora ", seguido desde la segunda mitad del siglo XX y hasta el siglo XXI. Leibniz ha sido llamado el "fundador de la ciencia de la computación". [190]
La ciencia y las matemáticas se habían convertido en un esfuerzo internacional, que pronto se extendería por todo el mundo. [191]
Además de la aplicación de las matemáticas a los estudios del cielo, las matemáticas aplicadas comenzaron a expandirse a nuevas áreas, con la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal . Pascal y Fermat sentaron las bases para las investigaciones de la teoría de la probabilidad y las reglas correspondientes de la combinatoria en sus discusiones sobre un juego de azar . Pascal, con su apuesta , intentó utilizar la teoría de la probabilidad recién desarrollada para defender una vida dedicada a la religión, con el argumento de que incluso si la probabilidad de éxito era pequeña, las recompensas eran infinitas. En cierto sentido, esto prefiguró el desarrollo de la teoría de la utilidad en los siglos XVIII y XIX.
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El matemático más influyente del siglo XVIII fue, sin duda, Leonhard Euler (1707-1783). Sus contribuciones van desde la fundación del estudio de la teoría de grafos con el problema de los Siete Puentes de Königsberg hasta la estandarización de muchos términos y notaciones matemáticas modernas. Por ejemplo, nombró la raíz cuadrada de menos 1 con el símbolo i y popularizó el uso de la letra griega para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Hizo numerosas contribuciones al estudio de la topología, la teoría de grafos, el cálculo, la combinatoria y el análisis complejo, como lo demuestra la multitud de teoremas y notaciones que llevan su nombre.
Otros matemáticos europeos importantes del siglo XVIII fueron Joseph Louis Lagrange , quien realizó trabajos pioneros en teoría de números, álgebra, cálculo diferencial y cálculo de variaciones, y Pierre-Simon Laplace , quien, en la era de Napoleón , realizó trabajos importantes sobre los fundamentos de la mecánica celeste y sobre estadística .
A lo largo del siglo XIX, las matemáticas se volvieron cada vez más abstractas. [192] Carl Friedrich Gauss (1777–1855) personifica esta tendencia. [ cita requerida ] Hizo un trabajo revolucionario sobre funciones de variables complejas , en geometría y sobre la convergencia de series , dejando de lado sus muchas contribuciones a la ciencia. También dio las primeras pruebas satisfactorias del teorema fundamental del álgebra y de la ley de reciprocidad cuadrática . [ cita requerida ]
Este siglo vio el desarrollo de las dos formas de geometría no euclidiana , donde el postulado paralelo de la geometría euclidiana ya no se cumple. El matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky y su rival, el matemático húngaro János Bolyai , definieron y estudiaron independientemente la geometría hiperbólica , donde la unicidad de las paralelas ya no se cumple. En esta geometría, la suma de los ángulos en un triángulo suman menos de 180°. La geometría elíptica fue desarrollada más tarde en el siglo XIX por el matemático alemán Bernhard Riemann ; aquí no se puede encontrar ningún paralelo y los ángulos en un triángulo suman más de 180°. Riemann también desarrolló la geometría de Riemann , que unifica y generaliza ampliamente los tres tipos de geometría, y definió el concepto de variedad , que generaliza las ideas de curvas y superficies , y sentó las bases matemáticas para la teoría de la relatividad general . [193]
El siglo XIX fue testigo del inicio de una gran cantidad de álgebra abstracta . Hermann Grassmann en Alemania dio una primera versión de los espacios vectoriales , William Rowan Hamilton en Irlanda desarrolló el álgebra no conmutativa . [ cita requerida ] El matemático británico George Boole ideó un álgebra que pronto evolucionó hacia lo que ahora se llama álgebra de Boole , en la que los únicos números eran 0 y 1. El álgebra de Boole es el punto de partida de la lógica matemática y tiene importantes aplicaciones en ingeniería eléctrica y ciencias de la computación . [ cita requerida ] Augustin-Louis Cauchy , Bernhard Riemann y Karl Weierstrass reformularon el cálculo de una manera más rigurosa. [ cita requerida ]
Además, por primera vez, se exploraron los límites de las matemáticas. Niels Henrik Abel , un noruego, y Évariste Galois , un francés, demostraron que no existe un método algebraico general para resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro ( teorema de Abel-Ruffini ). [194] Otros matemáticos del siglo XIX utilizaron esto en sus pruebas de que la regla y el compás por sí solos no son suficientes para trisecar un ángulo arbitrario , para construir el lado de un cubo con el doble del volumen de un cubo dado, ni para construir un cuadrado con un área igual a un círculo dado . [ cita requerida ] Los matemáticos habían intentado en vano resolver todos estos problemas desde la época de los antiguos griegos. [ cita requerida ] Por otro lado, la limitación de las tres dimensiones en geometría fue superada en el siglo XIX a través de consideraciones del espacio de parámetros y los números hipercomplejos . [ cita requerida ]
Las investigaciones de Abel y Galois sobre las soluciones de varias ecuaciones polinómicas sentaron las bases para posteriores desarrollos de la teoría de grupos y los campos asociados del álgebra abstracta . En el siglo XX, los físicos y otros científicos han visto la teoría de grupos como la forma ideal de estudiar la simetría . [ cita requerida ]
A finales del siglo XIX, Georg Cantor sentó las primeras bases de la teoría de conjuntos , que permitió el tratamiento riguroso de la noción de infinito y se convirtió en el lenguaje común de casi todas las matemáticas. La teoría de conjuntos de Cantor y el auge de la lógica matemática en manos de Peano , LEJ Brouwer , David Hilbert , Bertrand Russell y AN Whitehead iniciaron un debate de larga data sobre los fundamentos de las matemáticas . [ cita requerida ]
El siglo XIX fue testigo de la fundación de varias sociedades matemáticas nacionales: la London Mathematical Society en 1865, [195] la Société Mathématique de France en 1872, [196] el Circolo Matematico di Palermo en 1884, [197] [198] la Edinburgh Mathematical Society en 1883, [199] y la American Mathematical Society en 1888. [200] La primera sociedad internacional de interés especial, la Quaternion Society , se formó en 1899, en el contexto de una controversia vectorial . [201]
En 1897, Kurt Hensel introdujo los números p-ádicos . [202]
En el siglo XX, las matemáticas se convirtieron en una profesión importante. A finales de siglo, se otorgaban miles de nuevos doctorados en matemáticas cada año y había puestos de trabajo disponibles tanto en la enseñanza como en la industria. [203] Se realizó un esfuerzo para catalogar las áreas y aplicaciones de las matemáticas en la enciclopedia de Klein . [204]
En un discurso pronunciado en 1900 ante el Congreso Internacional de Matemáticos , David Hilbert elaboró una lista de 23 problemas matemáticos no resueltos . [205] Estos problemas, que abarcan muchas áreas de las matemáticas, constituyeron un foco central para gran parte de las matemáticas del siglo XX. Hoy en día, 10 han sido resueltos, 7 están parcialmente resueltos y 2 siguen abiertos. Los 4 restantes están formulados de forma demasiado vaga como para afirmar si están resueltos o no. [ cita requerida ]
Conjeturas históricas notables finalmente fueron probadas. En 1976, Wolfgang Haken y Kenneth Appel demostraron el teorema de los cuatro colores , controvertido en ese momento por el uso de una computadora para hacerlo. [206] Andrew Wiles , basándose en el trabajo de otros, demostró el último teorema de Fermat en 1995. [207] Paul Cohen y Kurt Gödel demostraron que la hipótesis del continuo es independiente de (no podía ni ser probada ni refutada a partir de) los axiomas estándar de la teoría de conjuntos . [208] En 1998, Thomas Callister Hales demostró la conjetura de Kepler , también usando una computadora. [209]
Se produjeron colaboraciones matemáticas de un tamaño y alcance sin precedentes. Un ejemplo es la clasificación de grupos finitos simples (también llamada el "teorema enorme"), cuya demostración entre 1955 y 2004 requirió unos 500 artículos de revistas escritos por unos 100 autores y que ocuparon decenas de miles de páginas. [210] Un grupo de matemáticos franceses, entre ellos Jean Dieudonné y André Weil , que publicaron bajo el seudónimo de " Nicolas Bourbaki ", intentaron exponer todas las matemáticas conocidas como un todo coherente y riguroso. Las varias docenas de volúmenes resultantes han tenido una influencia controvertida en la educación matemática. [211]
La geometría diferencial cobró importancia cuando Albert Einstein la utilizó en la relatividad general . [ cita requerida ] Áreas completamente nuevas de las matemáticas, como la lógica matemática , la topología y la teoría de juegos de John von Neumann , cambiaron los tipos de preguntas que podían responderse mediante métodos matemáticos. [ cita requerida ] Se abstrajeron todo tipo de estructuras utilizando axiomas y se les dieron nombres como espacios métricos , espacios topológicos , etc. [ cita requerida ] Como hacen los matemáticos, el concepto de una estructura abstracta fue abstraído y condujo a la teoría de categorías . [ cita requerida ] Grothendieck y Serre reformularon la geometría algebraica utilizando la teoría de haces . [ cita requerida ] Se lograron grandes avances en el estudio cualitativo de los sistemas dinámicos que Poincaré había comenzado en la década de 1890. [ cita requerida ] La teoría de la medida se desarrolló a fines del siglo XIX y principios del XX. Las aplicaciones de las medidas incluyen la integral de Lebesgue , la axiomatización de la teoría de la probabilidad de Kolmogorov y la teoría ergódica . [ cita requerida ] La teoría de nudos se expandió enormemente. [ cita requerida ] La mecánica cuántica condujo al desarrollo del análisis funcional . [ cita requerida ] Otras áreas nuevas incluyen la teoría de la distribución de Laurent Schwartz , la teoría del punto fijo , la teoría de la singularidad y la teoría de catástrofes de René Thom , la teoría de modelos y los fractales de Mandelbrot . [ cita requerida ] La teoría de Lie con sus grupos de Lie y álgebras de Lie se convirtió en una de las principales áreas de estudio. [ cita requerida ]
El análisis no estándar , introducido por Abraham Robinson , rehabilitó el enfoque infinitesimal del cálculo, que había caído en descrédito en favor de la teoría de límites , al extender el campo de los números reales a los números hiperreales que incluyen cantidades infinitesimales e infinitas. [ cita requerida ] Un sistema numérico aún más grande, los números surrealistas , fueron descubiertos por John Horton Conway en conexión con los juegos combinatorios . [ cita requerida ]
El desarrollo y la mejora continua de las computadoras , primero máquinas analógicas mecánicas y luego máquinas electrónicas digitales, permitieron a la industria manejar cantidades cada vez mayores de datos para facilitar la producción, distribución y comunicación en masa, y se desarrollaron nuevas áreas de las matemáticas para lidiar con esto: la teoría de computabilidad de Alan Turing ; la teoría de la complejidad ; el uso de ENIAC por parte de Derrick Henry Lehmer para promover la teoría de números y la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer ; la teoría de la función recursiva de Rózsa Péter ; la teoría de la información de Claude Shannon ; el procesamiento de señales ; el análisis de datos ; la optimización y otras áreas de la investigación de operaciones . [ cita requerida ] En los siglos anteriores, gran parte de la atención matemática se centró en el cálculo y las funciones continuas, pero el auge de las redes de computación y comunicación condujo a una creciente importancia de los conceptos discretos y a la expansión de la combinatoria , incluida la teoría de grafos . La velocidad y las capacidades de procesamiento de datos de las computadoras también permitieron el manejo de problemas matemáticos que consumían demasiado tiempo para resolverlos con cálculos con lápiz y papel, lo que dio lugar a áreas como el análisis numérico y el cálculo simbólico . [ cita requerida ] Algunos de los métodos y algoritmos más importantes del siglo XX son: el algoritmo simplex , la transformada rápida de Fourier , los códigos correctores de errores , el filtro de Kalman de la teoría de control y el algoritmo RSA de criptografía de clave pública . [ cita requerida ]
Al mismo tiempo, se hicieron profundas reflexiones sobre las limitaciones de las matemáticas. En 1929 y 1930, se demostró [¿ por quién? ] que la verdad o falsedad de todas las afirmaciones formuladas sobre los números naturales más la adición o la multiplicación (pero no ambas), era decidible , es decir, podía determinarse mediante algún algoritmo. [ cita requerida ] En 1931, Kurt Gödel descubrió que este no era el caso de los números naturales más la adición y la multiplicación; este sistema, conocido como aritmética de Peano , era de hecho incompleto . (La aritmética de Peano es adecuada para una buena parte de la teoría de números , incluida la noción de número primo ). Una consecuencia de los dos teoremas de incompletitud de Gödel es que en cualquier sistema matemático que incluya la aritmética de Peano (incluido todo el análisis y la geometría), la verdad necesariamente supera a la prueba, es decir, hay afirmaciones verdaderas que no se pueden demostrar dentro del sistema. Por lo tanto, las matemáticas no pueden reducirse a la lógica matemática, y el sueño de David Hilbert de hacer que todas las matemáticas sean completas y consistentes necesitaba ser reformulado. [ cita requerida ]
Una de las figuras más pintorescas de las matemáticas del siglo XX fue Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920), un autodidacta indio [212] que conjeturó o demostró más de 3000 teoremas [ cita requerida ] , incluidas las propiedades de los números altamente compuestos , [213] la función de partición [212] y sus asíntotas , [214] y funciones theta simuladas . [212] También realizó importantes investigaciones en las áreas de funciones gamma , [215] [216] formas modulares , [212] series divergentes , [212] series hipergeométricas [212] y teoría de números primos. [212]
Paul Erdős publicó más artículos que cualquier otro matemático en la historia, [217] trabajando con cientos de colaboradores. Los matemáticos tienen un juego equivalente al Juego de Kevin Bacon , que conduce al número de Erdős de un matemático. Este describe la "distancia colaborativa" entre una persona y Erdős, medida por la autoría conjunta de artículos matemáticos. [218] [219]
Emmy Noether ha sido descrita por muchos como la mujer más importante en la historia de las matemáticas. [220] Estudió las teorías de anillos , campos y álgebras . [221]
Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de conocimiento en la era científica ha llevado a la especialización: hacia finales del siglo, había cientos de áreas especializadas en matemáticas, y la Clasificación de Matemáticas por Temas tenía docenas de páginas. [222] Se publicaron cada vez más revistas matemáticas y, hacia finales del siglo, el desarrollo de la World Wide Web llevó a la publicación en línea. [ cita requerida ]
En 2000, el Instituto de Matemáticas Clay anunció los siete Problemas del Premio del Milenio . [223] En 2003, la conjetura de Poincaré fue resuelta por Grigori Perelman (quien se negó a aceptar un premio, ya que era crítico del establishment matemático). [224]
La mayoría de las revistas matemáticas tienen ahora versiones en línea, así como versiones impresas, y se han lanzado muchas revistas que sólo están en línea. [225] [226] Hay un impulso creciente hacia la publicación de acceso abierto , que se hizo popular por primera vez gracias a arXiv . [ cita requerida ]
Hay muchas tendencias observables en matemáticas, la más notable es que la materia está creciendo cada vez más a medida que las computadoras son cada vez más importantes y poderosas; el volumen de datos que se produce en la ciencia y la industria, facilitado por las computadoras, continúa expandiéndose exponencialmente. Como resultado, hay un crecimiento correspondiente en la demanda de matemáticas para ayudar a procesar y comprender estos grandes datos . [227] También se espera que las carreras científicas matemáticas sigan creciendo, y la Oficina de Estadísticas Laborales de EE. UU. estimó (en 2018) que "se proyecta que el empleo de ocupaciones científicas matemáticas crecerá un 27,9 por ciento entre 2016 y 2026". [228]
{{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda ) Cap. IV "Matemáticas y astronomía egipcias", págs. 71–96.766 nos enteramos de que una obra astronómica y matemática, conocida por los árabes como Sindhind , llegó a Bagdad desde la India. Se cree generalmente que se trataba del Brahmasphuta Siddhanta , aunque puede que fuera el Surya Siddhanata . Unos años más tarde, quizá alrededor del año 775, este Siddhanata fue traducido al árabe, y no mucho después (ca. 780) el Tetrabiblos astrológico de Ptolomeo fue traducido al árabe desde el griego.
{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )Charles Whish
la describió por primera vez en inglés
, en la década de 1830, se anunció como el descubrimiento del cálculo por parte de los indios. Esta afirmación y los logros de Mādhava fueron ignorados por los historiadores occidentales, presumiblemente al principio porque no podían admitir que un indio descubriera el cálculo, pero más tarde porque nadie leía más las
Transactions of the Royal Asiatic Society
, en las que se publicó el artículo de Whish. El asunto resurgió en la década de 1950, y ahora tenemos los textos sánscritos correctamente editados, y entendemos la forma inteligente en que Mādhava derivó la serie
sin
el cálculo; pero muchos historiadores todavía encuentran imposible concebir el problema y su solución en términos de algo que no sea el cálculo y proclaman que el cálculo es lo que Mādhava encontró. En este caso, la elegancia y brillantez de las matemáticas de Mādhava están siendo distorsionadas al ser enterradas bajo la solución matemática actual a un problema para el cual él descubrió una solución alternativa y poderosa.
No es inusual encontrar en las discusiones sobre las matemáticas indias afirmaciones como que 'el concepto de diferenciación se entendía [en la India] desde la época de Manjula (... en el siglo X)' [Joseph 1991, 300], o que 'podemos considerar a Madhava como el fundador del análisis matemático' (Joseph 1991, 293), o que Bhaskara II puede afirmar ser 'el precursor de Newton y Leibniz en el descubrimiento del principio del cálculo diferencial' (Bag 1979, 294)... Los puntos de semejanza, particularmente entre el cálculo europeo temprano y el trabajo de Keralese sobre series de potencias, incluso han inspirado sugerencias de una posible transmisión de ideas matemáticas desde la costa de Malabar en o después del siglo XV al mundo académico latino (por ejemplo, en (Bag 1979, 285))... Sin embargo, debe tenerse en cuenta que tal énfasis en la similitud del sánscrito (o El hecho de que las matemáticas en malayalam y latinas puedan reducir nuestra capacidad de ver y comprender plenamente las primeras puede hacer que se pierda de vista y de comprenderlas. Hablar del «descubrimiento indio del principio del cálculo diferencial» oscurece un poco el hecho de que las técnicas indias para expresar cambios en el seno por medio del coseno o viceversa, como en los ejemplos que hemos visto, permanecieron dentro de ese contexto trigonométrico específico. El «principio» diferencial no se generalizó a funciones arbitrarias; de hecho, la noción explícita de una función arbitraria, por no hablar de la de su derivada o de un algoritmo para obtener la derivada, es irrelevante aquí.
Nicole Oresme ... fue el primero en demostrar la divergencia de la serie armónica (c. 1350). Sus resultados se perdieron durante varios siglos, y el resultado fue demostrado nuevamente por el matemático italiano Pietro Mengoli en 1647 y por el matemático suizo Johann Bernoulli en 1687.
{{citation}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )