Los sistemas numéricos han progresado desde el uso de dedos y marcas de conteo , quizás hace más de 40.000 años, hasta el uso de conjuntos de glifos capaces de representar cualquier número concebible de manera eficiente. Las notaciones numéricas inequívocas más antiguas que se conocen surgieron en Mesopotamia hace unos 5.000 o 6.000 años.
Inicialmente, contar involucra los dedos, [1] dado que el recuento de dígitos es común en los sistemas numéricos que están surgiendo hoy en día, al igual que el uso de las manos para expresar los números cinco y diez. [2] Además, la mayoría de los sistemas numéricos del mundo están organizados en decenas, cinco y veinte, lo que sugiere el uso de las manos y los pies para contar, y en varios idiomas, los términos para estas cantidades se basan etimológicamente en las manos y pies. [3] [4] Finalmente, existen conexiones neurológicas entre las partes del cerebro que aprecian la cantidad y la parte que "conoce" los dedos (gnosia de los dedos), y estas sugieren que los humanos están neurológicamente predispuestos a usar sus manos para contar. [5] [6] Si bien contar los dedos no suele ser algo que se conserve arqueológicamente, algunas plantillas de manos prehistóricas se han interpretado como un conteo de dedos, ya que de los 32 patrones posibles que los dedos pueden producir, solo cinco (los que normalmente se usan para contar desde uno a cinco) se encuentran en la cueva Cosquer, Francia. [7]
Dado que la capacidad y persistencia de los dedos son limitadas, el conteo de dedos suele complementarse con dispositivos de mayor capacidad y persistencia, incluidos contadores de madera u otros materiales. [8] Posibles marcas de conteo realizadas mediante muescas talladas en madera, hueso y piedra aparecen en el registro arqueológico hace al menos cuarenta mil años. [9] [10] Estas marcas de conteo pueden haberse utilizado para contar el tiempo, como el número de días o ciclos lunares , o para mantener registros de cantidades, como el número de animales u otros productos valiosos . Sin embargo, actualmente no existe ninguna técnica de diagnóstico que pueda determinar de manera confiable el propósito social o el uso de marcas lineales prehistóricas inscritas en superficies, y ejemplos etnográficos contemporáneos muestran que artefactos similares se fabrican y utilizan con fines no numéricos. [11]
El hueso de Lebombo es un peroné de babuino con marcas incisas descubierto en las montañas Lebombo ubicadas entre Sudáfrica y Eswatini . El hueso data de hace 42.000 años. [12] Según El Libro Universal de las Matemáticas ,: p. 184 las 29 muescas del hueso Lebombo sugieren que "puede haber sido utilizado como contador de fases lunares, en cuyo caso las mujeres africanas pueden haber sido las primeras matemáticas, porque para llevar la cuenta de los ciclos menstruales se requiere un calendario lunar ". Sin embargo, el hueso está claramente roto en un extremo, por lo que las 29 muescas podrían representar sólo una parte de una secuencia más grande. [12] Artefactos similares de sociedades contemporáneas, como las de Australia, también sugieren que tales muescas pueden cumplir funciones mnemotécnicas o convencionales, en lugar de significar números. [11]
El hueso de Ishango es un artefacto con un trozo afilado de cuarzo adherido a un extremo, tal vez para grabar. Se ha fechado hace 25.000 años. [13] Inicialmente se pensó que el artefacto era un palo de conteo , ya que tiene una serie de lo que se ha interpretado como marcas de conteo talladas en tres filas a lo largo de la herramienta. La primera fila se ha interpretado como los números primos entre 10 y 20 (es decir, 19, 17, 13 y 11), mientras que una segunda fila parece sumar y restar 1 de 10 y 20 (es decir, 9, 19, 21, y 11); la tercera fila contiene cantidades que podrían ser mitades y dobles, aunque son inconsistentes. [14] Al observar la probabilidad estadística de producir tales números por accidente, investigadores como Jean de Heinzelin han sugerido que las agrupaciones de muescas indican una comprensión matemática mucho más allá del simple conteo. También se ha sugerido que las marcas podrían haberse hecho con un propósito utilitario, como crear un mejor agarre para el mango, o por alguna otra razón no matemática. El propósito y el significado de las muescas siguen siendo debatidos en la literatura académica. [15]
La escritura más antigua conocida para el mantenimiento de registros surgió de un sistema de contabilidad que utilizaba pequeñas fichas de arcilla. Los artefactos más antiguos que se afirma que son tokens son de Tell Abu Hureyra , un sitio en el valle del Alto Éufrates en Siria que data del décimo milenio a. C., [16] y Ganj-i-Dareh Tepe , un sitio en la región de Zagros en Irán que data de el noveno milenio a.C. [17]
Para crear un registro que representara "dos ovejas", se utilizaron dos fichas, cada una de las cuales representaba una unidad. Los distintos tipos de objetos también se contaron de forma diferente. Dentro del sistema de conteo utilizado con la mayoría de los objetos discretos (incluidos animales como las ovejas), había una ficha para un elemento (unidades), una ficha diferente para diez elementos (decenas), una ficha diferente para seis decenas (sesenta), etc. de diferentes tamaños y formas se utilizaron para registrar grupos superiores de diez o seis en un sistema numérico sexagesimal . Diferentes combinaciones de formas y tamaños de fichas codificaban los diferentes sistemas de conteo. [18] La arqueóloga Denise Schmandt-Besserat ha argumentado que las fichas geométricas simples utilizadas para los números iban acompañadas de fichas complejas que identificaban los productos que se enumeraban. Para los ungulados como las ovejas, esta ficha compleja era un disco plano marcado con un círculo en cuartos. Sin embargo, el supuesto uso de tokens complejos también ha sido criticado por varios motivos. [19]
Para garantizar que las fichas no se perdieran ni se alterara su tipo o cantidad, se colocaban en sobres de arcilla con forma de bolas huecas conocidas como bullae (una bulla ). Se imprimieron sellos de propiedad y testigos en las superficies de las ampollas, que también podían dejarse lisas. Si era necesario verificar las fichas después de sellar la bula que las contenía, había que abrir la bula. Alrededor de mediados del cuarto milenio a. C., las fichas comenzaron a presionarse en la superficie exterior de una bulla antes de sellarse en su interior, presumiblemente para evitar la necesidad de abrir la bulla para verlas. Este proceso creó impresiones externas en las superficies de las ampollas que correspondían a las fichas encerradas en sus tamaños, formas y cantidades. Con el tiempo, la redundancia creada por las fichas dentro y las impresiones fuera de una bulla parece haber sido reconocida, y las impresiones en tabletas planas se convirtieron en el método preferido para registrar información numérica. Las correspondencias entre impresiones y muestras, y la cronología de las formas que comprendían, fueron inicialmente observadas y publicadas por estudiosos como Piere Amiet. [20] [21] [22] [23]
Cuando las impresiones numéricas proporcionaron información sobre los números antiguos, los sumerios ya habían desarrollado una aritmética compleja . [24] Los cálculos probablemente se realizaron con fichas o mediante un ábaco o un tablero de conteo . [25] [26]
Entre mediados y finales del cuarto milenio a. C., las impresiones numéricas utilizadas con ampollas fueron reemplazadas por tablillas numéricas que contenían números protocuneiformes impresos en arcilla con un lápiz redondo sostenido en diferentes ángulos para producir las diversas formas utilizadas para los signos numéricos. [27] Como sucedía con las fichas y las impresiones numéricas en el exterior de las bullae, cada signo numérico representaba tanto el producto que se contaba como la cantidad o volumen de ese producto. Estos números pronto fueron acompañados de pequeños dibujos que identificaban el producto enumerado. Los sumerios contaban diferentes tipos de objetos de forma diferente. Como se entendió a través del análisis de las primeras notaciones protocuneiformes de la ciudad de Uruk , había más de una docena de sistemas de conteo diferentes, [18] incluido un sistema general para contar la mayoría de los objetos discretos (como animales, herramientas y personas) y sistemas especializados. sistemas para contar quesos y productos de cereales, volúmenes de cereales (incluidas unidades fraccionarias ), superficies de tierra y tiempo. El recuento de objetos especificados no es inusual y ha sido documentado para los pueblos contemporáneos de todo el mundo; Estos sistemas modernos proporcionan una buena idea de cómo probablemente funcionaban los antiguos sistemas numéricos sumerios. [28]
Alrededor del 2700 a. C., la aguja redonda comenzó a ser reemplazada por una aguja de caña que producía las impresiones en forma de cuña que dan nombre a los signos cuneiformes . Como fue el caso de las fichas, las impresiones numéricas y los números protocuneiformes, los números cuneiformes hoy en día son a veces ambiguos en los valores numéricos que representan. Esta ambigüedad se debe en parte a que no siempre se comprende la unidad base de un sistema de conteo especificado por un objeto, y en parte a que el sistema numérico sumerio carecía de una convención como un punto decimal para diferenciar números enteros de fracciones o exponentes más altos de los más bajos. Alrededor del año 2100 a. C., se desarrolló un sistema numérico sexagesimal común con valor posicional y se utilizó para ayudar en las conversiones entre sistemas de conteo especificados por objetos. [29] [30] [31] Una versión decimal del sistema numérico sexagesimal , hoy llamado común asirio-babilónico, se desarrolló en el segundo milenio a. C., lo que refleja la creciente influencia de los pueblos semíticos como los acadios y los eblaitas; Si bien hoy es menos conocido que su contraparte sexagesimal, eventualmente se convertiría en el sistema dominante utilizado en toda la región, especialmente cuando la influencia cultural sumeria comenzó a debilitarse. [32] [33]
Los números sexagesimales eran un sistema de bases mixtas que conservaba las bases alternas de 10 y 6 que caracterizaban fichas, impresiones numéricas y signos numéricos protocuneiformes. Los números sexagesimales se utilizaban en el comercio, así como para cálculos astronómicos y de otro tipo. En los números arábigos , el sexagesimal todavía se utiliza hoy en día para contar el tiempo (segundos por minuto; minutos por hora) y ángulos ( grados ).
Los números romanos se desarrollaron a partir de símbolos etruscos a mediados del primer milenio a.C. [34] En el sistema etrusco, el símbolo 1 era una única marca vertical, el símbolo 10 eran dos marcas de conteo cruzadas perpendicularmente y el símbolo 100 eran tres marcas de conteo cruzadas (similar en forma a un asterisco moderno *); mientras que 5 (una forma de V invertida) y 50 (una V invertida dividida por una sola marca vertical) tal vez se derivaron de las mitades inferiores de los signos de 10 y 100, no hay una explicación convincente de cómo el símbolo romano de 100, C, se deriva de su antecedente etrusco en forma de asterisco. [35]