En teoría de conjuntos , un conjunto universal es un conjunto que contiene todos los objetos, incluido él mismo. [1] En la teoría de conjuntos tal como se formula habitualmente, se puede demostrar de múltiples maneras que no existe un conjunto universal. Sin embargo, algunas variantes no estándar de la teoría de conjuntos incluyen un conjunto universal.
Muchas teorías de conjuntos no admiten la existencia de un conjunto universal. Existen diversos argumentos para su inexistencia, basados en distintas opciones de axiomas para la teoría de conjuntos.
La paradoja de Russell se refiere a la imposibilidad de un conjunto de conjuntos cuyos miembros sean todos conjuntos que no se contengan a sí mismos. Si tal conjunto pudiera existir, no podría contenerse a sí mismo (porque sus miembros no se contienen a sí mismos) ni evitar contenerse a sí mismo (porque si lo hiciera, debería incluirse como uno de sus miembros). [2] Esta paradoja impide la existencia de un conjunto universal en teorías de conjuntos que incluyan el axioma de comprensión restringida de Zermelo o el axioma de regularidad y el axioma de emparejamiento .
En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el axioma de regularidad y el axioma de emparejamiento impiden que cualquier conjunto se contenga a sí mismo. Para cualquier conjunto , el conjunto (construido mediante emparejamiento) contiene necesariamente un elemento disjunto de , por regularidad. Como su único elemento es , debe darse el caso de que sea disjunto de , y por lo tanto que no se contenga a sí mismo. Como un conjunto universal necesariamente se contendría a sí mismo, no puede existir bajo estos axiomas. [3]
La paradoja de Russell impide la existencia de un conjunto universal en las teorías de conjuntos que incluyen el axioma de comprensión restringida de Zermelo . Este axioma establece que, para cualquier fórmula y cualquier conjunto , existe un conjunto que contiene exactamente aquellos elementos de que satisfacen . [2]
Si este axioma pudiera aplicarse a un conjunto universal , con definido como predicado , afirmaría la existencia del conjunto paradójico de Russell, lo que daría lugar a una contradicción. Fue esta contradicción la que llevó a que el axioma de comprensión se enunciara en su forma restringida, donde afirma la existencia de un subconjunto de un conjunto dado en lugar de la existencia de un conjunto de todos los conjuntos que satisfacen una fórmula dada. [2]
Cuando el axioma de comprensión restringida se aplica a un conjunto arbitrario , con el predicado , produce el subconjunto de elementos de que no se contienen a sí mismos. No puede ser miembro de , porque si lo fuera estaría incluido como miembro de sí mismo, por su definición, contradiciendo el hecho de que no puede contenerse a sí mismo. De esta manera, es posible construir un testimonio de la no universalidad de , incluso en versiones de la teoría de conjuntos que permiten que los conjuntos se contengan a sí mismos. Esto, de hecho, se mantiene incluso con la comprensión predicativa y sobre la lógica intuicionista .
Otra dificultad que plantea la idea de un conjunto universal se refiere al conjunto potencia del conjunto de todos los conjuntos. Como este conjunto potencia es un conjunto de conjuntos, necesariamente sería un subconjunto del conjunto de todos los conjuntos, siempre que ambos existan. Sin embargo, esto entra en conflicto con el teorema de Cantor, que sostiene que el conjunto potencia de cualquier conjunto (sea infinito o no) siempre tiene una cardinalidad estrictamente superior a la del propio conjunto.
Las dificultades asociadas a un conjunto universal pueden evitarse utilizando una variante de la teoría de conjuntos en la que el axioma de comprensión esté restringido de algún modo, o utilizando un objeto universal que no se considere un conjunto.
Existen teorías de conjuntos que se sabe que son consistentes (si la teoría de conjuntos habitual es consistente) en las que el conjunto universal V existe (y es verdadero). En estas teorías, el axioma de comprensión de Zermelo no se cumple en general, y el axioma de comprensión de la teoría de conjuntos ingenua está restringido de una manera diferente. Una teoría de conjuntos que contiene un conjunto universal es necesariamente una teoría de conjuntos no bien fundada . La teoría de conjuntos más estudiada con un conjunto universal es New Foundations de Willard Van Orman Quine . Alonzo Church y Arnold Oberschelp también publicaron trabajos sobre tales teorías de conjuntos. Church especuló que su teoría podría extenderse de una manera consistente con la de Quine, [4] pero esto no es posible para la de Oberschelp, ya que en ella la función singleton es demostrablemente un conjunto, [5] lo que conduce inmediatamente a la paradoja en New Foundations. [6]
Otro ejemplo es la teoría de conjuntos positivos , en la que el axioma de comprensión se limita a las fórmulas positivas (fórmulas que no contienen negaciones). Estas teorías de conjuntos están motivadas por nociones de clausura en topología.
La idea de un conjunto universal parece intuitivamente deseable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , en particular porque la mayoría de las versiones de esta teoría permiten el uso de cuantificadores sobre todos los conjuntos (véase cuantificador universal ). Una forma de permitir un objeto que se comporte de manera similar a un conjunto universal, sin crear paradojas, es describir V y colecciones grandes similares como clases propias en lugar de como conjuntos. La paradoja de Russell no se aplica en estas teorías porque el axioma de comprensión opera sobre conjuntos, no sobre clases.
La categoría de conjuntos también puede considerarse como un objeto universal que, una vez más, no es en sí mismo un conjunto. Tiene todos los conjuntos como elementos, y también incluye flechas para todas las funciones de un conjunto a otro. Una vez más, no se contiene a sí mismo, porque en sí mismo no es un conjunto.
