Teoría de conjuntos de Zermelo

Sistema de teoría de conjuntos matemáticos

La teoría de conjuntos de Zermelo (a veces denotada por Z ^- ), tal como se expuso en un artículo seminal de 1908 de Ernst Zermelo , es la antecesora de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) moderna y sus extensiones, como la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG). Presenta ciertas diferencias con sus descendientes, que no siempre se entienden y con frecuencia se citan incorrectamente. Este artículo establece los axiomas originales , con el texto original (traducido al inglés) y la numeración original.

Los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo

Los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo se establecen para objetos, algunos de los cuales (pero no necesariamente todos) son conjuntos, y los objetos restantes son elementos primarios y no conjuntos. El lenguaje de Zermelo incluye implícitamente una relación de pertenencia ∈, una relación de igualdad = (si no está incluida en la lógica subyacente) y un predicado unario que indica si un objeto es un conjunto. Las versiones posteriores de la teoría de conjuntos a menudo suponen que todos los objetos son conjuntos, por lo que no hay elementos primarios y no hay necesidad del predicado unario.

1. AXIOMA I. Axioma de extensionalidad ( Axiom der Bestimmtheit ) "Si cada elemento de un conjunto M es también un elemento de N y viceversa... entonces M N. Brevemente, cada conjunto está determinado por sus elementos." ${\displaystyle \equiv }$
2. AXIOMA II. Axioma de los conjuntos elementales ( Axiom der Elementarmengen ) "Existe un conjunto, el conjunto nulo, ∅, que no contiene ningún elemento. Si a es un objeto cualquiera del dominio, existe un conjunto { a } que contiene a y sólo a como elemento. Si a y b son dos objetos cualesquiera del dominio, siempre existe un conjunto { a , b } que contiene como elementos a y b pero ningún objeto x distinto de ambos." Véase Axioma de pares .
3. AXIOMA III. Axioma de separación ( Axiom der Aussonderung ) "Siempre que la función proposicional –( x ) esté definida para todos los elementos de un conjunto M , M posee un subconjunto M'  que contiene como elementos precisamente aquellos elementos x de M para los cuales –( x ) es verdadero."
4. AXIOMA IV. Axioma del conjunto potencia ( Axiom der Potenzmenge ) "A cada conjunto T le corresponde un conjunto T'  , el conjunto potencia de T , que contiene como elementos precisamente todos los subconjuntos de T.  "
5. AXIOMA V. Axioma de la unión ( Axiom der Vereinigung ) "A todo conjunto T le corresponde un conjunto ∪T , la unión de T , que contiene como elementos precisamente todos los elementos de los elementos de T  ."
6. AXIOMA VI. Axioma de elección ( Axiom der Auswahl ) "Si T es un conjunto cuyos elementos son todos conjuntos distintos de ∅ y mutuamente disjuntos, su unión ∪T incluye al menos un subconjunto S ₁ que tiene uno y sólo un elemento en común con cada elemento de T  ."
7. AXIOMA VII. Axioma de infinito ( Axiom des Unendlichen ) "Existe en el dominio al menos un conjunto Z que contiene como elemento al conjunto nulo y está constituido de tal manera que a cada uno de sus elementos a corresponde otro elemento de la forma { a }, es decir, que con cada uno de sus elementos a contiene también como elemento al conjunto correspondiente { a }."

Conexión con la teoría de conjuntos estándar

La teoría de conjuntos más utilizada y aceptada se conoce como ZFC, que consiste en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, incluido el axioma de elección (AC). Los enlaces muestran dónde se corresponden los axiomas de la teoría de Zermelo. No hay una correspondencia exacta para los "conjuntos elementales". (Más tarde se demostró que el conjunto singleton podía derivarse de lo que ahora se llama el "Axioma de pares". Si a existe, a y a existen, por lo tanto { a , a } existe, y por extensionalidad { a , a } = { a }.) El axioma del conjunto vacío ya está asumido por el axioma de infinito, y ahora se incluye como parte de él.

La teoría de conjuntos de Zermelo no incluye los axiomas de reemplazo y regularidad . El axioma de reemplazo fue publicado por primera vez en 1922 por Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem , quienes habían descubierto independientemente que los axiomas de Zermelo no pueden probar la existencia del conjunto { Z ₀ ,  Z ₁ ,  Z ₂ , ...} donde Z ₀ es el conjunto de números naturales y Z _{n +1} es el conjunto potencia de Z _n . Ambos se dieron cuenta de que el axioma de reemplazo es necesario para probar esto. El año siguiente, John von Neumann señaló que el axioma de regularidad es necesario para construir su teoría de los ordinales . El axioma de regularidad fue enunciado por von Neumann en 1925. ^[1]

En el sistema ZFC moderno, la "función proposicional" a la que se hace referencia en el axioma de separación se interpreta como "cualquier propiedad definible por una fórmula de primer orden con parámetros", por lo que el axioma de separación se reemplaza por un esquema axiomático . La noción de "fórmula de primer orden" no se conocía en 1908 cuando Zermelo publicó su sistema axiomático, y más tarde rechazó esta interpretación por ser demasiado restrictiva. La teoría de conjuntos de Zermelo suele tomarse como una teoría de primer orden con el axioma de separación reemplazado por un esquema axiomático con un axioma para cada fórmula de primer orden. También puede considerarse como una teoría en lógica de segundo orden , donde ahora el axioma de separación es solo un axioma único. La interpretación de segundo orden de la teoría de conjuntos de Zermelo es probablemente más cercana a la propia concepción de Zermelo y es más fuerte que la interpretación de primer orden.

Dado que —donde es el conjunto de rango en la jerarquía acumulativa —forma un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo de segundo orden dentro de ZFC siempre que sea un ordinal límite mayor que el ordinal infinito más pequeño , se deduce que la consistencia de la teoría de conjuntos de Zermelo de segundo orden (y, por lo tanto, también la de la teoría de conjuntos de Zermelo de primer orden) es un teorema de ZFC. Si dejamos , la existencia de un cardinal límite fuerte incontable no se satisface en dicho modelo; por lo tanto, la existencia de ℶ ω (el cardinal límite fuerte incontable más pequeño) no se puede probar en la teoría de conjuntos de Zermelo de segundo orden. De manera similar, el conjunto (donde L es el universo construible ) forma un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo de primer orden en el que no se satisface la existencia de un cardinal límite débil incontable, lo que muestra que la teoría de conjuntos de Zermelo de primer orden ni siquiera puede probar la existencia del cardinal singular más pequeño , . Dentro de dicho modelo, los únicos cardinales infinitos son los números aleph restringidos a ordinales de índice finito. ${\displaystyle (V_{\lambda },V_{\lambda +1})}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \lambda =\omega \cdot 2}$ ${\displaystyle V_{\omega \cdot 2}\cap L}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

El axioma de infinito se suele modificar ahora para afirmar la existencia del primer ordinal de von Neumann infinito ; los axiomas originales de Zermelo no pueden probar la existencia de este conjunto, ni tampoco los axiomas de Zermelo modificados pueden probar el axioma de infinito de Zermelo ^[2] . Los axiomas de Zermelo (originales o modificados) no pueden probar la existencia de como conjunto ni de ningún rango de la jerarquía acumulativa de conjuntos con índice infinito. En cualquier formulación, la teoría de conjuntos de Zermelo no puede probar la existencia del ordinal de von Neumann , a pesar de probar la existencia de tal tipo de orden; por lo tanto, la definición de von Neumann de ordinales no se emplea para la teoría de conjuntos de Zermelo. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle V_{\omega }}$ ${\displaystyle \omega \cdot 2}$

Zermelo permitió la existencia de urelementos que no son conjuntos y no contienen elementos; estos suelen omitirse actualmente en las teorías de conjuntos.

Teoría de conjuntos de Mac Lane

La teoría de conjuntos de Mac Lane, introducida por Mac Lane  (1986), es la teoría de conjuntos de Zermelo con el axioma de separación restringido a fórmulas de primer orden en las que cada cuantificador está acotado. La teoría de conjuntos de Mac Lane es similar en fuerza a la teoría de topos con un objeto de número natural , o al sistema de Principia mathematica . Es lo suficientemente fuerte como para llevar a cabo casi todas las matemáticas ordinarias no conectadas directamente con la teoría de conjuntos o la lógica.

El objetivo del artículo de Zermelo

En la introducción se afirma que la existencia misma de la disciplina de la teoría de conjuntos "parece estar amenazada por ciertas contradicciones o "antinomias" que pueden derivarse de sus principios –principios que necesariamente gobiernan nuestro pensamiento, al parecer– y para las cuales aún no se ha encontrado una solución completamente satisfactoria". Zermelo se refiere, por supuesto, a la " antinomia de Russell ".

Dice que quiere demostrar cómo la teoría original de Georg Cantor y Richard Dedekind puede reducirse a unas cuantas definiciones y siete principios o axiomas. Dice que no ha podido demostrar que los axiomas sean consistentes.

Un argumento no constructivista a favor de su consistencia es el siguiente: definamos V _α para α uno de los ordinales 0, 1, 2, ..., ω, ω+1, ω+2,..., ω·2 de la siguiente manera:

• V ₀ es el conjunto vacío.
• Para α un sucesor de la forma β+1, V _α se define como la colección de todos los subconjuntos de V _β .
• Para un límite α (por ejemplo, ω, ω·2), entonces V _α se define como la unión de V _β para β<α.

Entonces los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo son consistentes porque son verdaderos en el modelo V _ω·2 . Mientras que un no constructivista podría considerar esto como un argumento válido, un constructivista probablemente no lo haría: mientras que no hay problemas con la construcción de los conjuntos hasta V _ω , la construcción de V _ω+1 es menos clara porque uno no puede definir constructivamente cada subconjunto de V _ω . Este argumento puede convertirse en una prueba válida con la adición de un solo nuevo axioma de infinito a la teoría de conjuntos de Zermelo, simplemente que V _ω·2 existe . Esto presumiblemente no es convincente para un constructivista, pero muestra que la consistencia de la teoría de conjuntos de Zermelo puede probarse con una teoría que no es muy diferente de la teoría de Zermelo en sí, solo un poco más poderosa.

El axioma de la separación

Zermelo comenta que el Axioma III de su sistema es el encargado de eliminar las antinomias. Se diferencia de la definición original de Cantor en lo siguiente:

Los conjuntos no pueden definirse independientemente mediante ninguna noción arbitraria definible lógicamente. Deben construirse de alguna manera a partir de conjuntos previamente construidos. Por ejemplo, pueden construirse tomando conjuntos potencia, o pueden separarse como subconjuntos de conjuntos ya "dados". Esto, dice, elimina ideas contradictorias como "el conjunto de todos los conjuntos" o "el conjunto de todos los números ordinales".

Resuelve la paradoja de Russell mediante este teorema: "Todo conjunto posee al menos un subconjunto que no es un elemento de ". Sea el subconjunto del cual, por el AXIOMA III, se separa por la noción " ". Entonces no puede estar en . Para ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\notin x}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$

1. Si está en , entonces contiene un elemento x para el cual x está en x (es decir, en sí mismo), lo que contradiría la definición de . ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$
2. Si no está en , y asumiendo que es un elemento de M , entonces es un elemento de M que satisface la definición " ", y por lo tanto está en lo cual es una contradicción. ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle x\notin x}$ ${\displaystyle M_{0}}$

Por lo tanto, la suposición que se encuentra en es errónea, lo que demuestra el teorema. Por lo tanto, no todos los objetos del dominio universal B pueden ser elementos de un mismo conjunto. "Esto elimina la antinomia de Russell en lo que a nosotros respecta". ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$

Esto dejó el problema del "dominio B ", que parece referirse a algo, lo que llevó a la idea de una clase propiamente dicha .

Teorema de Cantor

El artículo de Zermelo es quizás el primero en mencionar el nombre de " teorema de Cantor ". Teorema de Cantor: "Si M es un conjunto arbitrario, entonces siempre M < P( M ) [el conjunto potencia de M ]. Todo conjunto es de cardinalidad inferior a la del conjunto de sus subconjuntos".

Zermelo demuestra esto considerando una función φ: M → P( M ). Por el Axioma III esto define el siguiente conjunto M'  :

M'  = { m : m ∉ φ( m )}.

Pero ningún elemento m'  de M  podría corresponder a M'  , es decir, tal que φ( m'  ) = M'  . De lo contrario, podemos construir una contradicción:

1) Si m'  está en M'  entonces por definición m'  ∉ φ( m'  ) = M'  , que es la primera parte de la contradicción

2) Si m'  no está en M'  sino en M  entonces por definición m'  ∉ M'  = φ( m'  ) lo que por definición implica que m'  está en M'  , que es la segunda parte de la contradicción.

Por lo tanto, por contradicción , m'  no existe. Nótese la gran similitud de esta prueba con la forma en que Zermelo resuelve la paradoja de Russell.

Véase también

• S (teoría de conjuntos)

Referencias

1. Ferreirós 2007, págs.369, 371.
2. Drabbe, Jean (20 de enero de 1969). "Les axiomes de l'infini dans la théorie des ensembles sans axiome de substitution". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, París . 268 : 137–138 . Consultado el 8 de septiembre de 2024 .

Obras citadas

• Ferreirós, José (2007), Laberinto del pensamiento: Una historia de la teoría de conjuntos y su papel en el pensamiento matemático , Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7.

Referencias generales

• Mac Lane, Saunders (1986), Matemáticas, forma y función , Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-4872-9, ISBN 0-387-96217-4, Sr.  0816347.
• Zermelo, Ernst (1908), "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I", Mathematische Annalen , 65 (2): 261–281, doi :10.1007/bf01449999, S2CID  120085563Traducción al inglés: Heijenoort, Jean van (1967), "Investigaciones sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos", From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Source Books in the History of the Sciences, Harvard Univ. Press, pp. 199–215, ISBN 978-0-674-32449-7.