En lógica matemática , la paradoja de Russell (también conocida como antinomia de Russell ) es una paradoja de la teoría de conjuntos publicada por el filósofo y matemático británico Bertrand Russell en 1901. [1] [2] La paradoja de Russell muestra que toda teoría de conjuntos que contiene un principio de comprensión ilimitado conduce a contradicciones. [3] La paradoja ya había sido descubierta de forma independiente en 1899 por el matemático alemán Ernst Zermelo . [4] Sin embargo, Zermelo no publicó la idea, que sólo fue conocida por David Hilbert , Edmund Husserl y otros académicos de la Universidad de Göttingen . A finales de la década de 1890, Georg Cantor –considerado el fundador de la teoría de conjuntos moderna– ya se había dado cuenta de que su teoría conduciría a una contradicción, como les dijo a Hilbert y Richard Dedekind por carta. [5]
Según el principio de comprensión ilimitada, para cualquier propiedad suficientemente bien definida , existe el conjunto de todos y sólo los objetos que tienen esa propiedad. Sea R el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. (Este conjunto a veces se denomina "conjunto de Russell".) Si R no es miembro de sí mismo, entonces su definición implica que es miembro de sí mismo; sin embargo, si es miembro de sí mismo, entonces no es miembro de sí mismo, ya que es el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. La contradicción resultante es la paradoja de Russell. En símbolos:
Russell también demostró que se podía derivar una versión de la paradoja en el sistema axiomático construido por el filósofo y matemático alemán Gottlob Frege , socavando así el intento de Frege de reducir las matemáticas a la lógica y poniendo en duda el programa logicista . En 1908 se propusieron dos formas influyentes de evitar la paradoja: la teoría de tipos del propio Russell y la teoría de conjuntos de Zermelo . En particular, los axiomas de Zermelo restringieron el principio de comprensión ilimitada. Con las contribuciones adicionales de Abraham Fraenkel , la teoría de conjuntos de Zermelo se convirtió en la ahora estándar teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (comúnmente conocida como ZFC cuando se incluye el axioma de elección ). La principal diferencia entre la solución de la paradoja de Russell y Zermelo es que Zermelo modificó los axiomas de la teoría de conjuntos manteniendo un lenguaje lógico estándar, mientras que Russell modificó el lenguaje lógico mismo. El lenguaje de ZFC, con la ayuda de Thoralf Skolem , resultó ser el de la lógica de primer orden . [6]
La mayoría de los conjuntos que se encuentran comúnmente no son miembros de sí mismos. Llamemos a un conjunto "normal" si no es miembro de sí mismo, y "anormal" si es miembro de sí mismo. Es evidente que cada conjunto debe ser normal o anormal. Por ejemplo, considere el conjunto de todos los cuadrados de un plano . Este conjunto no es en sí mismo un cuadrado en el plano, por lo que no es miembro de sí mismo y, por tanto, es normal. Por el contrario, el conjunto complementario que contiene todo lo que no es un cuadrado en el plano no es en sí mismo un cuadrado en el plano, por lo que es uno de sus propios miembros y, por tanto, es anormal.
Ahora consideramos el conjunto de todos los conjuntos normales, R , y tratamos de determinar si R es normal o anormal. Si R fuera normal, estaría contenido en el conjunto de todos los conjuntos normales (en sí mismo) y, por tanto, sería anormal; por otro lado, si R fuera anormal, no estaría contenido en el conjunto de todos los conjuntos normales (en sí mismo) y, por tanto, sería normal. Esto lleva a la conclusión de que R no es ni normal ni anormal: la paradoja de Russell.
El término " teoría ingenua de conjuntos " se utiliza de diversas maneras. En un sentido, la teoría ingenua de conjuntos es una teoría formal, que se formula en un lenguaje de primer orden con un predicado binario no lógico , y que incluye el axioma de extensionalidad :
y el esquema axioma de comprensión ilimitada :
para cualquier fórmula con la variable x como variable libre dentro . Sustituir para obtener
Luego, por instanciación existencial (reutilizando el símbolo ) y instanciación universal tenemos
una contradicción. Por tanto, esta ingenua teoría de conjuntos es inconsistente . [7]
Antes de la paradoja de Russell (y de otras paradojas similares descubiertas en la época, como la paradoja de Burali-Forti ), una concepción común de la idea de conjunto era el "concepto extensional de conjunto", como lo relatan von Neumann y Morgenstern: [ 8]
Un conjunto es una colección arbitraria de objetos, sin que se imponga absolutamente ninguna restricción a la naturaleza y al número de estos objetos, los elementos del conjunto en cuestión. Los elementos constituyen y determinan el conjunto como tal, sin que exista ordenamiento ni relación de ningún tipo entre ellos.
En particular, no había distinción entre conjuntos y clases propias como colecciones de objetos. Además, la existencia de cada uno de los elementos de una colección se consideró suficiente para la existencia del conjunto de dichos elementos. Sin embargo, paradojas como las de Russell y Burali-Forti mostraron la imposibilidad de esta concepción de conjunto, mediante ejemplos de colecciones de objetos que no forman conjuntos, a pesar de que todos dichos objetos existen.
A partir del principio de explosión de la lógica clásica , cualquier proposición puede demostrarse a partir de una contradicción . Por tanto, la presencia de contradicciones como la paradoja de Russell en una teoría de conjuntos axiomática es desastrosa; ya que si se puede demostrar que alguna fórmula es verdadera, destruye el significado convencional de verdad y falsedad. Además, dado que la teoría de conjuntos era vista como la base para un desarrollo axiomático de todas las demás ramas de las matemáticas, la paradoja de Russell amenazaba los fundamentos de las matemáticas en su conjunto. Esto motivó una gran cantidad de investigaciones a principios del siglo XX para desarrollar una teoría de conjuntos consistente (libre de contradicciones).
En 1908, Ernst Zermelo propuso una axiomatización de la teoría de conjuntos que evitaba las paradojas de la ingenua teoría de conjuntos reemplazando la comprensión arbitraria de conjuntos con axiomas de existencia más débiles, como su axioma de separación ( Aussonderung ). (Evitar la paradoja no era la intención original de Zermelo, sino documentar qué supuestos utilizó para demostrar el teorema del bien ordenamiento ). [9] Las modificaciones a esta teoría axiomática propuestas en la década de 1920 por Abraham Fraenkel , Thoralf Skolem y el propio Zermelo dieron como resultado en la teoría de conjuntos axiomática llamada ZFC . Esta teoría fue ampliamente aceptada una vez que el axioma de elección de Zermelo dejó de ser controvertido, y ZFC ha seguido siendo la teoría axiomática de conjuntos canónica hasta el día de hoy.
ZFC no supone que, para cada propiedad, exista un conjunto de todas las cosas que satisfacen esa propiedad. Más bien, afirma que dado cualquier conjunto X , existe cualquier subconjunto de X definible usando lógica de primer orden . El objeto R definido por la paradoja de Russell anterior no puede construirse como un subconjunto de ningún conjunto X y, por lo tanto, no es un conjunto en ZFC. En algunas extensiones de ZFC, especialmente en la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel , los objetos como R se denominan clases propias .
ZFC no dice nada sobre los tipos, aunque la jerarquía acumulativa tiene una noción de capas que se parecen a los tipos. El propio Zermelo nunca aceptó la formulación de Skolem de ZFC utilizando el lenguaje de la lógica de primer orden. Como señala José Ferreirós, Zermelo insistió en cambio en que "las funciones proposicionales (condiciones o predicados) utilizadas para separar subconjuntos, así como las funciones de reemplazo, pueden ser 'completamente arbitrarias ' [ganz beliebig ]"; la interpretación moderna dada a esta afirmación es que Zermelo quería incluir una cuantificación de orden superior para evitar la paradoja de Skolem . Alrededor de 1930, Zermelo también introdujo (aparentemente independientemente de von Neumann), el axioma de fundación , así—como observa Ferreirós—"al prohibir los conjuntos 'circulares' y 'no fundamentados', [ZFC] incorporó una de las motivaciones cruciales de TT [ teoría de tipos]—el principio de los tipos de argumentos". Esta ZFC de segundo orden preferida por Zermelo, incluido el axioma de fundación, permitió una rica jerarquía acumulativa. Ferreirós escribe que "las 'capas' de Zermelo son esencialmente las mismas que los tipos de las versiones contemporáneas de la TT [teoría de tipos] simple ofrecidas por Gödel y Tarski. Se puede describir la jerarquía acumulativa en la que Zermelo desarrolló sus modelos como el universo de un universo acumulativo". TT en el que se permiten tipos transfinitos (una vez que hemos adoptado un punto de vista impredicativo, abandonando la idea de que las clases se construyen, no es antinatural aceptar tipos transfinitos). ' esencialmente sobre los mismos objetos previstos. La principal diferencia es que TT se basa en una fuerte lógica de orden superior, mientras que Zermelo empleó lógica de segundo orden, y a ZFC también se le puede dar una formulación de primer orden. La 'descripción' de primer orden de la jerarquía acumulativa es mucho más débil, como lo demuestra la existencia de modelos contables (la paradoja de Skolem), pero disfruta de algunas ventajas importantes". [10]
En ZFC, dado un conjunto A , es posible definir un conjunto B que consta exactamente de los conjuntos de A que no son miembros de sí mismos. B no puede estar en A por el mismo razonamiento de la paradoja de Russell. Esta variación de la paradoja de Russell muestra que ningún conjunto lo contiene todo.
A través del trabajo de Zermelo y otros, especialmente John von Neumann , la estructura de lo que algunos ven como los objetos "naturales" descritos por ZFC finalmente quedó clara: son los elementos del universo von Neumann , V , construidos a partir del conjunto vacío. iterando transfinitamente la operación del conjunto de potencia . Por lo tanto , ahora es posible nuevamente razonar sobre conjuntos de una manera no axiomática sin entrar en conflicto con la paradoja de Russell, es decir, razonando sobre los elementos de V. Si es apropiado pensar en los conjuntos de esta manera es un punto de discusión entre los puntos de vista rivales sobre la filosofía de las matemáticas .
Otras soluciones a la paradoja de Russell, con una estrategia subyacente más cercana a la de la teoría de tipos , incluyen los Nuevos Fundamentos de Quine y la teoría de conjuntos de Scott-Potter . Otro enfoque más es definir la relación de membresía múltiple con un esquema de comprensión apropiadamente modificado, como en la teoría de conjuntos de doble extensión .
Russell descubrió la paradoja en mayo [11] o junio de 1901. [12] Según su propio relato en su Introducción a la Filosofía Matemática de 1919 , "intentó descubrir algún defecto en la prueba de Cantor de que no existe un cardenal máximo". [13] En una carta de 1902, [14] anunció el descubrimiento a Gottlob Frege de la paradoja en el Begriffsschrift de Frege de 1879 y planteó el problema en términos tanto de lógica como de teoría de conjuntos, y en particular en términos de la definición de función de Frege : [ a] [b]
Sólo hay un punto en el que me he encontrado con una dificultad. Usted afirma (p. 17 [p. 23 arriba]) que una función también puede actuar como elemento indeterminado. Esto lo creía antes, pero ahora este punto de vista me parece dudoso debido a la siguiente contradicción. Sea w el predicado: un predicado que no puede predicarse por sí mismo. ¿Se puede predicar w por sí mismo? De cada respuesta se desprende su opuesto. Por tanto debemos concluir que w no es un predicado. Asimismo, no existe una clase (como totalidad) de aquellas clases que, tomadas cada una de ellas como totalidad, no se pertenecen a sí mismas. De esto concluyo que, en determinadas circunstancias, un conjunto definible no constituye una totalidad.
Russell continuaría cubriéndolo extensamente en su obra Los principios de las matemáticas de 1903 , donde repitió su primer encuentro con la paradoja: [15]
Antes de despedirnos de las cuestiones fundamentales, es necesario examinar más detalladamente la contradicción singular, ya mencionada, respecto de los predicados no predicables por sí mismos. ... Debo mencionar que fui conducido hasta allí en el intento de conciliar la prueba de Cantor...
Russell le escribió a Frege sobre la paradoja justo cuando Frege estaba preparando el segundo volumen de su Grundgesetze der Arithmetik . [16] Frege respondió a Russell muy rápidamente; apareció su carta fechada el 22 de junio de 1902, con el comentario de van Heijenoort en Heijenoort 1967:126-127. Luego, Frege escribió un apéndice admitiendo la paradoja, [17] y propuso una solución que Russell respaldaría en sus Principios de Matemáticas , [18] pero que luego algunos consideraron insatisfactoria. [19] Por su parte, Russell tenía su trabajo en la imprenta y añadió un apéndice sobre la doctrina de los tipos . [20]
Ernst Zermelo en su (1908) Una nueva prueba de la posibilidad de un buen orden (publicado al mismo tiempo que publicó "la primera teoría de conjuntos axiomática") [21] reivindica un descubrimiento previo de la antinomia en la ingenua teoría de conjuntos de Cantor. . Afirma: "Y sin embargo, incluso la forma elemental que Russell 9 dio a las antinomias de la teoría de conjuntos podría haberlos persuadido [J. König, Jourdain, F. Bernstein] de que la solución de estas dificultades no debe buscarse en la rendición de buen ordenamiento sino sólo en una restricción adecuada de la noción de conjunto". [22] La nota al pie 9 es donde plantea su afirmación:
9 1903 , págs. 366–368. Sin embargo, yo mismo había descubierto esta antinomia, independientemente de Russell, y la había comunicado antes de 1903 al profesor Hilbert, entre otros. [23]
Frege envió una copia de su Grundgesetze der Arithmetik a Hilbert; Como se señaló anteriormente, el último volumen de Frege mencionó la paradoja que Russell le había comunicado a Frege. Después de recibir el último volumen de Frege, el 7 de noviembre de 1903, Hilbert le escribió una carta a Frege en la que decía, refiriéndose a la paradoja de Russell: "Creo que el Dr. Zermelo la descubrió hace tres o cuatro años". Se descubrió un relato escrito del argumento real de Zermelo en el Nachlass de Edmund Husserl . [24]
En 1923, Ludwig Wittgenstein propuso "eliminar" la paradoja de Russell de la siguiente manera:
La razón por la que una función no puede ser su propio argumento es que el signo de una función ya contiene el prototipo de su argumento y no puede contenerse a sí misma. Porque supongamos que la función F(fx) podría ser su propio argumento: en ese caso habría una proposición F(F(fx)) , en la que la función externa F y la función interna F deben tener significados diferentes, ya que el interior tiene la forma O(fx) y el exterior tiene la forma Y(O(fx)) . Sólo la letra "F" es común a las dos funciones, pero la letra por sí sola no significa nada. Esto queda inmediatamente claro si en lugar de F(Fu) escribimos (do): F(Ou). Ou = Fu . Esto elimina la paradoja de Russell. ( Tractatus Logico-Philosophicus , 3.333)
Russell y Alfred North Whitehead escribieron sus Principia Mathematica en tres volúmenes con la esperanza de lograr lo que Frege no había podido lograr. Intentaron desterrar las paradojas de la ingenua teoría de conjuntos empleando una teoría de tipos que idearon para este propósito. Si bien lograron fundamentar la aritmética de alguna manera, no es en absoluto evidente que lo hicieran por medios puramente lógicos. Si bien Principia Mathematica evitó las paradojas conocidas y permite derivar una gran cantidad de matemáticas, su sistema dio lugar a nuevos problemas.
En cualquier caso, Kurt Gödel demostró en 1930-31 que, si bien la lógica de gran parte de los Principia Mathematica , ahora conocida como lógica de primer orden, es completa , la aritmética de Peano es necesariamente incompleta si es consistente . Se considera ampliamente (aunque no universalmente) que esto demuestra que el programa logicista de Frege es imposible de completar.
En 2001 se celebró en Munich una conferencia internacional del centenario para celebrar los primeros cien años de la paradoja de Russell y sus actas se han publicado. [12]
Hay algunas versiones de esta paradoja que se acercan más a situaciones de la vida real y pueden ser más fáciles de entender para los no lógicos. Por ejemplo, la paradoja del barbero supone que un barbero afeita a todos los hombres que no se afeitan solos y sólo a los hombres que no se afeitan solos. Cuando uno piensa si el barbero debería afeitarse o no, comienza a surgir una paradoja similar. [25]
Una refutación fácil de las "versiones del profano", como la paradoja del barbero, parece ser que tal barbero no existe, o que el barbero no es un hombre y, por tanto, puede existir sin paradoja. El objetivo de la paradoja de Russell es que la respuesta "tal conjunto no existe" significa que la definición de la noción de conjunto dentro de una teoría dada es insatisfactoria. Tenga en cuenta la diferencia entre las afirmaciones "tal conjunto no existe" y "es un conjunto vacío ". Es como la diferencia entre decir "No hay cubo" y decir "El cubo está vacío".
Una excepción notable a lo anterior puede ser la paradoja de Grelling-Nelson , en la que las palabras y el significado son los elementos del escenario en lugar de personas y cortes de pelo. Aunque es fácil refutar la paradoja del barbero diciendo que tal barbero no existe (y no puede ) existir, es imposible decir algo similar acerca de una palabra definida con significado.
Una forma de dramatizar la paradoja es la siguiente: supongamos que cada biblioteca pública tiene que compilar un catálogo de todos sus libros. Dado que el catálogo es en sí mismo uno de los libros de la biblioteca, algunos bibliotecarios lo incluyen en el catálogo para que esté completo; mientras que otros lo omiten porque es evidente que es uno de los libros de la biblioteca. Ahora imaginemos que todos estos catálogos se envían a la biblioteca nacional. Algunos de ellos se incluyen en sus listados, otros no. El bibliotecario nacional compila dos catálogos maestros: uno de todos los catálogos que se enumeran a sí mismos y otro de todos los que no lo hacen.
La pregunta es: ¿deberían incluirse estos catálogos maestros? El 'catálogo de todos los catálogos que se enumeran a sí mismos' no es un problema. Si el bibliotecario no lo incluye en su propio listado, sigue siendo un verdadero catálogo de aquellos catálogos que sí se incluyen a sí mismos. Si lo incluye, sigue siendo un verdadero catálogo de aquellos que se enumeran a sí mismos. Sin embargo, así como el bibliotecario no puede equivocarse con el primer catálogo maestro, está condenado a fracasar con el segundo. Cuando se trata del 'catálogo de todos los catálogos que no se incluyen a sí mismos', el bibliotecario no puede incluirlo en su propio listado, porque entonces se incluiría a sí mismo y, por tanto, pertenecería al otro catálogo, el de los catálogos que sí se incluyen. Sin embargo, si el bibliotecario lo omite, el catálogo está incompleto. De cualquier manera, nunca podrá ser un verdadero catálogo maestro de catálogos que no se enumeran a sí mismos.
Como se ilustró anteriormente para la paradoja del barbero, la paradoja de Russell no es difícil de ampliar. Llevar:
Forma la oración:
A veces, "todos" se reemplaza por "todos los ⟨V⟩ ".
Un ejemplo sería "pintar":
o "elegir"
En el episodio de la temporada 8 de The Big Bang Theory , "The Skywalker Intrusion", Sheldon Cooper analiza la canción " Play That Funky Music ", concluyendo que la letra presenta un ejemplo musical de la paradoja de Russell. [26]
Las paradojas que caen en este esquema incluyen:
