stringtranslate.com

logicismo

En la filosofía de las matemáticas , el logicismo es un programa que comprende una o más de las tesis de que -para algún significado coherente de " lógica "- las matemáticas son una extensión de la lógica, algunas o todas las matemáticas son reducibles a la lógica, o algunas o todas las matemáticas pueden modelarse en lógica. [1] Bertrand Russell y Alfred North Whitehead defendieron este programa, iniciado por Gottlob Frege y desarrollado posteriormente por Richard Dedekind y Giuseppe Peano .

Descripción general

El camino de Dedekind hacia el logicismo tuvo un punto de inflexión cuando pudo construir un modelo que satisfacía los axiomas que caracterizan a los números reales utilizando ciertos conjuntos de números racionales . Esta y otras ideas relacionadas lo convencieron de que la aritmética, el álgebra y el análisis eran reducibles a los números naturales más una "lógica" de clases. Además, en 1872 había llegado a la conclusión de que los propios naturales eran reducibles a conjuntos y asignaciones. Es probable que otros logicistas, sobre todo Frege, también se guiaran por las nuevas teorías de los números reales publicadas en el año 1872.

El ímpetu filosófico detrás del programa logicista de Frege desde los Grundlagen der Arithmetik en adelante fue en parte su insatisfacción con los compromisos epistemológicos y ontológicos de las explicaciones entonces existentes de los números naturales, y su convicción de que el uso por parte de Kant de verdades sobre los números naturales como ejemplos de teoría sintética La verdad a priori era incorrecta.

Esto inició un período de expansión del logicismo, con Dedekind y Frege como sus principales exponentes. Sin embargo, esta fase inicial del programa logicista entró en crisis con el descubrimiento de las paradojas clásicas de la teoría de conjuntos (Cantor 1896, Zermelo y Russell 1900-1901). Frege abandonó el proyecto después de que Russell reconociera y comunicara su paradoja identificando una inconsistencia en el sistema de Frege establecido en el Grundgesetze der Arithmetik. Tenga en cuenta que la teoría ingenua de conjuntos también adolece de esta dificultad.

Por otro lado, Russell escribió Los principios de las matemáticas en 1903 utilizando la paradoja y los desarrollos de la escuela de geometría de Giuseppe Peano . Dado que trató el tema de las nociones primitivas en geometría y teoría de conjuntos, este texto marca un hito en el desarrollo del logicismo. Russell y Whitehead recopilaron pruebas de la afirmación del logicismo en sus Principia Mathematica . [2]

Hoy en día, se cree que la mayor parte de las matemáticas existentes se puede derivar lógicamente de un pequeño número de axiomas extralógicos, como los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (o su extensión ZFC ), de los cuales aún no se han derivado inconsistencias. Así, elementos de los programas logicistas han demostrado ser viables, pero en el proceso las teorías de clases, conjuntos y asignaciones, y las lógicas de orden superior distintas de la semántica de Henkin , han llegado a ser consideradas de naturaleza extralógica, en parte bajo la influencia de El pensamiento posterior de Quine .

Los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel muestran que ningún sistema formal del que puedan derivarse los axiomas de Peano para los números naturales (como los sistemas de Russell en PM) puede decidir todas las oraciones bien formadas de ese sistema. [3] Este resultado dañó el programa de David Hilbert para los fundamentos de las matemáticas mediante el cual las teorías 'infinitas' – como la de PM – debían demostrarse consistentes a partir de teorías finitarias, con el objetivo de que aquellos que se sentían incómodos con los 'métodos infinitos' pudieran tranquilizarse. que su uso no debería resultar demostrablemente en la derivación de una contradicción. El resultado de Gödel sugiere que para mantener una posición logicista, conservando al mismo tiempo la mayor cantidad posible de matemáticas clásicas, uno debe aceptar algún axioma de infinito como parte de la lógica. A primera vista, esto también daña el programa logicista, aunque sólo para aquellos que ya dudan acerca de los "métodos infinitos". No obstante, se han seguido proponiendo posiciones derivadas tanto del logicismo como del finitismo hilbertiano desde la publicación del resultado de Gödel.

Un argumento de que los programas derivados del logicismo siguen siendo válidos podría ser que los teoremas de incompletitud se "demuestran con lógica como cualquier otro teorema". Sin embargo, ese argumento parece no reconocer la distinción entre teoremas de lógica de primer orden y teoremas de lógica de orden superior . Lo primero puede demostrarse utilizando métodos finistas, mientras que lo segundo –en general– no puede demostrarse. El teorema de indefinibilidad de Tarski muestra que la numeración de Gödel se puede utilizar para probar construcciones sintácticas, pero no afirmaciones semánticas. Por lo tanto, la afirmación de que el logicismo sigue siendo un programa válido puede comprometernos a sostener que un sistema de prueba basado en la existencia y propiedades de los números naturales es menos convincente que uno basado en algún sistema formal particular. [4]

El logicismo –especialmente a través de la influencia de Frege en Russell y Wittgenstein [5] y más tarde en Dummett– contribuyó significativamente al desarrollo de la filosofía analítica durante el siglo XX.

Origen del nombre 'logicismo'

Ivor Grattan-Guinness afirma que la palabra francesa 'Logistique' fue "introducida por Couturat y otros en el Congreso Internacional de Filosofía de 1904 , y fue utilizada por Russell y otros a partir de entonces, en versiones apropiadas para varios idiomas". (GG 2000:501).

Aparentemente, el primer (y único) uso por parte de Russell apareció en su 1919: "Russell se refirió varias veces [sic] a Frege, presentándolo como alguien 'que logró por primera vez 'logicizar' las matemáticas' (p. 7). Aparte de la tergiversación (que Russell rectificó en parte explicando su propia visión del papel de la aritmética en las matemáticas), el pasaje se destaca por la palabra que puso entre comillas, pero su presencia sugiere nerviosismo, y nunca volvió a usar la palabra, por lo que " El "logicismo" no surgió hasta finales de la década de 1920" (GG 2002:434). [6]

Casi al mismo tiempo que Rudolf Carnap (1929), pero aparentemente de forma independiente, Fraenkel (1928) utilizó la palabra: "Sin comentarios utilizó el nombre 'logicismo' para caracterizar la posición de Whitehead/Russell (en el título de la sección de la p. 244, explicación en pág. 263)" (GG 2002:269). Carnap utilizó una palabra ligeramente diferente, "Logistik"; Behmann se quejó de su uso en el manuscrito de Carnap, por lo que Carnap propuso la palabra 'Logizismus', pero finalmente se apegó a su elección de palabra 'Logistik' (GG 2002:501). Al final "la difusión se debió principalmente a Carnap, a partir de 1930". (GG 2000:502).

Intención u objetivo del logicismo

La intención manifiesta del logicismo es derivar todas las matemáticas de la lógica simbólica (Frege, Dedekind, Peano, Russell). En contraste con la lógica algebraica ( lógica booleana ) que emplea conceptos aritméticos, la lógica simbólica comienza con un conjunto muy reducido de notas (no -símbolos aritméticos), algunos axiomas "lógicos" que encarnan las "leyes del pensamiento" y reglas de inferencia que dictan cómo deben ensamblarse y manipularse las marcas - por ejemplo, sustitución y modus ponens (es decir, de [1] A materialmente implica B y [2] A, se puede derivar B). El logicismo también adopta del trabajo preliminar de Frege la reducción de enunciados en lenguaje natural de "sujeto|predicado" a "átomos" proposicionales o al "argumento|función" de la "generalización": las nociones "todos", "algunos", "clase" ( colección, agregado) y "relación".

En una derivación logicista de los números naturales y sus propiedades, ninguna "intuición" del número debería "colarse" ni como axioma ni por accidente. El objetivo es derivar todas las matemáticas, empezando por los números de conteo y luego los números reales, a partir de algunas "leyes del pensamiento" elegidas únicamente, sin suposiciones tácitas de "antes" y "después" o "menos" y "más". o al grano: "sucesor" y "predecesor". Gödel 1944 resumió las "construcciones" lógicas de Russell, en comparación con las "construcciones" de los sistemas fundamentales del intuicionismo y el formalismo ("la Escuela de Hilbert") de la siguiente manera: "Ambas escuelas basan sus construcciones en una intuición matemática cuya evitación es exactamente una de los principales objetivos del constructivismo de Russell " (Gödel 1944 en Collected Works 1990:119).

Historia

Gödel (1944) resumió los antecedentes históricos desde Leibniz en Characteristica universalis , pasando por Frege y Peano hasta Russell: "Frege estaba interesado principalmente en el análisis del pensamiento y utilizó su cálculo en primer lugar para derivar la aritmética de la lógica pura", mientras que Peano "era más interesado en sus aplicaciones dentro de las matemáticas". Pero "sólo en los Principia Mathematica [de Russell] se hizo pleno uso del nuevo método para derivar realmente grandes partes de las matemáticas a partir de unos pocos conceptos y axiomas lógicos. Además, la joven ciencia se enriqueció con un nuevo instrumento, el resumen teoría de las relaciones" (p. 120-121).

Kleene 1952 lo expresa de esta manera: "Leibniz (1666) fue el primero en concebir la lógica como una ciencia que contiene las ideas y principios subyacentes a todas las demás ciencias. Dedekind (1888) y Frege (1884, 1893, 1903) se dedicaron a definir nociones matemáticas en términos de los lógicos, y Peano (1889, 1894-1908) al expresar teoremas matemáticos en un simbolismo lógico" (p. 43); en el párrafo anterior incluye a Russell y Whitehead como ejemplos de la "escuela logicista", siendo las otras dos escuelas "fundacionales" la intuicionista y la "escuela formalista o axiomática" (p. 43).

Frege (1879) describe su intención en el prefacio de su Begriffsschrift de 1879 : Comenzó con una consideración de la aritmética: ¿derivaba de la "lógica" o de los "hechos de la experiencia"?

"Primero tuve que determinar hasta dónde se podía llegar en aritmética mediante inferencias únicamente, con el único apoyo de aquellas leyes del pensamiento que trascienden todos los detalles. Mi paso inicial fue intentar reducir el concepto de ordenar en una secuencia a eso de consecuencia lógica , para pasar de allí al concepto de número. Para evitar que algo intuitivo penetrara aquí sin ser advertido, tuve que hacer todo lo posible para mantener la cadena de inferencias libre de lagunas... Descubrí que la insuficiencia del lenguaje era un obstáculo: por muy difíciles que fueran las expresiones que estaba dispuesto a aceptar, cada vez era menos capaz, a medida que las relaciones se hacían más complejas, de alcanzar la precisión que mi propósito requería. Esta deficiencia me llevó a la idea del presente ideografía. Su primer propósito, por lo tanto, es proporcionarnos la prueba más confiable de la validez de una cadena de inferencias y señalar cada presuposición que intenta pasar desapercibida" (Frege 1879 en van Heijenoort 1967:5).

Dedekind (1887) describe su intención en el prefacio de 1887 a la primera edición de su La naturaleza y el significado de los números . Creía que los "fundamentos de la ciencia más simple; es decir, la parte de la lógica que trata de la teoría de los números" no se habían argumentado adecuadamente: "nada susceptible de prueba debe aceptarse sin prueba":

Al hablar de aritmética (álgebra, análisis) como parte de la lógica quiero dar a entender que considero el concepto de número enteramente independiente de las nociones de intuiciones de espacio y tiempo, que lo considero un resultado inmediato de las leyes del pensamiento. . . Los números son creaciones libres de la mente humana. . . [y] sólo a través del proceso puramente lógico de desarrollar la ciencia de los números. . . ¿Estamos preparados con precisión para investigar nuestras nociones de espacio y tiempo poniéndolas en relación con este dominio numérico creado en nuestra mente" (Dedekind 1887, reedición de Dover 1963: 31).

Peano 1889 declara su intención en su Prefacio a sus Principios de aritmética de 1889 :

Las cuestiones relacionadas con los fundamentos de las matemáticas, aunque han sido tratadas por muchos en los últimos tiempos, todavía carecen de una solución satisfactoria. La dificultad tiene su principal fuente en la ambigüedad del lenguaje. ¶ Por eso es de suma importancia examinar atentamente las mismas palabras que utilizamos. Mi objetivo ha sido realizar este examen" (Peano 1889 en van Heijenoort 1967:85).

Russell (1903) describe su intención en el prefacio de sus Principios de Matemáticas de 1903 :

"El presente trabajo tiene dos objetivos principales. Uno de ellos, la prueba de que toda matemática pura trata exclusivamente de conceptos definibles en términos de un número muy pequeño de conceptos lógicos fundamentales, y que todas sus proposiciones son deducibles a partir de un número muy pequeño de conceptos lógicos fundamentales. principios lógicos" (Prefacio 1903:vi).
"Unas pocas palabras sobre el origen del presente trabajo pueden servir para mostrar la importancia de las cuestiones discutidas. Hace unos seis años, comencé una investigación sobre la filosofía de la Dinámica... [A partir de dos cuestiones: aceleración y movimiento absoluto en una "teoría relacional del espacio"] me llevó a un reexamen de los principios de la Geometría, de allí a la filosofía de la continuidad y del infinito, y luego, con miras a descubrir el significado de la palabra cualquiera , a la Lógica Simbólica " (Prefacio 1903:vi-vii).

Epistemología, ontología y logicismo

Las epistemologías de Dedekind y Frege parecen menos bien definidas que las de Russell, pero ambas parecen aceptar como a priori las "leyes del pensamiento" habituales relativas a enunciados proposicionales simples (normalmente de creencia); estas leyes serían suficientes en sí mismas si se complementaran con la teoría de clases y relaciones (por ejemplo, x R y ) entre individuos x e y vinculados por la generalización R.

El argumento de Dedekind comienza con "1. En lo que sigue entiendo por cosa todo objeto de nuestro pensamiento"; nosotros, los humanos, usamos símbolos para discutir estas "cosas" de nuestra mente; "Una cosa está completamente determinada por todo lo que puede afirmarse o pensarse sobre ella" (p. 44). En un párrafo siguiente, Dedekind analiza qué es un "sistema S : es un agregado, una variedad, una totalidad de elementos (cosas) asociados a , b , c "; afirma que "tal sistema S ... como objeto de nuestro pensamiento es también una cosa (1); está completamente determinado cuando respecto de cada cosa se determina si es un elemento de S o no". (pág. 45, cursiva agregada). El * indica una nota a pie de página donde afirma que:

"Kronecker no hace mucho ( Crelle's Journal , vol. 99, pp. 334-336) se ha esforzado por imponer ciertas limitaciones a la libre formación de conceptos en matemáticas que no creo que estén justificadas" (p. 45).

De hecho, espera que Kronecker "publique sus razones sobre la necesidad o simplemente la conveniencia de estas limitaciones" (p. 45).

Leopold Kronecker , famoso por su afirmación de que "Dios hizo los números enteros, todo lo demás es obra del hombre" [7] tuvo sus enemigos, entre ellos Hilbert. Hilbert calificó a Kronecker de " dogmático , en la medida en que acepta el número entero con sus propiedades esenciales como dogma y no mira hacia atrás" [8] y equiparó su postura constructivista extrema con la del intuicionismo de Brouwer , acusando a ambos de "subjetivismo": "Es parte de la tarea de la ciencia liberarnos de la arbitrariedad, el sentimiento y la costumbre y protegernos del subjetivismo que ya se hizo sentir en las ideas de Kronecker y, me parece, encuentra su culminación en el intuicionismo". [9] Hilbert luego afirma que "las matemáticas son una ciencia sin presuposiciones. Para fundarla no necesito a Dios, como lo necesita Kronecker...". (pág. 479).

El realismo de Russell le sirvió como antídoto contra el idealismo británico , [10] con porciones tomadas del racionalismo europeo y del empirismo británico . [11] Para empezar, "Russell era realista en dos cuestiones clave: los universales y los objetos materiales" (Russell 1912:xi). Para Russell, las tablas son cosas reales que existen independientemente del Russell observador. El racionalismo aportaría la noción de conocimiento a priori , [12] mientras que el empirismo aportaría el papel del conocimiento experiencial (inducción a partir de la experiencia). [13] Russell le daría crédito a Kant con la idea del conocimiento "a priori", pero ofrece una objeción a Kant que considera "fatal": "Los hechos [del mundo] siempre deben ajustarse a la lógica y la aritmética. Decir que la lógica y la aritmética son aportados por nosotros no explica esto" (1912:87); Russell concluye que el conocimiento a priori que poseemos se refiere "a las cosas, y no simplemente a los pensamientos" (1912:89). Y en esto la epistemología de Russell parece diferente de la creencia de Dedekind de que "los números son creaciones libres de la mente humana" (Dedekind 1887:31) [14]

Pero su epistemología sobre lo innato (prefiere la palabra a priori cuando se aplica a principios lógicos, cf. 1912:74) es intrincada. Expresaría firme e inequívocamente su apoyo a los "universales" platónicos (cf. 1912:91-118) y concluiría que la verdad y la falsedad están "ahí fuera"; las mentes crean creencias y lo que hace que una creencia sea verdadera es un hecho, "y este hecho no involucra (excepto en casos excepcionales) la mente de la persona que tiene la creencia" (1912:130).

¿De dónde sacó Russell estas nociones epistémicas? Nos lo dice en el Prefacio de sus Principios de Matemáticas de 1903 . Tenga en cuenta que afirma que la creencia: "Emily es un conejo" es inexistente y, sin embargo, la verdad de esta proposición inexistente es independiente de cualquier mente conocedora; Si Emily es realmente un conejo, el hecho de esta verdad existe independientemente de que Russell o cualquier otra mente esté viva o muerta, y la relación de Emily con la condición de conejo es "última":

"En cuestiones fundamentales de filosofía, mi posición, en todos sus aspectos principales, se deriva del Sr. GE Moore. He aceptado de él la naturaleza no existencial de las proposiciones (excepto aquellas que afirman existencia) y su independencia de cualquier conocimiento. mente; también el pluralismo que considera el mundo, tanto el de los existentes como el de las entidades, como compuesto de un número infinito de entidades mutuamente independientes, con relaciones que son últimas y no reducibles a adjetivos de sus términos o del todo que estos componer... Las doctrinas que acabo de mencionar son, en mi opinión, bastante indispensables para cualquier filosofía de las matemáticas, aunque sea tolerablemente satisfactoria, como espero que lo demuestren las páginas siguientes... Formalmente, mis premisas simplemente se asumen; pero el hecho de que permiten que las matemáticas sean verdaderas, lo que la mayoría de las filosofías actuales no hacen, es sin duda un poderoso argumento a su favor". (Prefacio 1903:viii)

En 1902 Russell descubrió un "círculo vicioso" ( la paradoja de Russell ) en los Grundgesetze der Arithmetik de Frege , derivado de la Ley Básica V de Frege y estaba decidido a no repetirlo en sus Principios de Matemáticas de 1903 . En dos apéndices añadidos en el último minuto, dedicó 28 páginas a un análisis detallado de la teoría de Frege contrastada con la suya propia y a una solución a la paradoja. Pero no se mostró optimista sobre el resultado:

"En el caso de las clases, debo confesar, no he podido percibir ningún concepto que cumpla las condiciones requeridas para la noción de clase. Y la contradicción discutida en el Capítulo X prueba que algo anda mal, pero hasta ahora no he podido determinar cuál es esto. descubrir. (Prefacio a Russell 1903:vi) "

Gödel en su 1944 no estaría de acuerdo con el joven Russell de 1903 ("[mis premisas] permiten que las matemáticas sean verdaderas") pero probablemente estaría de acuerdo con la afirmación de Russell citada anteriormente ("algo anda mal"); La teoría de Russell no había logrado llegar a una base satisfactoria de las matemáticas: el resultado fue "esencialmente negativo; es decir, las clases y conceptos introducidos de esta manera no tienen todas las propiedades requeridas para el uso de las matemáticas" (Gödel 1944:132).

¿Cómo llegó Russell a esta situación? Gödel observa que Russell es un "realista" sorprendente con un giro: cita la frase de Russell de 1919:169: "La lógica se ocupa del mundo real tan verdaderamente como la zoología" (Gödel 1944:120). Pero observa que "cuando comenzó con un problema concreto, los objetos a analizar (por ejemplo, las clases o proposiciones) pronto se convirtieron en su mayor parte en 'ficciones lógicas'... [lo que significa] sólo que no tenemos una percepción directa de a ellos." (Gödel 1944:120)

En una observación pertinente al tipo de logicismo de Russell, Perry señala que Russell pasó por tres fases de realismo: extremo, moderado y constructivo (Perry 1997:xxv). En 1903 se encontraba en su fase extrema; en 1905 estaría en su fase moderada. En unos pocos años "prescindiría de los objetos físicos o materiales como piezas básicas del mobiliario del mundo. Intentaría construirlos a partir de datos sensoriales" en su siguiente libro Nuestro conocimiento del mundo externo [1914]" ( Perry 1997:xxvi).

Estas construcciones en lo que Gödel 1944 llamaría " constructivismo nominalista ... que mejor podría llamarse ficcionalismo " derivaron de la "idea más radical de Russell, la teoría sin clases" (p. 125):

"según el cual las clases o conceptos nunca existen como objetos reales, y las oraciones que contienen estos términos tienen significado sólo en la medida en que pueden interpretarse como... una manera de hablar sobre otras cosas" (p. 125).

Vea más en las secciones de Críticas, a continuación.

Un ejemplo de construcción logicista de los números naturales: la construcción de Russell en los Principia

El logicismo de Frege y Dedekind es similar al de Russell, pero con diferencias en los detalles (ver Críticas, más adelante). En general, las derivaciones logicistas de los números naturales son diferentes de las derivaciones de, por ejemplo, los axiomas de Zermelo para la teoría de conjuntos ('Z'). Mientras que, en las derivaciones de Z, una definición de "número" utiliza un axioma de ese sistema (el axioma de emparejamiento ) que conduce a la definición de "par ordenado", no existe ningún axioma numérico manifiesto en los diversos sistemas de axiomas logicistas que permitan la derivación. de los números naturales. Tenga en cuenta que, en cualquier caso, los axiomas necesarios para derivar la definición de un número pueden diferir entre los sistemas de axiomas de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, en ZF y ZFC, el axioma de emparejamiento y, por tanto, en última instancia, la noción de un par ordenado, se puede derivar del axioma del infinito y del axioma de reemplazo y es necesario en la definición de los números de Von Neumann (pero no en el de Zermelo). números), mientras que en NFU los números de Frege pueden derivarse de forma análoga a su derivación en los Grundgesetze.

Los Principia , al igual que su predecesor los Grundgesetze , inician la construcción de los números a partir de proposiciones primitivas como "clase", "función proposicional" y, en particular, relaciones de "similitud" ("equinumerosidad": colocar los elementos de colecciones en uno). correspondencia -a-uno) y "ordenar" (usando "la relación sucesora de" para ordenar las colecciones de las clases equinumerosas)". [15] La derivación lógica equipara los números cardinales construidos de esta manera con los números naturales, y estos números terminan todos del mismo "tipo" – como clases de clases – mientras que en algunas construcciones teóricas establecidas – por ejemplo los números de von Neumman y Zermelo – cada número tiene su predecesor como un subconjunto. Kleene observa lo siguiente. (Las suposiciones de Kleene ( 1) y (2) establecen que 0 tiene la propiedad P y n +1 tiene la propiedad P siempre que n tenga la propiedad P ).

"El punto de vista aquí es muy diferente del de la máxima [de Kronecker] de que 'Dios hizo los números enteros' más los axiomas numéricos y de inducción matemática de Peano ], donde presuponíamos una concepción intuitiva de la secuencia numérica natural, y extraíamos de ella la principio de que, siempre que se dé una propiedad particular P de los números naturales tal que (1) y (2), cualquier número natural dado debe tener la propiedad P. " (Kleene 1952:44).

La importancia para el programa logicista de la construcción de los números naturales se deriva de la afirmación de Russell de que "Que todas las matemáticas puras tradicionales pueden derivarse de los números naturales es un descubrimiento bastante reciente, aunque se había sospechado durante mucho tiempo" (1919:4). Una derivación de los números reales deriva de la teoría de Dedekind corta sobre los números racionales, derivándose a su vez los números racionales de los naturales. Si bien es útil un ejemplo de cómo se hace esto, se basa primero en la derivación de los números naturales. Entonces, si aparecen dificultades filosóficas en una derivación logicista de los números naturales, estos problemas deberían ser suficientes para detener el programa hasta que se resuelvan (ver Críticas, más abajo).

Bernays (1930-1931) resume un intento de construir los números naturales. [16] Pero en lugar de utilizar el resumen de Bernays, que está incompleto en algunos detalles, a continuación se presenta un intento de paráfrasis de la construcción de Russell, incorporando algunas ilustraciones finitas:

Preliminares

Para Russell, las colecciones (clases) son agregados de "cosas" especificadas por nombres propios, que surgen como resultado de proposiciones (afirmaciones de hecho sobre una cosa o cosas). Russell analizó esta noción general. Comienza con "términos" en oraciones, que analizó de la siguiente manera:

Para Russell, los "términos" son "cosas" o "conceptos": "Cualquier cosa que pueda ser un objeto de pensamiento, o que pueda ocurrir en cualquier proposición verdadera o falsa, o que pueda contarse como tal, lo llamo término . , es la palabra más amplia del vocabulario filosófico. Usaré como sinónimos de ella las palabras unidad, individuo y entidad. Las dos primeras enfatizan el hecho de que cada término es uno, mientras que la tercera se deriva del hecho de que cada término tiene ser, es decir, es en algún sentido. Un hombre, un momento, un número, una clase, una relación, una quimera o cualquier otra cosa que pueda mencionarse, es seguro que es un término; y negar que tal o cual cosa cosa es un término siempre debe ser falso" (Russell 1903:43)

"Entre los términos, es posible distinguir dos clases, que llamaré respectivamente cosas y conceptos ; los primeros son los términos indicados por nombres propios, los segundos los indicados por todas las demás palabras... Entre los conceptos, nuevamente, dos clases en menos deben distinguirse, es decir, los indicados por adjetivos y los indicados por verbos" (1903:44).

"Los primeros se denominarán a menudo predicados o conceptos de clase; los segundos son siempre o casi siempre relaciones". (1903:44)

"Hablaré de los términos de una proposición como aquellos términos, por numerosos que sean, que aparecen en una proposición y pueden considerarse como temas sobre los cuales trata la proposición. Es una característica de los términos de una proposición que cualquiera de ellos puede ser reemplazada por cualquier otra entidad sin que dejemos de tener una proposición. Así diremos que "Sócrates es humano" es una proposición que tiene un solo término; del resto de los componentes de la proposición, uno es el verbo, el otro es un predicado. ... Los predicados, entonces, son conceptos, distintos de los verbos, que aparecen en proposiciones que tienen un solo término o sujeto". (1903:45)

Supongamos que uno señala un objeto y dice: "Este objeto frente a mí llamado 'Emily' es una mujer". Ésta es una proposición, una afirmación de la creencia del hablante, que debe ser contrastada con los "hechos" del mundo exterior: "Las mentes no crean la verdad o la falsedad. Crean creencias... lo que hace que una creencia sea verdadera es un hecho" . , y este hecho no involucra (excepto en casos excepcionales) de ninguna manera la mente de la persona que tiene la creencia" (1912:130). Si mediante la investigación del enunciado y la correspondencia con el "hecho", Russell descubre que Emily es un conejo, entonces su enunciado se considera "falso"; Si Emily es una mujer humana (una mujer "bípeda sin plumas", como a Russell le gusta llamar a los humanos, siguiendo la anécdota de Diógenes Laërtius sobre Platón), entonces su expresión se considera "verdadera".

"La clase, a diferencia del concepto de clase, es la suma o conjunción de todos los términos que tienen el predicado dado" (1903 p. 55). Las clases pueden especificarse por extensión (enumerando sus miembros) o por intensión, es decir, mediante una "función proposicional" como "x es una u" o "x es v". Pero "si tomamos la extensión pura, nuestra clase se define mediante la enumeración de sus términos, y este método no nos permitirá tratar, como lo hace la lógica simbólica, con clases infinitas. Así, nuestras clases deben considerarse en general como objetos denotados por conceptos". , y en esta medida el punto de vista de la intensión es esencial." (1909 pág.66)

"La característica de un concepto de clase, a diferencia de los términos en general, es que "x es u" es una función proposicional cuando, y sólo cuando, u es un concepto de clase". (1903:56)

"71. La clase puede definirse extensiva o intensionalmente. Es decir, podemos definir la clase de objeto que es una clase, o la clase de concepto que denota una clase: éste es el significado preciso de la oposición de extensión y Pero aunque la noción general puede definirse de esta doble manera, las clases particulares, excepto cuando sean finitas, sólo pueden definirse intensionalmente, es decir, como los objetos denotados por tales o cuales conceptos... Lógicamente; la definición extensional parece ser igualmente aplicable a infinitas clases, pero en la práctica, si la intentáramos, la Muerte interrumpiría nuestro loable esfuerzo antes de haber alcanzado su objetivo." (1903:69)

La definición de los números naturales.

En los Prinicipia, los números naturales se derivan de todas las proposiciones que pueden afirmarse sobre cualquier conjunto de entidades. Russell deja esto claro en la segunda oración (en cursiva) a continuación.

"En primer lugar, los números mismos forman una colección infinita y, por lo tanto, no pueden definirse mediante enumeración. En segundo lugar, las colecciones que tienen un número dado de términos forman presumiblemente una colección infinita: se debe suponer, por ejemplo, que hay una colección infinita de tríos en el mundo , pues si no fuera así el número total de cosas en el mundo sería finito, lo cual, aunque posible, parece improbable. En tercer lugar, deseamos definir "número" "de tal manera que sean posibles números infinitos; por tanto, debemos poder hablar del número de términos en una colección infinita, y dicha colección debe definirse por intensión, es decir, por una propiedad común a todos sus miembros y peculiar a ellos." (1919:13)

Para ilustrarlo, considere el siguiente ejemplo finito: supongamos que hay 12 familias en una calle. Algunas tienen hijos, otras no. Para discutir los nombres de los niños en estos hogares se requieren 12 proposiciones que afirmen " nombre del niño es el nombre de un niño en la familia Fn" aplicadas a este conjunto de hogares en la calle particular de familias con nombres F1, F2,. . . F12. Cada una de las 12 proposiciones se refiere a si el "argumento" del nombre del niño se aplica o no a un niño en un hogar en particular. Los nombres de los niños ( childname ) pueden considerarse como la x en una función proposicional f(x), donde la función es "nombre de un niño de la familia con nombre Fn". [17] [ ¿ investigación original? ]

Mientras que el ejemplo anterior es finito sobre la función proposicional finita " nombres de niños de la familia Fn'" en la calle finita de un número finito de familias, Russell aparentemente pretendía que lo siguiente se extendiera a todas las funciones proposicionales que se extendieran sobre un dominio infinito de modo que para permitir la creación de todos los números.

Kleene considera que Russell ha planteado una definición imprecisa que tendrá que resolver, o correr el riesgo de derivar algo parecido a la paradoja de Russell . "Aquí, en cambio, presuponemos la totalidad de todas las propiedades de los números cardinales, tal como existen en la lógica, antes de la definición de la secuencia de números naturales" (Kleene 1952:44). El problema aparecerá, incluso en el ejemplo finito presentado aquí, cuando Russell trate con la clase unitaria (cf. Russell 1903:517).

Surge la pregunta de qué es o debería ser exactamente una "clase" . Para Dedekind y Frege, una clase es una entidad distinta por derecho propio, una 'unidad' que puede identificarse con todas aquellas entidades x que satisfacen alguna función proposicional F. (Este simbolismo aparece en Russell, atribuido allí a Frege: "La La esencia de una función es lo que queda cuando se quita x , es decir, en el ejemplo anterior, 2( ) 3 + ( ). El argumento x no pertenece a la función, pero los dos juntos forman un todo (ib. p . 6 [es decir, Function und Begriff de Frege de 1891 ]" (Russell 1903:505).) Por ejemplo, a una "unidad" particular se le podría dar un nombre; supongamos que una familia Fα tiene hijos con los nombres Annie, Barbie y Charles:

{ a, b, c } Fa

Esta noción de colección o clase como objeto, cuando se utiliza sin restricciones, da como resultado la paradoja de Russell ; vea más abajo sobre definiciones impredicativas . La solución de Russell fue definir la noción de clase como sólo aquellos elementos que satisfacen la proposición, siendo su argumento que, de hecho, los argumentos x no pertenecen a la función proposicional también conocida como "clase" creada por la función. La clase misma no debe ser considerada como un objeto unitario por derecho propio, existe sólo como una especie de ficción útil: "Hemos evitado la decisión sobre si una clase de cosas tiene en algún sentido existencia como un objeto. Una decisión sobre esta cuestión en cualquier sentido es indiferente a nuestra lógica" (Primera edición de Principia Mathematica 1927:24).

Russell sigue manteniendo esta opinión en su 1919; observe las palabras "ficciones simbólicas": [ ¿ investigación original? ]

"Cuando hemos decidido que las clases no pueden ser cosas del mismo tipo que sus miembros, que no pueden ser simplemente montones o agregados, y también que no pueden identificarse con funciones proposicionales, se vuelve muy difícil ver qué pueden ser, si deben ser más que ficciones simbólicas , y si podemos encontrar alguna manera de abordarlas como ficciones simbólicas , aumentamos la seguridad lógica de nuestra posición, ya que evitamos la necesidad de suponer que hay clases sin vernos obligados a hacer la afirmación. supuesto opuesto de que no hay clases. Simplemente nos abstenemos de ambos supuestos... Pero cuando nos negamos a afirmar que hay clases, no se debe suponer que estemos afirmando dogmáticamente que no hay ninguna. Somos meramente agnósticos con respecto a ellas. . . .." (1919:184)

Y en la segunda edición de PM (1927) Russell sostiene que "las funciones ocurren sólo a través de sus valores... todas las funciones de funciones son extensionales... [y] en consecuencia no hay razón para distinguir entre funciones y clases... ... Así, las clases, a diferencia de las funciones, pierden incluso ese ser oscuro que conservan en *20" (p. xxxix). En otras palabras, las clases como noción separada han desaparecido por completo.

Paso 2: recopile clases "similares" en 'paquetes' : estas colecciones anteriores se pueden poner en una "relación binaria" (comparando) similitud por "equinumerosidad", simbolizada aquí por ≈ , es decir, correspondencia uno a uno de los elementos, [ 18] y así crear clases russellianas de clases o lo que Russell llamó "paquetes". "Podemos suponer todas las parejas en un paquete, todos los tríos en otro, y así sucesivamente. De esta manera obtenemos varios paquetes de colecciones, cada paquete consiste en todas las colecciones que tienen un cierto número de términos. Cada paquete es una clase cuya los miembros son colecciones, es decir, clases; por tanto, cada uno es una clase de clases" (Russell 1919:14).

Paso 3: Definir la clase nula : observe que una determinada clase de clases es especial porque sus clases no contienen elementos, es decir, ningún elemento satisface los predicados cuya afirmación definió esta clase/colección en particular.

La entidad resultante puede denominarse "la clase nula" o "la clase vacía". Russell simbolizó la clase nula/vacía con Λ. Entonces, ¿qué es exactamente la clase nula russelliana? En PM Russell dice que "Se dice que existe una clase cuando tiene al menos un miembro... la clase que no tiene miembros se llama" clase nula "... "α es la clase nula" es equivalente a " α no existe". La pregunta que surge naturalmente es si la clase nula en sí misma 'existe'. Las dificultades relacionadas con esta pregunta ocurren en el trabajo de Russell de 1903. [19] Después de descubrir la paradoja en los Grundgesetze de Frege , agregó el Apéndice A a su de 1903, donde a través de Al analizar la naturaleza de las clases nulas y unitarias, descubrió la necesidad de una "doctrina de tipos"; véase más sobre la clase unitaria, el problema de las definiciones impredicativas y el "principio del círculo vicioso" de Russell más adelante. [19]

Paso 4: Asigne un "número" a cada paquete : para fines de abreviatura e identificación, a cada paquete asigne un símbolo único (también conocido como "número"). Estos símbolos son arbitrarios.

Paso 5: Definir "0" Siguiendo a Frege, Russell eligió la clase de clases vacía o nula como la clase apropiada para desempeñar este rol, siendo esta la clase de clases que no tiene miembros. Esta clase nula de clases puede etiquetarse como "0".

Paso 6: Definir la noción de "sucesor" : Russell definió una nueva característica "hereditaria" (cf. 'ancestral' de Frege), una propiedad de ciertas clases con la capacidad de "heredar" una característica de otra clase (que puede ser una clase de clases), es decir, "Se dice que una propiedad es "hereditaria" en la serie de los números naturales si, siempre que pertenece a un número n , pertenece también a n +1, el sucesor de n ". (1903:21). Afirma que "los números naturales son la posteridad – los "hijos", los herederos del "sucesor" - de 0 con respecto a la relación "el predecesor inmediato de (que es lo contrario de "sucesor") (1919:23). ).

Tenga en cuenta que Russell ha utilizado aquí algunas palabras sin definición, en particular "serie numérica", "número n" y "sucesor". Los definirá a su debido tiempo. Observe en particular que Russell no utiliza la clase unitaria de las clases "1" para construir el sucesor . La razón es que, según el análisis detallado de Russell, [20] si una clase de unidad se convierte en una entidad por derecho propio, entonces también puede ser un elemento en su propia proposición; esto hace que la proposición se vuelva "impredictiva" y resulte en un "círculo vicioso". Más bien afirma: "Vimos en el Capítulo II que un número cardinal debe definirse como una clase de clases, y en el Capítulo III que el número 1 debe definirse como la clase de todas las clases unitarias, de todas las que acaban de terminar". un miembro, como diríamos de no ser por el círculo vicioso. Por supuesto, cuando el número 1 se define como la clase de todas las clases de unidades, las clases de unidades deben definirse de manera que no se dé por sentado que sabemos lo que se entiende por uno (1919). :181).

Para su definición de sucesor, Russell utilizará para su "unidad" una sola entidad o "término" de la siguiente manera:

"Queda por definir "sucesor". Dado cualquier número n, sea α una clase que tiene n miembros, y sea x un término que no es miembro de α . Entonces la clase que consta de α con x añadido tendrá + 1 miembros, así tenemos la siguiente definición:
el sucesor del número de términos de la clase α es el número de términos de la clase que consta de α junto con x, donde x no es ningún término perteneciente a la clase ." (1919:23)

La definición de Russell requiere un nuevo "término" que se "agrega" a las colecciones dentro de los paquetes.

Paso 7: construir el sucesor de la clase nula .

Paso 8: Para cada clase de clases equinumerosas, cree su sucesor .

Paso 9: Ordenar los números : El proceso de creación de un sucesor requiere la relación "... es el sucesor de...", que puede denominarse "S", entre los distintos "números". "Ahora debemos considerar el carácter serial de los números naturales en el orden 0, 1, 2, 3,... Normalmente pensamos en los números en este orden, y es una parte esencial del trabajo de analizar nuestros datos. buscar una definición de "orden" o "serie" en términos lógicos... El orden reside, no en la clase de términos, sino en una relación entre los miembros de la clase, respecto de la cual algunos aparecen como anteriores y algunos como más tarde." (1919:31)

Russell aplica a la noción de "relación de ordenamiento" tres criterios: Primero, define la noción de "asimetría", es decir, dada la relación como S ("... es el sucesor de...") entre dos términos x, y y: x S y ≠ y S x. En segundo lugar, define la noción de "transitividad" para tres números x, y y z: si x S y y y S z entonces x S z. En tercer lugar, define la noción de "conectado": "Dados dos términos cualesquiera de la clase que se va a ordenar, debe haber uno que preceda y el otro que siga... Una relación es conexa cuando, dados cualesquiera dos términos diferentes En términos de su campo [tanto el dominio como el dominio inverso de una relación, por ejemplo, maridos versus esposas en la relación de casados] la relación se mantiene entre el primero y el segundo o entre el segundo y el primero (sin excluir la posibilidad de que ambas puedan suceder, aunque ambas cosas no pueden suceder si la relación es asimétrica).(1919:32)

Concluye: "... se dice que el número [natural] m es menor que otro número n cuando n posee todos los bienes hereditarios que posee el sucesor de m . Es fácil de ver, y no difícil de probar, que la relación " menor que", así definido, es asimétrico, transitivo y conexo, y tiene los números [naturales] para su campo [es decir, tanto el dominio como el dominio inverso son los números]". (1919:35)

Crítica

La presunción de una noción 'extralógica' de iteración : Kleene señala que "la tesis logicista puede cuestionarse finalmente sobre la base de que la lógica ya presupone ideas matemáticas en su formulación. En la visión intuicionista, un núcleo matemático esencial está contenido en la idea de iteración". iteración" (Kleene 1952:46)

Bernays 1930-1931 observa que esta noción de "dos cosas" ya presupone algo, incluso sin la afirmación de la existencia de dos cosas, y también sin referencia a un predicado que se aplique a las dos cosas; significa, simplemente, "una cosa y una cosa más... Con respecto a esta definición simple, el concepto de Número resulta ser un concepto estructural elemental ... la afirmación de los logicistas de que las matemáticas son conocimiento puramente lógico resulta ser resulta confuso y engañoso tras una observación más cercana de la lógica teórica... [se puede ampliar la definición de "lógico"] sin embargo, a través de esta definición se oculta lo que es epistemológicamente esencial, y se pasa por alto lo que es peculiar de las matemáticas" (en Mancosu 1998:243).

Hilbert 1931:266-7, al igual que Bernays, considera que hay "algo extralógico" en las matemáticas: "Además de la experiencia y el pensamiento, existe todavía una tercera fuente de conocimiento. Incluso si hoy ya no podemos estar de acuerdo con Kant en los detalles Sin embargo, la idea más general y fundamental de la epistemología kantiana conserva su significado: determinar el modo de pensamiento intuitivo a priori y, con ello, investigar la condición de posibilidad de todo conocimiento. En mi opinión, esto es esencialmente lo que sucede en mis investigaciones. de los principios de las matemáticas. El a priori es aquí nada más y nada menos que un modo de pensamiento fundamental, al que también llamo modo de pensamiento finito: algo ya nos está dado de antemano en nuestra facultad de representación: ciertos extra- objetos lógicos concretos que existen intuitivamente como una experiencia inmediata antes de todo pensamiento. Para que la inferencia lógica sea cierta, entonces estos objetos deben ser completamente examinables en todas sus partes, y su presentación, sus diferencias, su sucesión o su disposición inmediata. uno al otro se nos da inmediata e intuitivamente, junto con los objetos, como algo que ni puede reducirse a otra cosa ni necesita tal reducción". (Hilbert 1931 en Mancosu 1998: 266, 267).

En resumen, según Hilbert y Bernays, la noción de "secuencia" o "sucesor" es una noción a priori que queda fuera de la lógica simbólica.

Hilbert descartó el logicismo como un "camino falso": "Algunos intentaron definir los números de forma puramente lógica; otros simplemente tomaron como evidentes los modos habituales de inferencia de la teoría de números. En ambos caminos encontraron obstáculos que resultaron ser insuperables". (Hilbert 1931 en Mancoso 1998:267). Podría decirse que los teoremas de incompletitud constituyen un obstáculo similar para el finitismo hilbertiano.

Mancosu afirma que Brouwer concluyó que: "las leyes o principios clásicos de la lógica son parte de [la] regularidad percibida [en la representación simbólica]; se derivan del registro post factum de las construcciones matemáticas... Lógica teórica... [ es] una ciencia empírica y una aplicación de las matemáticas" (Brouwer citado por Mancosu 1998:9).

Con respecto a los aspectos técnicos del logicismo russelliano tal como aparece en Principia Mathematica (cualquiera de las ediciones), Gödel en 1944 quedó decepcionado:

"Es de lamentar que esta primera presentación integral y exhaustiva de una lógica matemática y la derivación de las matemáticas a partir de ella [¿carezca?] de tanta precisión formal en los fundamentos (contenidos en *1–*21 de los Principia ) . que presenta a este respecto un retroceso considerable en comparación con Frege. Lo que falta, sobre todo, es una exposición precisa de la sintaxis del formalismo" (cf. nota al pie 1 en Gödel 1944 Collected Works 1990:120).

En particular, señaló que "la cuestión es especialmente dudosa en el caso de la regla de sustitución y de sustitución de símbolos definidos por sus definiens " (Russell 1944:120).

Con respecto a la filosofía que podría subyacer a estos fundamentos, Gödel consideraba que la "teoría sin clases" de Russell encarnaba un "tipo nominalista de constructivismo... que mejor podría llamarse ficcionalismo" (cf. nota 1 al pie de página en Gödel 1944:119). estar defectuoso. Vea más en "Críticas y sugerencias de Gödel" a continuación.

Una complicada teoría de las relaciones continuó estrangulando la explicativa Introducción a la filosofía matemática de Russell de 1919 y su segunda edición de Principia de 1927 . Mientras tanto, la teoría de conjuntos había seguido adelante con su reducción de la relación con el par ordenado de conjuntos. Grattan-Guinness observa que en la segunda edición de los Principia Russell ignoró esta reducción que había logrado su propio alumno Norbert Wiener (1914). Quizás debido a "una molestia residual, Russell no reaccionó en absoluto". [21] En 1914, Hausdorff proporcionaría otra definición equivalente, y Kuratowski en 1921 proporcionaría la que se utiliza hoy en día. [22]

La clase de unidad, la impredicabilidad y el principio del círculo vicioso

Supongamos que una bibliotecaria quiere indexar su colección en un solo libro (llámelo Ι por "índice"). Su índice enumerará todos los libros y sus ubicaciones en la biblioteca. Resulta que sólo hay tres libros, y estos tienen títulos Ά, β y Γ. Para formar su índice I, sale y compra un libro de 200 páginas en blanco y lo etiqueta "I". Ahora tiene cuatro libros: I, Ά, β y Γ. Su tarea no es difícil. Cuando esté completo, el contenido de su índice I son 4 páginas, cada una con un título único y una ubicación única (cada entrada se abrevia como Título.Ubicación T ):

I = { IL I , Ά.L Ά , β.L β , Γ.L Γ }.

Poincaré consideró que este tipo de definición de yo era " impredicativa ". Parece haber considerado que en matemáticas sólo se pueden permitir definiciones predicativas:

"una definición es 'predicativa' y lógicamente admisible sólo si excluye todos los objetos que dependen de la noción definida, es decir, que pueden ser determinados de alguna manera por ella". [23]

Según la definición de Poincaré, el índice del bibliotecario es "impredicativo" porque la definición de I depende de la definición de la totalidad I, Ά, β y Γ. Como se indica más adelante, algunos comentaristas insisten en que la impredicabilidad en las versiones de sentido común es inofensiva, pero, como muestran los ejemplos siguientes, hay versiones que no son inofensivas. En respuesta a estas dificultades, Russell abogó por una fuerte prohibición, su "principio del círculo vicioso":

"Ninguna totalidad puede contener miembros definibles sólo en términos de esta totalidad, o miembros que impliquen o presupongan esta totalidad" (principio del círculo vicioso)" (Gödel 1944 que aparece en Obras Completas Vol. II 1990:125). [24]

Para ilustrar lo que podría ser un caso pernicioso de impredicatividad, considere la consecuencia de ingresar el argumento α en la función f con salida ω = 1 – α. Esto puede verse como la expresión 'lógica-algebraica' equivalente a la expresión 'lógica-simbólica' ω = NOT-α, con valores de verdad 1 y 0. Cuando se ingresa α = 0, se genera ω = 1; cuando la entrada α = 1, la salida ω = 0.

Para hacer que la función sea "impredicativa", identifique la entrada con la salida, obteniendo α = 1-α

Dentro del álgebra de, digamos, números racionales, la ecuación se cumple cuando α = 0,5. Pero dentro, por ejemplo, de un álgebra booleana, donde sólo se permiten "valores de verdad" 0 y 1, entonces la igualdad no puede satisfacerse.

Algunas de las dificultades en el programa logicista pueden derivar de la paradoja α = NOT-α [25] Russell descubrió en el Begriffsschrift de Frege de 1879 [26] que Frege había permitido que una función derivara su entrada "funcional" (valor de su variable) no sólo de un objeto (cosa, término), sino también de la propia salida de la función. [27]

Como se describió anteriormente, las construcciones de los números naturales de Frege y Russell comienzan con la formación de clases equinumerosas de clases ("paquetes"), seguidas de la asignación de un "número" único a cada paquete, y luego de la colocación de los paquetes. en un orden a través de una relación S que es asimétrica: x S y ≠ y S x . Pero Frege, a diferencia de Russell, permitió que la clase de clases de unidades fuera identificada como una unidad en sí misma:

Pero, dado que la clase con el número 1 es un único objeto o unidad por derecho propio, también debe incluirse en la clase de clases de unidades. Esta inclusión da como resultado una regresión infinita de tipo creciente y contenido creciente.

Russell evitó este problema declarando que una clase es más bien una "ficción". Con esto quiso decir que una clase podía designar sólo aquellos elementos que satisfacían su función proposicional y nada más. Como "ficción", una clase no puede considerarse una cosa: una entidad, un "término", una singularidad, una "unidad". Es un ensamblaje pero, en opinión de Russell, no es "digno de ser una cosa":

"La clase como muchos... es inobjetable, pero es muchos y no uno. Podemos, si lo deseamos, representar esto mediante un solo símbolo: así x ε u significará " x es uno de los u ' s ". no debe tomarse como una relación de dos términos, x y u , porque u , como conjunción numérica, no es un término único... Así, una clase de clases será muchos muchos; cada uno de sus constituyentes será sólo muchos, y por lo tanto no puede en cualquier sentido, se podría suponer, son constituyentes únicos.[etc]" (1903:516).

Esto supone que "en la parte inferior" cada "término" solitario puede enumerarse (especificado por un predicado "predicativo") para cualquier clase, para cualquier clase de clases, para clase de clases de clases, etc., pero introduce una nueva problema: una jerarquía de "tipos" de clases.

Una solución a la impredicatividad: una jerarquía de tipos

Gödel 1944:131 observa que "Russell aduce dos razones en contra de la visión extensional de las clases, a saber, la existencia de (1) la clase nula, que no puede ser una colección, y (2) las clases unitarias, que tendrían que ser idénticos a sus elementos individuales." Sugiere que Russell debería haberlos considerado ficticios, pero no llegar a la conclusión adicional de que todas las clases (como la clase de clases que define los números 2, 3, etc.) son ficciones.

Pero Russell no hizo esto. Después de un análisis detallado en el Apéndice A: Las doctrinas lógicas y aritméticas de Frege en su 1903, Russell concluye:

"La doctrina lógica que se nos impone es la siguiente: el sujeto de una proposición puede no ser un solo término, sino esencialmente muchos términos; este es el caso de todas las proposiciones que afirman números distintos de 0 y 1" (1903:516) .

A continuación, observe la expresión "la clase como muchos": una clase es un agregado de aquellos términos (cosas) que satisfacen la función proposicional, pero una clase no es una cosa en sí misma :

"Así, la conclusión final es que la teoría correcta de las clases es incluso más extensiva que la del Capítulo VI; que la clase como muchos es el único objeto siempre definido por una función proposicional, y que esto es adecuado para propósitos formales" (1903 :518).

Es como si un ganadero reuniera todo su ganado (ovejas, vacas y caballos) en tres corrales ficticios (uno para las ovejas, otro para las vacas y otro para los caballos) que se ubican en su rancho ficticio. Lo que realmente existen son las ovejas, las vacas y los caballos (las ampliaciones), pero no los ficticios "conceptos" de corral y rancho. [ ¿ investigacion original? ]

Cuando Russell proclamó que todas las clases son ficciones útiles, resolvió el problema de la clase "unitaria", pero el problema general no desapareció; más bien, llegó en una nueva forma: "Ahora será necesario distinguir (1) términos, (2) clases, (3) clases de clases, y así hasta el infinito ; tendremos que sostener que ningún miembro de una conjunto es miembro de cualquier otro conjunto, y que x ε u requiere que x sea de un conjunto de un grado inferior en uno al conjunto al que pertenece u . Así, x ε x se convertirá en una proposición sin sentido; y de esta manera se evita la contradicción" (1903:517).

Ésta es la "doctrina de los tipos" de Russell. Para garantizar que expresiones impredicativas como x ε x puedan ser tratadas en su lógica, Russell propuso, como una especie de hipótesis de trabajo, que todas esas definiciones impredicativas tienen definiciones predicativas. Esta suposición requiere las nociones de función-"órdenes" y argumento-"tipos". Primero, las funciones (y sus clases como extensiones, es decir, "matrices") deben clasificarse por su "orden", donde las funciones de los individuos son de orden 1, las funciones de funciones (clases de clases) son de orden 2, y y así sucesivamente. A continuación, define el "tipo" de los argumentos de una función (las "entradas" de la función) como su "rango de significancia", es decir, ¿cuáles son esas entradas α (individuos? ¿clases? ¿clases de clases? etc.) que, cuando se conecta a f (x), produce una salida significativa ω. Tenga en cuenta que esto significa que un "tipo" puede ser de orden mixto, como muestra el siguiente ejemplo:

"Joe DiMaggio y los Yankees ganaron la Serie Mundial de 1947".

Esta frase se puede descomponer en dos cláusulas: " x ganó la Serie Mundial de 1947" + " y ganó la Serie Mundial de 1947". La primera oración toma como entrada x un "Joe DiMaggio" individual, la otra toma como entrada para y un "Yankees" agregado. Así, la oración compuesta tiene un tipo (mixto) de 2, mezclado en orden (1 y 2).

Por "predicativo", Russell quiso decir que la función debe ser de un orden superior al "tipo" de su(s) variable(s). Por lo tanto, una función (de orden 2) que crea una clase de clases sólo puede contener argumentos para sus variables que sean clases (tipo 1) e individuos (tipo 0), ya que estos son tipos inferiores. El tipo 3 sólo puede albergar a los tipos 2, 1 o 0, y así sucesivamente. Pero estos tipos se pueden mezclar (por ejemplo, para que esta oración sea (más o menos) verdadera: " z ganó la Serie Mundial de 1947 " podría aceptar el individuo (tipo 0) "Joe DiMaggio" y/o los nombres de sus otros compañeros de equipo. , y podría aceptar la clase (tipo 1) de jugadores individuales "Los Yankees".

El axioma de reducibilidad es la hipótesis de que cualquier función de cualquier orden puede reducirse (o reemplazarse por) una función predicativa equivalente del orden apropiado. [28] Una lectura cuidadosa de la primera edición indica que una función predicativa de enésimo orden no necesita expresarse "hasta el final" como una enorme "matriz" o agregado de proposiciones atómicas individuales. "Porque en la práctica sólo son relevantes los tipos relativos de variables; por lo tanto, el tipo más bajo que ocurre en un contexto dado puede llamarse el de los individuos" (p. 161). Pero el axioma de reducibilidad propone que, en teoría, es posible una reducción "completamente hacia abajo".

Sin embargo , en la segunda edición de PM de 1927, Russell había abandonado el axioma de reducibilidad y concluyó que efectivamente forzaría cualquier orden de función "hasta el final" hasta sus proposiciones elementales, vinculadas con operadores lógicos:

"Todas las proposiciones, del orden que sea, se derivan de una matriz compuesta de proposiciones elementales combinadas mediante el trazo" ( PM 1927 Apéndice A, p. 385)

(El "trazo" es el trazo de Sheffer , adoptado para la segunda edición de PM, una única función lógica de dos argumentos a partir de la cual se pueden definir todas las demás funciones lógicas).

El resultado neto, sin embargo, fue el colapso de su teoría. Russell llegó a esta desalentadora conclusión: que "la teoría de los ordinales y los cardinales sobrevive... pero los irracionales, y los números reales en general, ya no pueden abordarse adecuadamente... Quizás algún axioma adicional, menos objetable que el axioma de reducibilidad". , podría dar estos resultados, pero no hemos logrado encontrar tal axioma" ( PM 1927:xiv).

Gödel (1944) coincide en que el proyecto logicista de Russell quedó bloqueado; parece no estar de acuerdo con que incluso los números enteros hayan sobrevivido:

"[En la segunda edición] Se elimina el axioma de reducibilidad y se afirma explícitamente que todos los predicados primitivos pertenecen al tipo más bajo y que el único propósito de las variables (y evidentemente también de las constantes) de órdenes y tipos superiores es hacer posible afirmar funciones de verdad más complicadas de proposiciones atómicas" (Gödel 1944 en Obras completas :134).

Gödel afirma, sin embargo, que este procedimiento parece presuponer la aritmética de una forma u otra (p. 134). Deduce que "se obtienen números enteros de diferente orden" (p. 134-135); la prueba en Russell 1927 PM Apéndice B de que "los números enteros de cualquier orden superior a 5 son iguales que los de orden 5" "no es concluyente" y "la cuestión de si (o en qué medida) se puede obtener la teoría de los números enteros sobre la base de la jerarquía ramificada [clases más tipos] deben considerarse no resueltos en el momento actual". Gödel concluyó que de todos modos no importaría porque las funciones proposicionales de orden n (cualquier n ) deben describirse mediante combinaciones finitas de símbolos (todas las citas y el contenido derivan de la página 135).

Críticas y sugerencias de Gödel

Gödel, en su obra de 1944, identifica el lugar donde considera que falla el logicismo de Russell y ofrece sugerencias para rectificar los problemas. Somete a un nuevo examen el "principio del círculo vicioso", dividiéndolo en tres partes "definibles sólo en términos de", "involucrando" y "presuponiendo". Es la primera parte la que "hace imposibles las definiciones impredicativas y, por tanto, destruye la derivación de las matemáticas a partir de la lógica, realizada por Dedekind y Frege, y buena parte de las matemáticas mismas". Dado que, sostiene, las matemáticas parecen depender de sus impredicaciones inherentes (por ejemplo, "números reales definidos por referencia a todos los números reales"), concluye que lo que ha ofrecido es "una prueba de que el principio del círculo vicioso es falso [en lugar de] que las matemáticas clásicas son falsas" (todas citas de Gödel 1944:127).

La teoría de la no clase de Russell es la raíz del problema : Gödel cree que la impredicatividad no es "absurda", como aparece en todas las matemáticas. El problema de Russell se deriva de su punto de vista "constructivista (o nominalista" [29] ) hacia los objetos de la lógica y las matemáticas, en particular hacia las proposiciones, clases y nociones. . . una noción es un símbolo. . . de modo que un objeto separado denotado por el símbolo aparece como una mera ficción" (p. 128).

De hecho, Gödel concluye la teoría de "no clase" de Russell:

"es de gran interés como uno de los pocos ejemplos, llevado a cabo en detalle, de la tendencia a eliminar suposiciones sobre la existencia de objetos fuera de los "datos" y reemplazarlos por construcciones basadas en estos datos 33 . Los "datos" " aquí debemos entenderlo en un sentido relativo; es decir, en nuestro caso como lógica sin el supuesto de la existencia de clases y conceptos]. El resultado en este caso ha sido esencialmente negativo; es decir, las clases y conceptos introducidos de esta manera no tienen todas las propiedades requeridas para su uso en matemáticas... Todo esto es sólo una verificación de la opinión defendida anteriormente de que la lógica y las matemáticas (al igual que la física) se basan en axiomas con un contenido real que no se puede explicar" (p. .132)

Concluye su ensayo con las siguientes sugerencias y observaciones:

"Se debería tomar un camino más conservador, que consistiría en tratar de aclarar el significado de los términos "clase" y "concepto", y establecer una teoría coherente de las clases y los conceptos como entidades objetivamente existentes. Este es el camino que el desarrollo actual de la lógica matemática ha ido tomando y que el propio Russell se ha visto obligado a abordar en las partes más constructivas de su obra. Entre los principales intentos en esta dirección... están la teoría simple de tipos... y la teoría axiomática. teoría de conjuntos, las cuales han tenido éxito al menos hasta este punto, que permiten la derivación de las matemáticas modernas y al mismo tiempo evitan todas las paradojas conocidas... ¶ Parece razonable sospechar que es esta comprensión incompleta de los fundamentos lo cual es responsable de que la lógica matemática se haya quedado hasta ahora tan por detrás de las altas expectativas de Peano y otros..." (p. 140).

Neologicismo

El neologicismo describe una variedad de puntos de vista considerados por sus defensores como sucesores del programa logicista original. [30] Más concretamente, el neologicismo puede verse como el intento de salvar algunos o todos los elementos del programa de Frege mediante el uso de una versión modificada del sistema de Frege en los Grundgesetze (que puede verse como una especie de lógica de segundo orden). ).

Por ejemplo, se podría reemplazar la Ley Básica V (análoga al esquema de axioma de comprensión irrestricta en la teoría ingenua de conjuntos ) con algún axioma "más seguro" para evitar la derivación de las paradojas conocidas. El candidato más citado para reemplazar BLV es el principio de Hume , la definición contextual de '#' dada por '#F = #G si y sólo si hay una biyección entre F y G'. [31] Este tipo de neologicismo a menudo se denomina neofregeanismo . [32] Los defensores del neofregeanismo incluyen a Crispin Wright y Bob Hale , a veces también llamado Escuela Escocesa o platonismo abstraccionista , [33] quienes defienden una forma de fundacionalismo epistémico . [34]

Otros defensores importantes del neologicismo incluyen a Bernard Linsky y Edward N. Zalta , a veces llamado Escuela Stanford-Edmonton , estructuralismo abstracto o neologicismo modal , que defienden una forma de metafísica axiomática . [34] [32] El neologicismo modal deriva los axiomas de Peano dentro de la teoría de objetos modales de segundo orden . [35] [36]

M. Randall Holmes ha sugerido otro enfoque cuasi neologicista. En este tipo de enmienda a los Grundgesetze , el BLV permanece intacto, salvo por una restricción a fórmulas estratificables a la manera del NF de Quine y sistemas relacionados. Básicamente, todos los Grundgesetze "pasan". El sistema resultante tiene la misma consistencia que el NFU de Jensen + el Axioma de Conteo de Rosser . [37]

Ver también

Referencias

  1. ^ Logicismo. Archivado el 20 de febrero de 2008 en Wayback Machine .
  2. ^ Zalta, Edward N. (ed.). "Principios matemáticos". Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
  3. ^ "Sobre la relevancia filosófica de los teoremas de incompletitud de Gödel"
  4. ^ Gabbay, Dov M. (2009). Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas (Volumen 153 ed.). Ámsterdam: Elsevier, inc. págs. 59–90. ISBN 978-0-444-52012-8. Consultado el 1 de septiembre de 2019 .
  5. ^ Reck, Erich (1997), La influencia de Frege en Wittgenstein: revertir la metafísica mediante el principio de contexto (PDF) , S2CID  31255155, archivado desde el original (PDF) el 24 de agosto de 2018
  6. ^ La cita exacta de Russell 1919 es la siguiente: "Ha llegado el momento de pasar a las consideraciones que hacen necesario avanzar más allá del punto de vista de Peano, que representa la última perfección de la" aritmetización "de las matemáticas, al de Frege. , quien fue el primero en lograr "logicizar" las matemáticas, es decir, reducir a lógica las nociones aritméticas que sus predecesores habían demostrado que eran suficientes para las matemáticas". (Russell 1919/2005:17).
  7. ^ Por ejemplo, von Neumann 1925 citaría a Kronecker de la siguiente manera: "El infinito numerable... no es más que la noción general del entero positivo, en el que se basan las matemáticas y del que incluso Kronecker y Brouwer admiten que fue" creado por Dios. "" (von Neumann 1925 Una axiomatización de la teoría de conjuntos en van Heijenoort 1967:413).
  8. ^ Hilbert 1904 Sobre los fundamentos de la lógica y la aritmética en van Heijenoort 1967:130.
  9. ^ Páginas 474–5 en Hilbert 1927, Los fundamentos de las matemáticas en: van Heijenoort 1967:475.
  10. ^ Perry en su Introducción a Russell de 1997 1912:ix)
  11. ^ Cfr. Russell 1912:74.
  12. ^ "Debe admitirse... que conocemos los principios lógicos y no pueden ser probados por la experiencia, ya que toda prueba los presupone. En esto, por lo tanto... los racionalistas tenían razón" (Russell 1912:74 ).
  13. ^ "No se puede saber que existe nada excepto con la ayuda de la experiencia" (Russell 1912:74).
  14. ↑ Recalca el punto (páginas 67-68) donde define cuatro condiciones que determinan lo que llamamos "los números" (cf. (71)). Definición, página 67: el conjunto sucesor N' es parte de la colección N, hay un punto de partida "1 o " [número base de la serie numérica N ], este "1" no está contenido en ningún sucesor, para cualquier n en la colección existe una transformación φ( n ) a un n único (distinguible) (cf. (26). Definición)). Observa que al establecer estas condiciones "descuidamos por completo el carácter especial de los elementos; simplemente retenemos su distinguibilidad y tomamos en cuenta sólo la relación entre sí... mediante la transformación de ordenamiento φ... Con referencia a esto liberando los elementos de cualquier otro contenido (abstracción), estamos justificados al llamar a los números una creación libre de la mente humana." (pág. 68)
  15. ^ En su 1903 y en PM Russell se refiere a tales suposiciones (hay otras) como "proposiciones primitivas" ("pp" en contraposición a "axiomas" (también hay algunas de ellas). Pero el lector nunca está seguro de si estas pp son axiomas/esquemas de axiomas o dispositivos de construcción (como sustitución o modus ponens ), o qué, exactamente. Gödel 1944:120 comenta sobre esta ausencia de sintaxis formal y la ausencia de un proceso de sustitución claramente especificado.
  16. ^ Cfr. La filosofía de las matemáticas y la teoría de la prueba de Hilbert 1930:1931 en Mancosu, p. 242.
  17. ^ Para ser precisos, tanto el nombre del niño = variable x como el apellido Fn son variables. El dominio de Childname es "todos los nombres de niños" y el apellido Fn tiene un dominio que consta de las 12 familias de la calle.
  18. ^ "Si los predicados se dividen en clases con respecto a la equinumerosidad de tal manera que todos los predicados de una clase sean equinumeros entre sí y los predicados de diferentes clases no sean equinumeros, entonces cada clase representa el Número , que se aplica a los predicados que le pertenecen" (Bernays 1930-1 en Mancosu 1998:240.
  19. ^ ab Cfr. secciones 487 y siguientes (páginas 513 y siguientes en el Apéndice A).
  20. ^ 1909 Apéndice A
  21. ^ Russell consideró a Wiener "el fenómeno infantil... más infantil que fenómeno"; véase el enfrentamiento de Russell con Wiener en Grattan-Guinness 2000:419ff.
  22. ^ Véase el comentario de van Heijenoort y 1914 de Norbert Wiener Una simplificación de la lógica de las relaciones en van Heijenoort 1967:224ff.
  23. ^ Zermelo 1908 en van Heijenoort 1967:190. Véase la discusión sobre esta misma cita en Mancosu 1998:68.
  24. ^ Esta misma definición aparece también en Kleene 1952:42.
  25. ^ Una fuente para obtener más detalles es Fairouz Kamareddine, Twan Laan y Rob Nderpelt, 2004, Una perspectiva moderna sobre la teoría de tipos, desde sus orígenes hasta hoy , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Países Bajos, ISBN. Dan una demostración de cómo crear la paradoja (páginas 1 y 2), de la siguiente manera: Defina un agregado/clase/conjunto y de esta manera: ∃y∀x[x ε y ↔ Φ(x)]. (Esto dice: Existe una clase y tal que para CUALQUIER entrada x, x es un elemento del conjunto y si y sólo si x satisface la función dada Φ.) Tenga en cuenta que (i) la entrada x no tiene restricciones en cuanto al "tipo" de cosa que puede ser (puede ser una cosa o una clase), y (ii) la función Φ tampoco tiene restricciones. Elija la siguiente función complicada Φ(x) = ¬(x ε x). (Esto dice: Φ(x) se satisface cuando x NO es un elemento de x)). Debido a que y (una clase) también es "ilimitada", podemos ingresar "y" como entrada: ∃y[y ε y ↔ ¬(y ε y)]. Esto dice que "existe una clase y que es un elemento de sí misma sólo si NO es un elemento de sí misma. Esa es la paradoja.
  26. ↑ La carta de Russell a Frege anunciando el "descubrimiento" y la carta de Frege a Russell en triste respuesta, junto con un comentario, se pueden encontrar en van Heijenoort 1967:124-128. Zermelo en su 1908 reivindicó prioridad al descubrimiento; cf. nota a pie de página 9 en la página 191 en van Heijenoort.
  27. ^ van Heijenoort 1967:3 y páginas 124-128
  28. ^ "El axioma de reducibilidad es la suposición de que, dada cualquier función φẑ, existe una función predicativa formalmente equivalente , es decir, hay una función predicativa que es verdadera cuando φz es verdadera y falsa cuando φz es falsa. En símbolos, el axioma es: ⊦ :(∃ψ) : φz. ≡ z .ψ!z." ( PM 1913/1962 edición: 56, el original usa x con circunflejo). Aquí φẑ indica la función con variable ẑ, es decir, φ(x) donde x es el argumento "z"; φz indica el valor de la función dado el argumento "z"; ≡ z indica "equivalencia para todos los z"; ψ!z indica una función predicativa, es decir, una que no tiene variables excepto los individuos.
  29. ^ Perry observa que Platón y Russell están "entusiasmados" con los "universales", luego, en la siguiente oración escribe: "Los 'nominalistas' piensan que todo lo que los particulares realmente tienen en común son las palabras que les aplicamos" (Perry en su Introducción de 1997 a Russell 1912:xi). Perry agrega que si bien tu sudadera y la mía son objetos diferentes generalizados por la palabra "sudadera", tú tienes una relación con la tuya y yo tengo una relación con la mía. Y Russell "trató las relaciones a la par de otros universales" (p. xii). Pero Gödel está diciendo que la teoría de la "no clase" de Russell niega a los números el estatus de "universales".
  30. ^ Bernard Linsky y Edward N. Zalta , "¿Qué es el neologicismo?", The Bulletin of Symbolic Logic , 12 (1) (2006): 60–99.
  31. ↑ PHIL 30067: Logicismo y Neologicismo Archivado el 17 de julio de 2011 en Wayback Machine .
  32. ^ ab Zalta, Edward N. (ed.). "Logicismo y Neologicismo". Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
  33. ^ Bob Hale y Crispin Wright (2002), "Revisión del dilema de Benacerraf", European Journal of Philosophy 10 (1): 101–129, esp. "6. Objeciones y Salvedades".
  34. ^ ab st-andrews.ac.uk. Archivado el 24 de diciembre de 2006 en Wayback Machine .
  35. ^ Edward N. Zalta , "Números naturales y cardinales naturales como objetos abstractos: una reconstrucción parcial de los Grundgesetze de Frege en la teoría de objetos", Journal of Philosophical Logic , 28 (6) (1999): 619–660.
  36. ^ Edward N. Zalta , "¿Neologicismo? Una reducción ontológica de las matemáticas a la metafísica", Erkenntnis , 53 (1-2) (2000), 219-265.
  37. ^ M. Randall Holmes, "Reparación de la lógica de Frege", 5 de agosto de 2018.

Bibliografía

enlaces externos