corte dedekind

Método de construcción de los números reales.

Dedekind utilizó su corte para construir los números reales irracionales .

En matemáticas , los cortes de Dedekind , que llevan el nombre del matemático alemán Richard Dedekind (pero considerados anteriormente por Joseph Bertrand ^{[1] [2]} ), son un método de construcción de números reales a partir de números racionales . Un corte de Dedekind es una partición de los números racionales en dos conjuntos A y B , de manera que cada elemento de A es menor que cada elemento de B , y A no contiene ningún elemento mayor . El conjunto B puede tener o no un elemento más pequeño entre los racionales. Si B tiene un elemento más pequeño entre los racionales, el corte corresponde a ese racional. De lo contrario, ese corte define un número irracional único que , en términos generales, llena el "espacio" entre A y  B. ^[3] En otras palabras, A contiene cada número racional menor que el corte, y B contiene cada número racional mayor o igual al corte. Un corte irracional se equipara a un número irracional que no está en ninguno de los dos conjuntos. Todo número real, racional o no, se equipara a una y sólo una fracción de racionales. ^[3]

Los cortes de Dedekind se pueden generalizar desde los números racionales a cualquier conjunto totalmente ordenado definiendo un corte de Dedekind como una partición de un conjunto totalmente ordenado en dos partes no vacías A y B , de modo que A esté cerrado hacia abajo (lo que significa que para todo a en A , x ≤ a implica que x también está en A ) y B está cerrado hacia arriba, y A no contiene ningún elemento mayor. Véase también completitud (teoría del orden) .

Es sencillo demostrar que un corte de Dedekind entre los números reales está definido únicamente por el corte correspondiente entre los números racionales. De manera similar, cada corte de reales es idéntico al corte producido por un número real específico (que puede identificarse como el elemento más pequeño del conjunto B ). En otras palabras, la recta numérica donde cada número real se define como un corte de racionales de Dedekind es un continuo completo sin más espacios.

Definición

Un corte de Dedekind es una partición de los racionales en dos subconjuntos y tal que ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle A}$no está vacío.
2. ${\displaystyle A\neq \mathbb {Q} }$(de manera equivalente, no está vacío). ${\displaystyle B}$
3. Si , y , entonces . ( está "cerrado hacia abajo".) ${\displaystyle x,y\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle y\in A}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle A}$
4. Si , entonces existe tal que . ( no contiene un elemento mayor). ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle y\in A}$ ${\displaystyle y>x}$ ${\displaystyle A}$

Al omitir los dos primeros requisitos, obtenemos formalmente la recta de números reales extendida .

Representaciones

Es más simétrico usar la notación ( A , B ) para los cortes de Dedekind, pero cada uno de A y B determina al otro. Puede ser una simplificación, al menos en términos de notación, concentrarse en una "mitad" (digamos, la inferior) y llamar a cualquier conjunto A cerrado hacia abajo sin mayor elemento un "corte de Dedekind".

Si el conjunto ordenado S es completo, entonces, para cada corte de Dedekind ( A , B ) de S , el conjunto B debe tener un elemento mínimo b , por lo tanto debemos tener que A es el intervalo (−∞, b ), y B el intervalo [ b , +∞). En este caso decimos que b está representado por el corte ( A , B ).

El objetivo importante del corte de Dedekind es trabajar con conjuntos de números que no están completos. El corte en sí puede representar un número que no está en la colección original de números (la mayoría de las veces, números racionales ). El corte puede representar un número b , aunque los números contenidos en los dos conjuntos A y B en realidad no incluyen el número b que representa su corte.

Por ejemplo, si A y B solo contienen números racionales , aún se pueden reducir poniendo cada número racional negativo en A , junto con cada número racional no negativo cuyo cuadrado sea menor que 2; de manera similar , B contendría todo número racional positivo cuyo cuadrado sea mayor o igual a 2. Aunque no existe un valor racional para , si los números racionales se dividen en A y B de esta manera, la partición en sí representa un número irracional . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

orden de cortes

Considere un corte de Dedekind ( A , B ) como menor que otro corte de Dedekind ( C , D ) (del mismo superconjunto) si A es un subconjunto propio de C. De manera equivalente, si D es un subconjunto propio de B , el corte ( A , B ) es nuevamente menor que ( C , D ). De esta manera, la inclusión de conjuntos se puede utilizar para representar el orden de los números, y todas las demás relaciones ( mayor que , menor o igual que , igual a , etc.) se pueden crear de manera similar a partir de relaciones de conjuntos.

El conjunto de todos los cortes de Dedekind es en sí mismo un conjunto (de conjuntos) ordenado linealmente. Además, el conjunto de cortes de Dedekind tiene la propiedad de límite superior mínimo , es decir, cada subconjunto no vacío del mismo que tiene algún límite superior tiene un límite superior mínimo . Por lo tanto, construir el conjunto de cortes de Dedekind sirve para incrustar el conjunto ordenado original S , que podría no haber tenido la propiedad de límite superior mínimo, dentro de un conjunto ordenado linealmente (generalmente más grande) que sí tiene esta propiedad útil.

Construcción de los números reales.

Un corte típico de Dedekind de los números racionales viene dado por la partición con ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (A,B)}$

${\displaystyle A=\{a\in \mathbb {Q} :a^{2}<2{\text{ or }}a<0\},}$

${\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}\geq 2{\text{ and }}b\geq 0\}.}$^[4]

Este corte representa el número irracional en la construcción de Dedekind. La idea esencial es que usamos un conjunto , que es el conjunto de todos los números racionales cuyos cuadrados son menores que 2, para "representar" el número , y además, definiendo adecuadamente operadores aritméticos sobre estos conjuntos (suma, resta, multiplicación y división), estos conjuntos (junto con estas operaciones aritméticas) forman los familiares números reales. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Para establecer esto, se debe demostrar que realmente es un corte (según la definición) y el cuadrado de , es decir (consulte el enlace de arriba para obtener la definición precisa de cómo se define la multiplicación de cortes), es (tenga en cuenta que En rigor este número 2 está representado por un corte ). Para mostrar la primera parte, demostramos que para cualquier racional positivo con , existe un racional con y . La elección funciona, por lo que se trata de un recorte. Ahora que disponemos de la multiplicación entre cortes, es fácil comprobarlo (esencialmente, esto se debe a ). Por lo tanto , para demostrar eso , demostramos que , y basta con demostrar que para cualquiera , existe . Para esto notamos que si , entonces para lo construido arriba, esto significa que tenemos una secuencia en cuyo cuadrado puede volverse arbitrariamente cercano a , lo que finaliza la prueba. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \{x\ |\ x\in \mathbb {Q} ,x<2\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}<2}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle y^{2}<2}$ ${\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times A\leq 2}$ ${\displaystyle x\times y\leq 2,\forall x,y\in A,x,y\geq 0}$ ${\displaystyle A\times A=2}$ ${\displaystyle A\times A\geq 2}$ ${\displaystyle r<2}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x^{2}>r}$ ${\displaystyle x>0,2-x^{2}=\epsilon >0}$ ${\displaystyle 2-y^{2}\leq {\frac {\epsilon }{2}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 2}$

Tenga en cuenta que la igualdad b ²  = 2 no se puede mantener ya que no es racional . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Relación con la aritmética de intervalos

Dado un corte de Dedekind que representa el número real dividiendo los racionales en donde los racionales in son menores que y los racionales in son mayores que , se puede representar de manera equivalente como el conjunto de pares con y , estando el corte inferior y el corte superior dados por proyecciones. Esto corresponde exactamente al conjunto de intervalos que se aproximan . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle r}$

Esto permite definir las operaciones aritméticas básicas sobre los números reales en términos de aritmética de intervalos . Esta propiedad y su relación con los números reales se dan sólo en términos de y es particularmente importante en fundamentos más débiles como el análisis constructivo . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Generalizaciones

Conjuntos arbitrarios ordenados linealmente

En el caso general de un conjunto X arbitrario ordenado linealmente , un corte es un par tal que y , implican . Algunos autores añaden el requisito de que tanto A como B no estén vacíos. ^[5] ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle A\cup B=X}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle a<b}$

Si ni A tiene un máximo, ni B tiene un mínimo, el corte se llama brecha . Un conjunto linealmente ordenado dotado de topología de orden es compacto si y sólo si no tiene espacio. ^[6]

Números surrealistas

Para (una entre muchas posibles) construcciones de números surrealistas se utiliza una construcción que se asemeja a los cortes de Dedekind . La noción relevante en este caso es un corte Cuesta-Dutari, ^[7]  que lleva el nombre del matemático español Norberto Cuesta Dutari .

Conjuntos parcialmente ordenados

De manera más general , si S es un conjunto parcialmente ordenado , una finalización de S significa una red L completa con un orden de inclusión de S en L. La noción de red completa generaliza la propiedad del límite mínimo superior de los reales.

Una terminación de S es el conjunto de sus subconjuntos cerrados hacia abajo , ordenados por inclusión . Una terminación relacionada que preserva todos los sups e infs existentes de S se obtiene mediante la siguiente construcción: Para cada subconjunto A de S , sea A ^u el conjunto de límites superiores de A , y sea Al ^l el conjunto de límites inferiores de A . (Estos operadores forman una conexión de Galois ). Entonces, la compleción de Dedekind-MacNeille de S consta de todos los subconjuntos A para los cuales ( A ^u ) ^l = A ; está ordenado por inclusión. La terminación de Dedekind-MacNeille es la celosía completa más pequeña con S incrustado en ella.

Notas

1. Bertrand, José (1849). Traité d'Arithmétique. página 203. Un número inconmensurable sólo puede definirse indicando cómo la magnitud que expresa puede formarse mediante la unidad. En lo que sigue suponemos que esta definición consiste en indicar cuáles son los números conmensurables menores o mayores que él....
2. Spalt, Detlef (2019). Eine kurze Geschichte der Analysis . Saltador. doi :10.1007/978-3-662-57816-2. ISBN 978-3-662-57815-5.
3. Dedekind, Richard (1872). Continuidad y números irracionales (PDF) . Sección IV. Entonces, siempre que tenemos que hacer con un corte producido por un número no racional, creamos un nuevo número irracional , que consideramos completamente definido por este corte... De aquí en adelante, pues, a cada corte determinado le corresponde un número racional o irracional determinado...
4. En la segunda línea, puede reemplazarse por sin ninguna diferencia, ya que no hay solución para in y ya está prohibido por la primera condición. Esto da como resultado la expresión equivalente ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle >}$ ${\displaystyle x^{2}=2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle b=0}$

   ${\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}>2{\text{ and }}b>0\}.}$

5. R. Engelking, Topología general, I.3
6. Jun-Iti Nagata, Topología general moderna, segunda edición revisada, teorema VIII.2, p. 461. En realidad, el teorema se cumple en el contexto de espacios ordenados generalizados, pero en este contexto más general se deben tener en cuenta los pseudoespacios.
7. Alling, Norman L. (1987). Fundamentos del análisis sobre campos numéricos surrealistas . Estudios de Matemáticas 141. Holanda Septentrional. ISBN 0-444-70226-1.

Referencias

• Dedekind, Richard, Ensayos sobre la teoría de los números , "Continuidad y números irracionales", Publicaciones de Dover: Nueva York, ISBN 0-486-21010-3 . También disponible en Proyecto Gutenberg. 

enlaces externos

• "Corte de Dedekind", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]