En metalógica y metamatemática , el teorema de Frege es un metateorema que establece que los axiomas de aritmética de Peano pueden derivarse en lógica de segundo orden a partir del principio de Hume . Fue probado por primera vez, informalmente, por Gottlob Frege en su Die Grundlagen der Arithmetik ( Los fundamentos de la aritmética ) de 1884 [1] y demostrado más formalmente en su Grundgesetze der Arithmetik I ( Leyes básicas de la aritmética I) de 1893. [2] El teorema fue redescubierto por Crispin Wright a principios de la década de 1980 y desde entonces ha sido objeto de importantes trabajos. Está en el centro de la filosofía de las matemáticas conocida como neologicismo (al menos de la variedad de la Escuela Escocesa ).
En The Foundations of Arithmetic (1884), y más tarde, en Basic Laws of Arithmetic (vol. 1, 1893; vol. 2, 1903), Frege intentó derivar todas las leyes de la aritmética a partir de axiomas que afirmaba como lógicos (ver logicismo ). La mayoría de estos axiomas fueron extraídos de su Begriffsschrift ; el único principio verdaderamente nuevo fue uno que llamó Ley Básica V [2] (ahora conocido como el esquema axiomático de comprensión ilimitada ): [3] el "rango de valores" de la función f ( x ) es el mismo que el " rango de valores" de la función g ( x ) si y sólo si ∀ x [ f ( x ) = g ( x )]. Sin embargo, la Ley Básica V no sólo no logró ser una proposición lógica, sino que el sistema resultante resultó ser inconsistente porque estaba sujeto a la paradoja de Russell . [4]
La inconsistencia en los Grundgesetze de Frege eclipsó el logro de Frege: según Edward Zalta , el Grundgesetze "contiene todos los pasos esenciales de una demostración válida (en lógica de segundo orden ) de las proposiciones fundamentales de la aritmética a partir de un único principio consistente". [4] Este logro se conoce como teorema de Frege. [4] [5]
En lógica proposicional , el teorema de Frege hace referencia a esta tautología :
El teorema ya se cumple en una de las lógicas más débiles imaginables, el cálculo implicacional constructivo . La prueba según la interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogorov dice . En palabras: "Sea f una razón por la cual P implica que Q implica R . Y sea g una razón por la cual P implica Q . Luego dada una f , luego dada una g , luego dada una razón p para P , sabemos que ambos Q se cumple con g y eso Q implica que R se cumple con f . Entonces R se cumple".
La tabla de verdad de la derecha ofrece una prueba semántica. Para todas las posibles asignaciones de falso ( ✗ ) o verdadero ( ✓ ) a P , Q y R (columnas 1, 3, 5), cada subfórmula se evalúa de acuerdo con las reglas del condicional material y el resultado se muestra debajo de su operador principal. . La columna 6 muestra que toda la fórmula se evalúa como verdadera en todos los casos, es decir, que es una tautología. De hecho, su antecedente (columna 2) y su consecuente (columna 10) son incluso equivalentes.
El sorprendente descubrimiento de Frege, del que puede haber sido plenamente consciente o no y que se ha perdido de vista desde el descubrimiento de la paradoja de Russell, fue que la aritmética se puede derivar en un sistema puramente lógico como el de su Begriffsschrift a partir de este principio coherente y sólo a partir de él.
