La teoría de conjuntos de Scott-Potter, una aproximación a los fundamentos de las matemáticas de origen relativamente reciente, es una colección de teorías de conjuntos axiomáticos anidados establecidas por el filósofo Michael Potter, basándose en trabajos anteriores del matemático Dana Scott y el filósofo George Boolos .
Potter (1990, 2004) aclaró y simplificó el enfoque de Scott (1974) y mostró cómo la teoría de conjuntos axiomática resultante puede hacer lo que se espera de dicha teoría, es decir, fundamentar los números cardinales y ordinales , la aritmética de Peano y los demás sistemas numéricos habituales. y la teoría de las relaciones .
Esta sección y la siguiente siguen de cerca la Parte I de Potter (2004). La lógica de fondo es la lógica de primer orden con identidad . La ontología incluye tanto elementos como conjuntos , lo que deja claro que pueden existir conjuntos de entidades definidas por teorías de primer orden no basadas en conjuntos. Los urelementos no son esenciales en el sentido de que otras estructuras matemáticas pueden definirse como conjuntos, y está permitido que el conjunto de urelementos esté vacío.
Alguna terminología peculiar de la teoría de conjuntos de Potter:
Los siguientes tres axiomas definen la teoría ZU .
Creación : ∀ V ∃ V' ( V ∈ V' ).
Observación : No existe un nivel más alto, por lo tanto, hay infinitos niveles. Este axioma establece la ontología de los niveles.
Separación : un esquema de axioma . Para cualquier fórmula de primer orden Φ( x ) con variables (ligadas) que abarcan el nivel V , la colección { x ∈ V : Φ( x )} también es un conjunto. (Ver esquema de axioma de separación ).
Observación : Dados los niveles establecidos por la Creación , este esquema establece la existencia de conjuntos y cómo formarlos. Nos dice que un nivel es un conjunto, y que todos los subconjuntos, definibles mediante lógica de primer orden , de niveles también son conjuntos. Este esquema puede verse como una extensión de la lógica de fondo.
Infinito : Existe al menos un nivel límite. (Ver Axioma del infinito ).
Observación : Entre los conjuntos que permite la separación , al menos uno es infinito . Este axioma es principalmente matemático , ya que no hay necesidad del infinito real en otros contextos humanos, siendo el orden sensorial humano necesariamente finito. Para fines matemáticos, sería suficiente el axioma "Existe un conjunto inductivo ".
Las siguientes afirmaciones, si bien tienen la naturaleza de axiomas, no son axiomas de ZU . En cambio, afirman la existencia de conjuntos que satisfacen una condición establecida. Como tales, son "premisas de existencia", es decir, lo siguiente. Sea X cualquier enunciado siguiente. Cualquier teorema cuya demostración requiera X se formula condicionalmente como "Si X se cumple, entonces..." Potter define varios sistemas utilizando premisas de existencia, incluidos los dos siguientes:
Ordinales : Para cada ordinal α (infinito), existe un nivel correspondiente V α .
Observación : En palabras, "Existe un nivel correspondiente a cada ordinal infinito". Ordinales hace posible la definición convencional de Von Neumann de números ordinales .
Sea τ( x ) un término de primer orden .
Reemplazo : un esquema de axioma . Para cualquier colección a , ∀ x ∈ a [τ( x ) es un conjunto] → {τ( x ) : x ∈ a } es un conjunto.
Observación : si el término τ( x ) es una función (llámelo f ( x )), y si el dominio de f es un conjunto, entonces el rango de f también es un conjunto.
Reflexión : Sea Φ una fórmula de primer orden en la que está presente cualquier número de variables libres . Sea Φ ( V ) denotar Φ con todas estas variables libres cuantificadas, con las variables cuantificadas restringidas al nivel V .
Entonces ∃ V [Φ→Φ ( V ) ] es un axioma.
Observación : Este esquema afirma la existencia de un universo "parcial", es decir, el nivel V , en el que todas las propiedades Φ que se mantienen cuando las variables cuantificadas abarcan todos los niveles, también se cumplen cuando estas variables abarcan sólo V. La reflexión convierte la Creación , el Infinito , los Ordinales y el Reemplazo en teoremas (Potter 2004: §13.3).
Sean A y a secuencias de conjuntos no vacíos , cada uno indexado por n .
Elección contable : dada cualquier secuencia A , existe una secuencia a tal que:
Observación . Countable Choice permite demostrar que cualquier conjunto debe ser finito o infinito.
Sean B y C conjuntos, y sea n un índice de los miembros de B , cada uno de los cuales se denota como B n .
Elección : Sean los miembros de B conjuntos disjuntos no vacíos. Entonces:
El universo de von Neumann implementa la "concepción iterativa de conjunto" estratificando el universo de conjuntos en una serie de "niveles", siendo los conjuntos de un nivel determinado los miembros de los conjuntos que componen el siguiente nivel superior. Por lo tanto, los niveles forman una secuencia anidada y bien ordenada , y formarían una jerarquía si la membresía del conjunto fuera transitiva . La concepción iterativa resultante evita, de manera bien motivada, las conocidas paradojas de Russell , Burali-Forti y Cantor . Todas estas paradojas resultan del uso irrestricto del principio de comprensión que permite la teoría ingenua de conjuntos . Colecciones como "la clase de todos los conjuntos" o "la clase de todos los ordinales" incluyen conjuntos de todos los niveles de la jerarquía. Dada la concepción iterativa, dichas colecciones no pueden formar conjuntos en ningún nivel dado de la jerarquía y, por tanto, no pueden ser conjuntos en absoluto. La concepción iterativa se ha vuelto gradualmente más aceptada con el tiempo, a pesar de una comprensión imperfecta de sus orígenes históricos.
El tratamiento axiomático de Boolos (1989) de la concepción iterativa es su teoría de conjuntos S , una teoría de primer orden con dos ordenaciones que involucra conjuntos y niveles.
Scott (1974) no mencionó la "concepción iterativa de conjunto", sino que propuso su teoría como una consecuencia natural de la teoría simple de tipos . Sin embargo, la teoría de Scott puede verse como una axiomatización de la concepción iterativa y la jerarquía iterativa asociada.
Scott comenzó con un axioma que se negó a nombrar: la fórmula atómica x ∈ y implica que y es un conjunto. En símbolos:
Su axioma de Extensionalidad y esquema de axioma de Comprensión ( Separación ) son estrictamente análogos a sus contrapartes ZF y por lo tanto no mencionan niveles. Luego invocó dos axiomas que sí mencionan niveles:
La restricción también implica la existencia de al menos un nivel y asegura que todos los conjuntos estén bien fundamentados.
El último axioma de Scott, el esquema de reflexión , es idéntico a la premisa de existencia anterior que lleva el mismo nombre, y también cumple con Infinity and Reemplazo de ZF . El sistema de Scott tiene la misma fuerza que ZF.
Potter (1990, 2004) introdujo la terminología idiosincrásica descrita anteriormente en esta entrada y descartó o reemplazó todos los axiomas de Scott excepto Reflexión ; el resultado es ZU . ZU , como ZF, no puede ser axiomatizado de forma finita . ZU se diferencia de ZFC en que:
Por tanto, ZU está más cerca de la teoría de conjuntos de Zermelo de 1908, es decir, ZFC menos Elección, Reemplazo y Fundación. Sin embargo, es más fuerte que esta teoría, ya que los cardinales y ordinales se pueden definir, a pesar de la ausencia de elección, utilizando el truco de Scott y la existencia de niveles, y tal definición no es posible en la teoría de conjuntos de Zermelo. Así, en ZU, una clase de equivalencia de:
De manera similar, los números naturales no se definen como un conjunto particular dentro de la jerarquía iterativa, sino como modelos de un álgebra de Dedekind "pura". "Álgebra de Dedekind" es el nombre de Potter para un conjunto cerrado bajo una operación inyectiva unaria , sucesora , cuyo dominio contiene un elemento único, cero, ausente de su rango . Debido a que la teoría de las álgebras de Dedekind es categórica (todos los modelos son isomórficos ), cualquier álgebra de este tipo puede representar los números naturales.
Aunque Potter (2004) dedica un apéndice completo a las clases adecuadas , la fuerza y los méritos de la teoría de conjuntos de Scott-Potter en relación con los conocidos rivales de ZFC que admiten clases adecuadas, a saber, NBG y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley , aún no se han determinado. explorado.
La teoría de conjuntos de Scott-Potter se parece a la NFU en que esta última es una teoría de conjuntos axiomática ideada recientemente (Jensen 1967) que admite tanto elementos ure como conjuntos que no están bien fundamentados . Pero los elementos de NFU, a diferencia de los de ZU, juegan un papel esencial; ellos y las restricciones resultantes sobre la Extensionalidad hacen posible una prueba de la consistencia de NFU en relación con la aritmética de Peano . Pero no se sabe nada sobre la fuerza de NFU en relación con Creación + Separación , NFU+ Infinito en relación con ZU, y de NFU+ Infinito + Elección contable en relación con ZU + Elección contable .
A diferencia de casi todos los escritos sobre teoría de conjuntos de las últimas décadas, Potter (2004) menciona fusiones mereológicas . Sus colecciones son también sinónimo de los "conjuntos virtuales" de Willard Quine y Richard Milton Martin : entidades surgidas del libre uso del principio de comprensión que nunca pueden ser admitidas en el universo del discurso .
Reseña de Potter (1990):
Reseñas de Alfarero (2004):