En la filosofía de las matemáticas , la abstracción del infinito actual , también llamado infinito completo , [1] implica la aceptación (si se incluye el axioma del infinito ) de entidades infinitas como objetos dados, reales y completos. Estos podrían incluir el conjunto de números naturales , números reales extendidos , números transfinitos o incluso una secuencia infinita de números racionales . El infinito real debe contrastarse con el infinito potencial , en el que un proceso que no termina (como "sumar 1 al número anterior") produce una secuencia sin último elemento, y donde cada resultado individual es finito y se logra en un tiempo finito. numero de pasos. Este tipo de proceso ocurre en matemáticas, por ejemplo, en las formalizaciones estándar de las nociones de serie infinita , producto infinito o límite . [2]
El término griego antiguo para el infinito potencial o impropio era apeiron (ilimitado o indefinido), en contraste con el aforismenon infinito real o propio . [3] Apeiron se opone a aquello que tiene peras (límite). Estas nociones hoy se denotan por infinito potencial y realmente infinito , respectivamente.
Anaximandro (610-546 a. C.) sostuvo que el apeiron era el principio o elemento principal que componía todas las cosas. Claramente, el 'apeiron' era una especie de sustancia básica. La noción de Platón de apeiron es más abstracta y tiene que ver con la variabilidad indefinida. Los principales diálogos en los que Platón analiza el 'apeiron' son los últimos diálogos Parménides y Filebo .
Aristóteles resume las opiniones de sus predecesores sobre el infinito de la siguiente manera:
"Sólo los pitagóricos sitúan el infinito entre los objetos de los sentidos (no consideran que el número sea separable de éstos) y afirman que lo que está fuera del cielo es infinito. Platón, por otra parte, sostiene que no hay cuerpo fuera ( las Formas no están afuera porque no están en ninguna parte), sin embargo, que el infinito está presente no sólo en los objetos de los sentidos sino también en las Formas". (Aristóteles) [4]
El tema surgió gracias a la consideración que hizo Aristóteles del apeiron, en el contexto de las matemáticas y la física (el estudio de la naturaleza):
"El infinito resulta ser lo contrario de lo que la gente dice que es. No es 'aquello que no tiene nada más allá de sí mismo' lo que es infinito, sino 'aquello que siempre tiene algo más allá de sí mismo'." (Aristóteles) [5]
La creencia en la existencia del infinito proviene principalmente de cinco consideraciones: [6]
Aristóteles postuló que un infinito real era imposible, porque si fuera posible, entonces algo habría alcanzado una magnitud infinita y sería "más grande que los cielos". Sin embargo, dijo, las matemáticas relativas al infinito no estaban privadas de su aplicabilidad por esta imposibilidad, porque los matemáticos no necesitaban el infinito para sus teoremas, sólo una magnitud finita y arbitrariamente grande. [7]
Aristóteles manejó el tema del infinito en la Física y en la Metafísica . Distinguió entre el infinito real y el potencial . El infinito real es completo y definido y consta de una infinidad de elementos. El infinito potencial nunca es completo: siempre se pueden añadir elementos, pero nunca infinitos.
"Porque generalmente el infinito tiene este modo de existencia: una cosa siempre se toma tras otra, y cada cosa que se toma es siempre finita, pero siempre diferente".
— Aristóteles, Física, libro 3, capítulo 6.
Aristóteles distinguió entre el infinito con respecto a la suma y la división.
Pero Platón tiene dos infinitos, el Grande y el Pequeño.
— Física, libro 3, capítulo 4.
"Como ejemplo de una serie potencialmente infinita con respecto al aumento, siempre se puede sumar un número tras otro en la serie que comienza 1,2,3,... pero el proceso de sumar más y más números no se puede agotar ni completar ". [ cita necesaria ]
Con respecto a la división, una secuencia potencialmente infinita de divisiones podría comenzar, por ejemplo, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, pero el proceso de división no puede agotarse ni completarse.
"Porque el hecho de que el proceso de división nunca llegue a su fin garantiza que esta actividad exista potencialmente, pero no que el infinito exista por separado".
— Metafísica, libro 9, capítulo 6.
Aristóteles también argumentó que los matemáticos griegos conocían la diferencia entre el infinito real y uno potencial, pero "no necesitan el infinito [real] y no lo usan" ( Phys. III 2079 29). [8]
La inmensa mayoría de los filósofos escolásticos adhirieron al lema Infinitum actu non datur . Esto significa que sólo hay un infinito potencial (en desarrollo, inadecuado, "sincategoremático") pero no un infinito real (fijo, propio, "categoremático") . Sin embargo, hubo excepciones, por ejemplo en Inglaterra.
Es bien sabido que en la Edad Media todos los filósofos escolásticos defienden el "infinitum actu non datur" de Aristóteles como un principio irrefutable. ( G. Cantor ) [9]
El infinito real existe en número, tiempo y cantidad. (J. Baconthorpe [9, pág. 96])
Durante el Renacimiento y principios de la Edad Moderna, las voces a favor del infinito real eran bastante raras.
El continuo en realidad consta de infinitos indivisibles ( G. Galilei [9, p. 97])
Estoy muy a favor del infinito real. ( GW Leibniz [9, p. 97])
Sin embargo, la mayoría de los pensadores premodernos [ cita necesaria ] estuvieron de acuerdo con la conocida cita de Gauss:
Protesto contra el uso de la magnitud infinita como algo completo, lo que nunca está permitido en matemáticas. El infinito es simplemente una forma de hablar, siendo el verdadero significado un límite al que ciertas proporciones se acercan indefinidamente, mientras que a otras se les permite aumentar sin restricción. [10] ( CF Gauss [en una carta a Schumacher, 12 de julio de 1831])
El infinito real ahora es comúnmente aceptado en matemáticas, aunque el término ya no se utiliza, siendo reemplazado por el concepto de conjuntos infinitos . Este cambio drástico fue iniciado por Bolzano y Cantor en el siglo XIX, y fue uno de los orígenes de la crisis fundacional de las matemáticas .
Bernard Bolzano , que introdujo la noción de conjunto (en alemán: Menge ), y Georg Cantor, que introdujo la teoría de conjuntos , se opusieron a la actitud general. Cantor distinguió tres reinos del infinito: (1) el infinito de Dios (al que llamó "absolutum"), (2) el infinito de la realidad (al que llamó "naturaleza") y (3) los números y conjuntos transfinitos de las matemáticas. .
Una multitud que es mayor que cualquier multitud finita, es decir, una multitud con la propiedad de que cada conjunto finito [de miembros del tipo en cuestión] es sólo una parte de ella, la llamaré multitud infinita. (B. Bolzano [2, p. 6])
Distingo, por tanto, una infinidad eterna increada o absolutum, que se debe a Dios y sus atributos, y una infinidad creada o transfinitum, que debe usarse siempre que en la naturaleza creada deba notarse una infinidad actual, por ejemplo, con respecto a , según mi firme convicción, el número realmente infinito de individuos creados, tanto en el universo como en nuestra Tierra y, muy probablemente, incluso en cada porción arbitrariamente pequeña del espacio. (Georg Cantor) [11] (G. Cantor [8, p. 252])
Los números son una creación libre de la mente humana. ( R. Dedekind [3a, p. III])
Una prueba se basa en la noción de Dios. Primero, de la más alta perfección de Dios, inferimos la posibilidad de la creación de lo transfinito, luego, de su toda gracia y esplendor, inferimos la necesidad de que la creación de lo transfinito de hecho haya sucedido. (G. Cantor [3, p. 400])
Cantor distinguió dos tipos de infinito actual, el transfinito y el absoluto, sobre los cuales afirmó:
Estos conceptos deben diferenciarse estrictamente, en la medida en que el primero es ciertamente infinito , pero capaz de aumentar , mientras que el segundo es incapaz de aumentar y, por tanto, es indeterminable como concepto matemático. Este error lo encontramos, por ejemplo, en el panteísmo . (G. Cantor, Über verschiedene Standpunkte in bezug auf das aktuelle Unendliche , en Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , págs. 375, 378) [12]
El infinito real ahora se acepta comúnmente en matemáticas con el nombre de " conjunto infinito ". De hecho, la teoría de conjuntos se ha formalizado como teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). Uno de los axiomas de ZF es el axioma del infinito , que esencialmente dice que los números naturales forman un conjunto.
Todas las matemáticas han sido reescritas en términos de ZF. En particular, las líneas , las curvas y todo tipo de espacios se definen como el conjunto de sus puntos. Los conjuntos infinitos son tan comunes que cuando se consideran conjuntos finitos, esto generalmente se indica explícitamente; por ejemplo geometría finita , campo finito , etc.
El último teorema de Fermat es un teorema expresado en términos de aritmética elemental y que sólo se demostró más de 350 años después. La demostración original de Wiles del último teorema de Fermat utilizó no sólo toda la potencia de ZF con el axioma de elección , sino que utilizó implícitamente un axioma adicional que implica la existencia de conjuntos muy grandes. Posteriormente se descartó el requisito de este axioma adicional, pero los conjuntos infinitos siguen utilizándose de manera fundamental. Esto no fue obstáculo para el reconocimiento de la exactitud de la demostración por parte de la comunidad de matemáticos.
El significado matemático del término "actual" en infinito actual es sinónimo de definido , completo , extendido o existencial , [13] pero no debe confundirse con existir físicamente . La cuestión de si los números naturales o reales forman conjuntos definidos es, por tanto, independiente de la cuestión de si existen infinitas cosas físicamente en la naturaleza .
Los defensores del intuicionismo , desde Kronecker en adelante, rechazan la afirmación de que en realidad existen infinitos objetos o conjuntos matemáticos. En consecuencia, reconstruyen los fundamentos de las matemáticas de una manera que no asume la existencia de infinitos reales. Por otro lado, el análisis constructivo sí acepta la existencia de la infinidad completa de los números enteros.
Para los intuicionistas, el infinito se describe como potencial ; Los términos sinónimos de esta noción son devenidos o constructivos . [13] Por ejemplo, Stephen Kleene describe la noción de una cinta de la máquina de Turing como "una 'cinta' lineal, (potencialmente) infinita en ambas direcciones". [14] Para acceder a la memoria de la cinta, una máquina de Turing mueve una cabeza de lectura a lo largo de ella en un número finito de pasos: por lo tanto, la cinta es sólo "potencialmente" infinita, ya que, si bien siempre existe la posibilidad de dar un paso más, el infinito mismo es en realidad nunca llegó. [15]
Los matemáticos generalmente aceptan infinitos reales. [16] Georg Cantor es el matemático más importante que defendió los infinitos reales. Decidió que es posible que los números naturales y reales sean conjuntos definidos, y que si uno rechaza el axioma de la finitud euclidiana (que establece que las realidades, individualmente y en agregados, son necesariamente finitas), entonces no estamos involucrados en ninguna contradicción. .
La interpretación finitista convencional actual de los números ordinales y cardinales es que consisten en una colección de símbolos especiales y un lenguaje formal asociado , dentro del cual se pueden hacer declaraciones. Todas estas afirmaciones tienen necesariamente una extensión finita. La solidez de las manipulaciones se basa únicamente en los principios básicos de un lenguaje formal: álgebras de términos , reescritura de términos , etc. De manera más abstracta, tanto la teoría de modelos (finitos) como la teoría de la prueba ofrecen las herramientas necesarias para trabajar con infinitos. No es necesario "creer" en el infinito para poder escribir expresiones algebraicamente válidas empleando símbolos para el infinito.
El problema filosófico del infinito real tiene que ver con si la noción es coherente y epistémicamente sólida.
La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel es actualmente la base estándar de las matemáticas. Uno de sus axiomas es el axioma del infinito que establece que existen conjuntos infinitos, y en particular que los números naturales forman un conjunto infinito. Sin embargo, algunos filósofos finitistas de las matemáticas y constructivistas todavía se oponen a la noción. [ ¿OMS? ]
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