La demostración de Wiles del último teorema de Fermat es una demostración del matemático británico Sir Andrew Wiles de un caso especial del teorema de modularidad para curvas elípticas . Junto con el teorema de Ribet , proporciona una demostración del último teorema de Fermat . Casi todos los matemáticos vivos de la época creían que tanto el último teorema de Fermat como el teorema de modularidad eran imposibles de demostrar utilizando el conocimiento previo. [1] : 203–205, 223, 226
Wiles anunció por primera vez su demostración el 23 de junio de 1993 en una conferencia en Cambridge titulada "Formas modulares, curvas elípticas y representaciones de Galois". [2] Sin embargo, en septiembre de 1993 se descubrió que la demostración contenía un error. Un año después, el 19 de septiembre de 1994, en lo que él llamaría "el momento más importante de [su] vida laboral", Wiles se topó con una revelación que le permitió corregir la demostración a satisfacción de la comunidad matemática. La demostración corregida se publicó en 1995. [3]
La prueba de Wiles utiliza muchas técnicas de la geometría algebraica y la teoría de números y tiene muchas ramificaciones en estas ramas de las matemáticas. También utiliza construcciones estándar de la geometría algebraica moderna, como la categoría de esquemas , ideas teóricas de números significativos de la teoría de Iwasawa y otras técnicas del siglo XX que no estaban disponibles para Fermat. El método de la prueba de identificación de un anillo de deformación con un álgebra de Hecke (ahora conocido como teorema R=T ) para demostrar teoremas de elevación de modularidad ha sido un desarrollo influyente en la teoría algebraica de números .
En conjunto, los dos artículos que contienen la prueba tienen 129 páginas [4] [5] y consumieron más de siete años del tiempo de investigación de Wiles. John Coates describió la prueba como uno de los mayores logros de la teoría de números, y John Conway la llamó "la prueba del siglo [XX]". [6] El camino de Wiles para demostrar el Último Teorema de Fermat, mediante la demostración del teorema de modularidad para el caso especial de curvas elípticas semiestables , estableció poderosas técnicas de elevación de la modularidad y abrió enfoques completamente nuevos para muchos otros problemas. Por demostrar el Último Teorema de Fermat, fue nombrado caballero y recibió otros honores como el Premio Abel 2016. Al anunciar que Wiles había ganado el Premio Abel, la Academia Noruega de Ciencias y Letras describió su logro como una "prueba asombrosa". [3]
El último teorema de Fermat , formulado en 1637, establece que no hay tres números enteros positivos a , b y c que puedan satisfacer la ecuación
si n es un entero mayor que dos ( n > 2).
Con el tiempo, esta simple afirmación se convirtió en una de las afirmaciones no demostradas más famosas de las matemáticas. Entre su publicación y la solución final de Andrew Wiles más de 350 años después, muchos matemáticos y aficionados intentaron demostrar esta afirmación, ya sea para todos los valores de n > 2 o para casos específicos. Esto estimuló el desarrollo de áreas completamente nuevas dentro de la teoría de números . Finalmente, se encontraron pruebas para todos los valores de n hasta alrededor de 4 millones, primero a mano y luego por computadora. Sin embargo, no se encontró ninguna prueba general que fuera válida para todos los valores posibles de n , ni siquiera una pista de cómo se podría llevar a cabo tal prueba.
Aparte de todo lo relacionado con el último teorema de Fermat, en los años 1950 y 1960 el matemático japonés Goro Shimura , basándose en las ideas planteadas por Yutaka Taniyama , conjeturó que podría existir una conexión entre las curvas elípticas y las formas modulares . Se trataba de objetos matemáticos sin ninguna conexión conocida entre ellos. Taniyama y Shimura plantearon la cuestión de si, sin que los matemáticos lo supieran, los dos tipos de objetos eran en realidad objetos matemáticos idénticos, solo vistos de formas diferentes.
Ellos conjeturaron que cada curva elíptica racional también es modular . Esto se conoció como la conjetura de Taniyama-Shimura. En Occidente, esta conjetura se hizo conocida a través de un artículo de 1967 de André Weil , quien proporcionó evidencia conceptual de ella; por lo tanto, a veces se la llama conjetura de Taniyama-Shimura-Weil.
Hacia 1980, se había acumulado mucha evidencia para formular conjeturas sobre las curvas elípticas y se habían escrito muchos artículos que examinaban las consecuencias si la conjetura fuera cierta, pero la conjetura en sí no estaba probada y generalmente se consideraba inaccesible, lo que significa que los matemáticos creían que una prueba de la conjetura era probablemente imposible usando el conocimiento actual.
Durante décadas, la conjetura siguió siendo un problema importante pero no resuelto en matemáticas. Unos 50 años después de su primera propuesta, la conjetura finalmente fue demostrada y rebautizada como teorema de modularidad , en gran medida como resultado del trabajo de Andrew Wiles que se describe a continuación.
En otra rama de desarrollo separada, a finales de la década de 1960, Yves Hellegouarch propuso la idea de asociar soluciones hipotéticas ( a , b , c ) de la ecuación de Fermat con un objeto matemático completamente diferente: una curva elíptica. [7] La curva consiste en todos los puntos en el plano cuyas coordenadas ( x , y ) satisfacen la relación
Una curva elíptica de este tipo gozaría de propiedades muy especiales debido a la aparición de altas potencias de números enteros en su ecuación y al hecho de que a n + b n = c n sería también una n -ésima potencia.
En 1982-1985, Gerhard Frey llamó la atención sobre las propiedades inusuales de esta misma curva, ahora llamada curva de Frey . Demostró que era probable que la curva pudiera vincular a Fermat y Taniyama, ya que cualquier contraejemplo al Último Teorema de Fermat probablemente también implicaría que existía una curva elíptica que no era modular . Frey demostró que había buenas razones para creer que cualquier conjunto de números ( a , b , c , n ) capaz de refutar el Último Teorema de Fermat probablemente también podría usarse para refutar la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil. Por lo tanto, si la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil fuera cierta, no podría existir ningún conjunto de números capaz de refutar a Fermat, por lo que el Último Teorema de Fermat también tendría que ser cierto.
La conjetura dice que cada curva elíptica con coeficientes racionales puede construirse de una manera completamente diferente, no dando su ecuación sino usando funciones modulares para parametrizar las coordenadas x e y de los puntos sobre ella. Así, según la conjetura, cualquier curva elíptica sobre Q tendría que ser una curva elíptica modular , pero si existiera una solución a la ecuación de Fermat con a , b , c y n no nulos mayores que 2, la curva correspondiente no sería modular, lo que daría lugar a una contradicción. Si se pudiera demostrar el vínculo identificado por Frey, entonces, a su vez, significaría que una refutación del Último Teorema de Fermat refutaría la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil, o por contraposición, una prueba de esta última probaría también la primera. [8]
Para completar este vínculo, era necesario demostrar que la intuición de Frey era correcta: que una curva de Frey, si existía, no podía ser modular. En 1985, Jean-Pierre Serre proporcionó una prueba parcial de que una curva de Frey no podía ser modular. Serre no proporcionó una prueba completa de su propuesta; la parte faltante (que Serre había notado tempranamente [9] : 1 ) se conoció como la conjetura épsilon (a veces escrita ε-conjetura; ahora conocida como teorema de Ribet ). El principal interés de Serre estaba en una conjetura aún más ambiciosa, la conjetura de Serre sobre las representaciones modulares de Galois , que implicaría la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil. Sin embargo, su prueba parcial estuvo cerca de confirmar el vínculo entre Fermat y Taniyama.
En el verano de 1986, Ken Ribet logró demostrar la conjetura de épsilon, conocida actualmente como teorema de Ribet . Su artículo se publicó en 1990. Al hacerlo, Ribet demostró finalmente el vínculo entre los dos teoremas al confirmar, como Frey había sugerido, que una prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para los tipos de curvas elípticas que Frey había identificado, junto con el teorema de Ribet, también demostraría el último teorema de Fermat.
En términos matemáticos, el teorema de Ribet mostró que si la representación de Galois asociada a una curva elíptica tiene ciertas propiedades (que tiene la curva de Frey), entonces esa curva no puede ser modular, en el sentido de que no puede existir una forma modular que dé lugar a la misma representación de Galois. [10]
Siguiendo los desarrollos relacionados con la curva de Frey y su vínculo con Fermat y Taniyama, una prueba del último teorema de Fermat se seguiría de una prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, o al menos una prueba de la conjetura para los tipos de curvas elípticas que incluían la ecuación de Frey (conocidas como curvas elípticas semiestables ).
Sin embargo, a pesar del progreso realizado por Serre y Ribet, este enfoque de Fermat también fue considerado ampliamente inutilizable, ya que casi todos los matemáticos vieron la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil como completamente inaccesible para probar con el conocimiento actual. [1] : 203–205, 223, 226 Por ejemplo, el ex supervisor de Wiles, John Coates, afirmó que parecía "imposible de probar realmente", [1] : 226 y Ken Ribet se consideró a sí mismo "uno de la gran mayoría de personas que creían que [era] completamente inaccesible". [1] : 223
Al enterarse de la prueba de la conjetura épsilon de Ribet en 1986, el matemático inglés Andrew Wiles, que había estudiado curvas elípticas y tenía una fascinación infantil con Fermat, decidió comenzar a trabajar en secreto para lograr una prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, ya que ahora era profesionalmente justificable, [11] así como por el atractivo objetivo de demostrar un problema de tan larga data.
Ribet comentó más tarde que "Andrew Wiles fue probablemente una de las pocas personas en la Tierra que tuvo la audacia de soñar que realmente se puede ir y demostrarlo". [1] : 223
Wiles presentó inicialmente su demostración en 1993. Finalmente, se aceptó como correcta y se publicó en 1995, tras la corrección de un sutil error en una parte de su artículo original. Su trabajo se amplió hasta una demostración completa del teorema de modularidad durante los seis años siguientes, gracias a otros autores que se basaron en el trabajo de Wiles.
Del 21 al 23 de junio de 1993, Wiles anunció y presentó su prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas semiestables, y por lo tanto del Último Teorema de Fermat, a lo largo de tres conferencias pronunciadas en el Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas en Cambridge, Inglaterra . [2] Hubo una cantidad relativamente grande de cobertura de prensa posteriormente. [12]
Tras el anuncio, Nick Katz fue designado como uno de los árbitros encargados de revisar el manuscrito de Wiles. En el curso de su revisión, le formuló a Wiles una serie de preguntas aclaratorias que le llevaron a reconocer que la prueba contenía una laguna. Había un error en una parte crítica de la prueba que daba un límite para el orden de un grupo particular: el sistema de Euler utilizado para ampliar el método de Kolyvagin y Flach estaba incompleto. El error no habría hecho que su trabajo fuera inútil: cada parte del trabajo de Wiles era muy significativa e innovadora por sí misma, al igual que los muchos desarrollos y técnicas que había creado en el curso de su trabajo, y solo una parte se vio afectada. [1] : 289, 296–297 Sin embargo, sin probar esta parte, no había una prueba real del Último Teorema de Fermat.
Wiles pasó casi un año intentando reparar su prueba, inicialmente por sí mismo y luego en colaboración con su ex alumno Richard Taylor , sin éxito. [13] [14] [15] A finales de 1993, se habían extendido rumores de que bajo escrutinio, la prueba de Wiles había fallado, pero no se sabía cuán gravemente. Los matemáticos estaban empezando a presionar a Wiles para que revelara su trabajo, estuviera completo o no, para que la comunidad en general pudiera explorar y utilizar lo que había logrado. En lugar de ser solucionado, el problema, que originalmente había parecido menor, ahora parecía muy significativo, mucho más serio y menos fácil de resolver. [16]
Wiles afirma que en la mañana del 19 de septiembre de 1994, estaba a punto de darse por vencido y estaba casi resignado a aceptar que había fracasado y a publicar su trabajo para que otros pudieran seguir trabajando sobre él y encontrar el error. Afirma que estaba echando un último vistazo para tratar de entender las razones fundamentales por las que su enfoque no podía funcionar, cuando de repente tuvo la idea de que la razón específica por la que el enfoque de Kolyvagin-Flach no funcionaría directamente también significaba que su intento original de utilizar la teoría de Iwawawa podría funcionar si lo reforzaba utilizando la experiencia adquirida con el enfoque de Kolyvagin-Flach desde entonces. Cada uno era inadecuado por sí mismo, pero corregir un enfoque con herramientas del otro resolvería el problema y produciría una fórmula de número de clase (CNF) válida para todos los casos que no estuvieran ya probados por su artículo arbitrado: [13] [17]
Estaba sentado en mi escritorio examinando el método Kolyvagin-Flach. No es que creyera que podía hacerlo funcionar, pero pensé que al menos podía explicar por qué no funcionaba. De repente tuve una revelación increíble. Me di cuenta de que el método Kolyvagin-Flach no estaba funcionando, pero era todo lo que necesitaba para que funcionara mi teoría original de Iwasawa de tres años antes. Así que de las cenizas del método Kolyvagin-Flach pareció surgir la verdadera respuesta al problema. Era tan indescriptiblemente hermoso; era tan simple y tan elegante. No podía entender cómo lo había pasado por alto y me quedé mirándolo con incredulidad durante veinte minutos. Luego, durante el día, caminaba por el departamento y volvía una y otra vez a mi escritorio para ver si todavía estaba allí. Todavía estaba allí. No podía contenerme, estaba tan emocionado. Fue el momento más importante de mi vida laboral. Nada de lo que vuelva a hacer significará tanto.
—Andrew Wiles, citado por Simon Singh [18]
El 6 de octubre, Wiles pidió a tres colegas (incluido Gerd Faltings ) que revisaran su nueva prueba, [19] y el 24 de octubre de 1994, Wiles presentó dos manuscritos, "Curvas elípticas modulares y el último teorema de Fermat" [4] y "Propiedades teóricas de anillos de ciertas álgebras de Hecke", [5] el segundo de los cuales Wiles había escrito con Taylor y demostraba que se cumplían ciertas condiciones que eran necesarias para justificar el paso corregido en el artículo principal.
Los dos artículos fueron examinados y finalmente publicados como la totalidad de la edición de mayo de 1995 de Annals of Mathematics . La nueva prueba fue ampliamente analizada y fue aceptada como probablemente correcta en sus componentes principales. [6] [10] [11] Estos artículos establecieron el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables, el último paso para demostrar el último teorema de Fermat, 358 años después de que se conjeturara.
Fermat afirmó haber "descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de esto, que este margen es demasiado estrecho para contener". [20] [21] La prueba de Wiles es muy compleja e incorpora el trabajo de tantos otros especialistas que se sugirió en 1994 que solo un pequeño número de personas eran capaces de comprender completamente en ese momento todos los detalles de lo que había hecho. [2] [22] La complejidad de la prueba de Wiles motivó una conferencia de 10 días en la Universidad de Boston ; el libro de actas de conferencias resultante tuvo como objetivo hacer que la gama completa de temas requeridos fuera accesible a los estudiantes de posgrado en teoría de números. [9]
Como se señaló anteriormente, Wiles demostró la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil para el caso especial de curvas elípticas semiestables, en lugar de para todas las curvas elípticas. Durante los años siguientes, Christophe Breuil , Brian Conrad , Fred Diamond y Richard Taylor (a veces abreviado como "BCDT") llevaron el trabajo más allá, y finalmente demostraron la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil para todas las curvas elípticas en un artículo de 2001. [23] Ahora probada, la conjetura pasó a conocerse como el teorema de modularidad .
En 2005, el informático holandés Jan Bergstra planteó el problema de formalizar la prueba de Wiles de tal manera que pudiera ser verificada por computadora . [24]
Wiles demostró el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables, del que se desprende el último teorema de Fermat mediante la demostración por contradicción . En este método de demostración, se supone lo opuesto de lo que se quiere demostrar y se demuestra que, si fuera cierto, se crearía una contradicción. La contradicción demuestra que la suposición (que la conclusión es errónea) debe haber sido incorrecta, lo que requiere que la conclusión se cumpla.
La prueba se divide en dos partes: en la primera, Wiles demuestra un resultado general sobre los " ascensores ", conocido como "teorema de elevación por modularidad". Esta primera parte le permite demostrar resultados sobre curvas elípticas al convertirlos en problemas sobre representaciones de Galois de curvas elípticas. Luego utiliza este resultado para demostrar que todas las curvas semiestables son modulares, al demostrar que las representaciones de Galois de estas curvas son modulares.
Wiles optó por intentar hacer coincidir las curvas elípticas con un conjunto contable de formas modulares. Descubrió que este enfoque directo no funcionaba, por lo que transformó el problema haciendo coincidir las representaciones de Galois de las curvas elípticas con formas modulares. Wiles denomina esta coincidencia (o mapeo) como, más específicamente, un homomorfismo de anillo :
es un anillo de deformación y es un anillo de Hecke .
Wiles tuvo la idea de que en muchos casos este homomorfismo de anillo podría ser un isomorfismo de anillo (Conjetura 2.16 en el Capítulo 2, §3 del artículo de 1995 [4] ). Se dio cuenta de que la función entre y es un isomorfismo si y solo si dos grupos abelianos que aparecen en la teoría son finitos y tienen la misma cardinalidad . Esto a veces se conoce como el "criterio numérico". Dado este resultado, el último teorema de Fermat se reduce a la afirmación de que dos grupos tienen el mismo orden. Gran parte del texto de la prueba conduce a temas y teoremas relacionados con la teoría de anillos y la teoría de conmutación . El objetivo de Wiles era verificar que la función es un isomorfismo y, en última instancia, que . Al tratar las deformaciones, Wiles definió cuatro casos, siendo el caso de deformación plana el que requiere más esfuerzo para demostrarse y se trata en un artículo separado en el mismo volumen titulado "Propiedades teóricas de anillos de ciertas álgebras de Hecke".
Gerd Faltings , en su boletín, da el siguiente diagrama conmutativo (p. 745):
o , en última instancia, que , indica una intersección completa . Como Wiles no podía demostrarlo directamente, lo hizo mediante ascensores .
Para realizar esta comparación, Wiles tuvo que crear una fórmula de número de clase (CNF). Primero intentó usar la teoría de Iwasawa horizontal , pero esa parte de su trabajo tenía un problema sin resolver, de modo que no pudo crear una CNF. A fines del verano de 1991, se enteró de un sistema de Euler desarrollado recientemente por Victor Kolyvagin y Matthias Flach que parecía "hecho a medida" para la parte inductiva de su prueba, que podría usarse para crear una CNF, por lo que Wiles dejó de lado su trabajo de Iwasawa y comenzó a trabajar para extender el trabajo de Kolyvagin y Flach, con el fin de crear la CNF que su prueba requeriría. [25] Para la primavera de 1993, su trabajo había cubierto todas las familias de curvas elípticas, excepto unas pocas, y a principios de 1993, Wiles estaba lo suficientemente seguro de su éxito cercano como para dejarle saber su secreto a un colega de confianza. Como su trabajo dependía en gran medida del uso del método Kolyvagin-Flach, que era nuevo para las matemáticas y para Wiles, y que él también había ampliado, en enero de 1993 le pidió a su colega de Princeton, Nick Katz , que lo ayudara a revisar su trabajo para detectar errores sutiles. Su conclusión en ese momento fue que las técnicas que utilizó Wiles parecían funcionar correctamente. [1] : 261–265 [26]
Más tarde se descubrió que el uso de Kolyvagin–Flach por parte de Wiles fue el punto de falla en la presentación de la prueba original, y finalmente tuvo que volver a la teoría de Iwasawa y a colaborar con Richard Taylor para solucionarlo. En mayo de 1993, mientras leía un artículo de Mazur, Wiles tuvo la idea de que el cambio 3/5 resolvería los problemas finales y luego cubriría todas las curvas elípticas.
Dada una curva elíptica sobre el cuerpo de los números racionales , para cada potencia prima , existe un homomorfismo del grupo absoluto de Galois
a
el grupo de matrices invertibles de 2 por 2 cuyos elementos son enteros módulo . Esto se debe a que , los puntos de sobre , forman un grupo abeliano sobre el que actúa ; el subgrupo de elementos tales que es justamente , y un automorfismo de este grupo es una matriz del tipo descrito.
Menos obvio es que dada una forma modular de un cierto tipo especial, una forma propia de Hecke con valores propios en , también se obtiene un homomorfismo
Esto nos lleva de nuevo a Eichler y Shimura. La idea es que el grupo de Galois actúa primero sobre la curva modular en la que se define la forma modular, luego sobre la variedad jacobiana de la curva y, finalmente, sobre los puntos de orden de potencia de esa jacobiana. La representación resultante no suele ser bidimensional, pero los operadores de Hecke recortan una parte bidimensional. Es fácil demostrar que estas representaciones provienen de alguna curva elíptica, pero la parte difícil de demostrar es la inversa.
En lugar de intentar ir directamente de la curva elíptica a la forma modular, se puede pasar primero a la representación para algún y , y de ahí a la forma modular. En el caso donde y , los resultados del teorema de Langlands-Tunnell muestran que la representación de cualquier curva elíptica sobre proviene de una forma modular. La estrategia básica es usar la inducción sobre para mostrar que esto es cierto para y cualquier , que en última instancia hay una única forma modular que funciona para todos los n . Para hacer esto, se usa un argumento de conteo, comparando el número de formas en que se puede elevar una representación de Galois a uno y el número de formas en que se puede elevar una forma modular. Un punto esencial es imponer un conjunto suficiente de condiciones a la representación de Galois; de lo contrario, habrá demasiados levantamientos y la mayoría no serán modulares. Estas condiciones deben cumplirse para las representaciones que provienen de formas modulares y las que provienen de curvas elípticas.
Si la representación original tiene una imagen demasiado pequeña, uno se encuentra con problemas con el argumento de elevación, y en este caso, hay un truco final que desde entonces se ha estudiado con mayor generalidad en el trabajo posterior sobre la conjetura de modularidad de Serre . La idea involucra la interacción entre las representaciones y . En particular, si la representación de Galois mod-5 asociada a una curva elíptica semiestable E sobre Q es irreducible, entonces hay otra curva elíptica semiestable E' sobre Q tal que su representación de Galois mod-5 asociada es isomorfa a y tal que su representación de Galois mod-3 asociada es irreducible (y por lo tanto modular por Langlands-Tunnell). [27]
En su artículo de 108 páginas publicado en 1995, Wiles divide el tema en los siguientes capítulos (precedidos aquí por números de página):
Posteriormente, Gerd Faltings proporcionó algunas simplificaciones a la prueba de 1995, principalmente al cambiar de construcciones geométricas a otras algebraicas bastante más simples. [19] [28] El libro de la conferencia de Cornell también contenía simplificaciones de la prueba original. [9]
El artículo de Wiles tiene más de 100 páginas y a menudo utiliza símbolos y notaciones especializados de la teoría de grupos , la geometría algebraica , el álgebra conmutativa y la teoría de Galois . Los matemáticos que ayudaron a sentar las bases de Wiles a menudo crearon nuevos conceptos especializados y jerga técnica .
Entre las presentaciones introductorias se encuentran un correo electrónico que Ribet envió en 1993; [29] [30] la revisión rápida de Hesselink de los problemas de alto nivel, que solo brinda el álgebra elemental y evita el álgebra abstracta; [24] o la página web de Daney, que proporciona un conjunto de sus propias notas y enumera los libros actuales disponibles sobre el tema. Weston intenta proporcionar un mapa útil de algunas de las relaciones entre los temas. [31] El artículo de 1994 de FQ Gouvêa "A Marvelous Proof", que revisa algunos de los temas requeridos, ganó un premio Lester R. Ford de la Asociación Matemática de América . [32] [33] El boletín técnico de 5 páginas de Faltings sobre el tema es una revisión rápida y técnica de la prueba para el no especialista. [34] Para quienes buscan un libro disponible comercialmente que los oriente, recomendó que quienes estén familiarizados con el álgebra abstracta lean Hellegouarch y luego lean el libro de Cornell, [9] que se afirma que es accesible para "un estudiante graduado en teoría de números". El libro de Cornell no cubre la totalidad de la prueba de Wiles. [12]
