Teorema de conmutación para trazas

Identifica el conmutador de un álgebra de von Neumann específica

En matemáticas , un teorema de conmutación para trazas identifica explícitamente el conmutador de un álgebra de von Neumann específica que actúa sobre un espacio de Hilbert en presencia de una traza .

El primer resultado de este tipo fue demostrado por Francis Joseph Murray y John von Neumann en la década de 1930 y se aplica al álgebra de von Neumann generada por un grupo discreto o por el sistema dinámico asociado con una transformación medible que preserva una medida de probabilidad .

Otra aplicación importante es la teoría de representaciones unitarias de grupos localmente compactos unimodulares , donde la teoría se ha aplicado a la representación regular y otras representaciones estrechamente relacionadas. En particular, este marco condujo a una versión abstracta del teorema de Plancherel para grupos localmente compactos unimodulares debido a Irving Segal y Forrest Stinespring y un teorema de Plancherel abstracto para funciones esféricas asociadas con un par Gelfand debido a Roger Godement . Su trabajo fue puesto en forma final en la década de 1950 por Jacques Dixmier como parte de la teoría de las álgebras de Hilbert .

No fue hasta finales de la década de 1960, impulsado en parte por los resultados en la teoría cuántica de campos algebraicos y la mecánica estadística cuántica debido a la escuela de Rudolf Haag , que se desarrolló la teoría no lineal más general de Tomita-Takesaki , anunciando una nueva era en la teoría de las álgebras de von Neumann.

Teorema de conmutación para trazas finitas

Sea H un espacio de Hilbert y M un álgebra de von Neumann en H con un vector unitario Ω tal que

• M Ω es denso en H
• M ' Ω es denso en H , donde M ' denota el conmutador de M
• ( ab Ω, Ω) = ( ba Ω, Ω) para todo a , b en M .

El vector Ω se denomina vector traza de separación cíclica . Se denomina vector traza porque la última condición significa que el coeficiente de matriz correspondiente a Ω define un estado trazal en M. Se denomina cíclico porque Ω genera H como un módulo M topológico . Se denomina de separación porque si a Ω = 0 para a en M , entonces aM' Ω= (0), y por lo tanto a = 0.

De ello se deduce que el mapa

${\displaystyle Ja\Omega =a^{*}\Omega }$

para a en M se define una isometría conjugada-lineal de H con el cuadrado de la identidad, J ² = I . El operador J se suele llamar operador de conjugación modular .

Se verifica inmediatamente que JMJ y M conmutan en el subespacio M Ω, de modo que ^[1]

${\displaystyle JMJ\subseteq M^{\prime }.}$

El teorema de conmutación de Murray y von Neumann establece que

Una de las formas más fáciles de ver esto ^[2] es introducir K , el cierre del subespacio real M _sa Ω, donde M _sa denota los elementos autoadjuntos en M . De ello se deduce que

${\displaystyle H=K\oplus iK,}$

una suma directa ortogonal para la parte real del producto interno. Esta es simplemente la descomposición ortogonal real para los espacios propios ±1 de J . Por otra parte, para a en M _sa y b en M' _sa , el producto interno ( ab Ω, Ω) es real, porque ab es autoadjunto. Por lo tanto, K no se altera si M se reemplaza por M '.

En particular, Ω es un vector traza para M' y J no se altera si M se reemplaza por M '. Por lo tanto, la inclusión opuesta

${\displaystyle JM^{\prime }J\subseteq M}$

sigue invirtiendo los roles de M y M' .

Ejemplos

• Uno de los casos más simples del teorema de conmutación, donde se puede ver fácilmente de manera directa, es el de un grupo finito Γ que actúa sobre el espacio de producto interno de dimensión finita por las representaciones regulares izquierda y derecha λ y ρ. Estas representaciones unitarias están dadas por las fórmulas para f en y el teorema de conmutación implica que El operador J está dado por la fórmula Exactamente los mismos resultados siguen siendo verdaderos si se permite que Γ sea cualquier grupo discreto contable . ^[3] El álgebra de von Neumann λ(Γ)' ' se suele llamar álgebra de von Neumann de grupo de Γ. ${\displaystyle \ell ^{2}(\Gamma )}$ $${\displaystyle (\lambda (g)f)(x)=f(g^{-1}x),\,\,(\rho (g)f)(x)=f(xg)}$$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\Gamma )}$ $${\displaystyle \lambda (\Gamma )^{\prime \prime }=\rho (\Gamma )^{\prime },\,\,\rho (\Gamma )^{\prime \prime }=\lambda (\Gamma )^{\prime }.}$$ $${\displaystyle Jf(g)={\overline {f(g^{-1})}}.}$$
• Otro ejemplo importante lo proporciona un espacio de probabilidad ( X , μ ). El álgebra abeliana de von Neumann A = L ^∞ ( X , μ ) actúa mediante operadores de multiplicación sobre H = L ² ( X , μ ) y la función constante 1 es un vector traza separador cíclico. De ello se deduce que para que A sea una subálgebra abeliana maximal de B ( H ), el álgebra de von Neumann de todos los operadores acotados sobre H . $${\displaystyle A'=A,}$$
• La tercera clase de ejemplos combina los dos anteriores. Proviene de la teoría ergódica y fue una de las motivaciones originales de von Neumann para estudiar las álgebras de von Neumann. Sea ( X , μ) un espacio de probabilidad y sea Γ un grupo discreto contable de transformaciones que preservan la medida de ( X , μ). Por lo tanto, el grupo actúa unitariamente en el espacio de Hilbert H = L ² ( X , μ) de acuerdo con la fórmula para f en H y normaliza el álgebra abeliana de von Neumann A = L ^∞ ( X , μ). Sea un producto tensorial de espacios de Hilbert. ^[4] La construcción del espacio de medida-grupo o álgebra de von Neumann de producto cruzado se define como el álgebra de von Neumann en H ₁ generada por el álgebra y los operadores normalizadores . ^[5] $${\displaystyle U_{g}f(x)=f(g^{-1}x),}$$ $${\displaystyle H_{1}=H\otimes \ell ^{2}(\Gamma ),}$$ $${\displaystyle M=A\rtimes \Gamma }$$ ${\displaystyle A\otimes I}$ ${\displaystyle U_{g}\otimes \lambda (g)}$
  El vector es un vector traza de separación cíclica. Además, el operador de conjugación modular J y el conmutador M ' pueden identificarse explícitamente. ${\displaystyle \Omega =1\otimes \delta _{1}}$

Uno de los casos más importantes de la construcción del espacio de medida-grupo es cuando Γ es el grupo de números enteros Z , es decir, el caso de una única transformación medible invertible T . Aquí T debe preservar la medida de probabilidad μ. Se requieren trazas semifinitas para manejar el caso en el que T (o más generalmente Γ) solo preserva una medida equivalente infinita ; y se requiere toda la fuerza de la teoría de Tomita-Takesaki cuando no hay una medida invariante en la clase de equivalencia, aunque la clase de equivalencia de la medida se preserva mediante T (o Γ). ^{[6] [7]}

Teorema de conmutación para trazas semifinitas

Sea M un álgebra de von Neumann y M ₊ el conjunto de operadores positivos en M . Por definición, ^[3] una traza semifinita (o a veces simplemente una traza ) en M es un funcional τ de M ₊ en [0, ∞] tal que

1. ${\displaystyle \tau (\lambda a+\mu b)=\lambda \tau (a)+\mu \tau (b)}$para a , b en M ₊ y λ, μ ≥ 0 (semilinealidad );
2. ${\displaystyle \tau \left(uau^{*}\right)=\tau (a)}$para a en M ₊ y u un operador unitario en M ( invariancia unitaria );
3. τ es completamente aditivo en familias ortogonales de proyecciones en M ( normalidad );
4. Cada proyección en M es una suma directa ortogonal de proyecciones con traza finita ( semifinitud ).

Si además τ es distinto de cero en cada proyección distinta de cero, entonces τ se denomina traza fiel .

Si τ es una traza fiel en M , sea H = L ² ( M , τ) la completitud del espacio de Hilbert del espacio del producto interno

${\displaystyle M_{0}=\left\{a\in M\mid \tau \left(a^{*}a\right)<\infty \right\}}$

con respecto al producto interno

${\displaystyle (a,b)=\tau \left(b^{*}a\right).}$

El álgebra de von Neumann M actúa por multiplicación izquierda sobre H y puede identificarse con su imagen. Sea

${\displaystyle Ja=a^{*}}$

para a en M ₀ . El operador J se denomina nuevamente operador de conjugación modular y se extiende a una isometría lineal conjugada de H que satisface J ² = I. El teorema de conmutación de Murray y von Neumann

es válido nuevamente en este caso. Este resultado puede demostrarse directamente por diversos métodos ^{[3] [8]} pero se deduce inmediatamente del resultado para trazas finitas, mediante el uso repetido del siguiente hecho elemental:

Si M ₁ ⊇ M ₂ son dos álgebras de von Neumann tales que p _n M ₁ = p _n M ₂ para una familia de proyecciones p _n en el conmutante de M ₁ creciente a I en la topología del operador fuerte , entonces M ₁ = M ₂ .

Álgebras de Hilbert

La teoría de las álgebras de Hilbert fue introducida por Godement (bajo el nombre de "álgebras unitarias"), Segal y Dixmier para formalizar el método clásico de definición de la traza para operadores de la clase traza a partir de los operadores de Hilbert-Schmidt . ^[9] Las aplicaciones en la teoría de la representación de grupos conducen naturalmente a ejemplos de álgebras de Hilbert. Cada álgebra de von Neumann dotada de una traza semifinita tiene un álgebra de Hilbert "completa" ^[10] o "plena" canónica asociada a ella; y a la inversa, un álgebra de Hilbert completa de exactamente esta forma puede asociarse canónicamente con cada álgebra de Hilbert. La teoría de las álgebras de Hilbert puede utilizarse para deducir los teoremas de conmutación de Murray y von Neumann; igualmente bien, los principales resultados sobre las álgebras de Hilbert también pueden deducirse directamente de los teoremas de conmutación para trazas. La teoría de las álgebras de Hilbert fue generalizada por Takesaki ^[7] como una herramienta para demostrar teoremas de conmutación para pesos semifinitos en la teoría de Tomita-Takesaki ; se puede prescindir de ellos cuando se trata con estados. ^{[2] [11] [12]}

Definición

Un álgebra de Hilbert ^{[3] [13] [14]} es un álgebra con involución x → x * y un producto interno (,) tal que ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

1. ( a , b ) = ( b *, a *) para a , b en ; ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$
2. la multiplicación por la izquierda por un a fijo es un operador acotado; ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$
3. * es el adjunto, en otras palabras ( xy , z ) = ( y , x * z );
4. El espacio lineal de todos los productos xy es denso en . ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

Ejemplos

• Los operadores de Hilbert-Schmidt en un espacio de Hilbert de dimensión infinita forman un álgebra de Hilbert con producto interno ( a , b ) = Tr ( b * a ).
• Si ( X , μ) es un espacio de medida infinito, el álgebra L ^∞ ( X ) L ² ( X ) es un álgebra de Hilbert con el producto interno habitual de L ² ( X ). ${\displaystyle \cap }$
• Si M es un álgebra de von Neumann con traza semifinita fiel τ, entonces la *-subálgebra M ₀ definida anteriormente es un álgebra de Hilbert con producto interno ( a , b ) = τ( b * a ).
• Si G es un grupo localmente compacto unimodular , el álgebra de convolución L ¹ ( G ) L ² ( G ) es un álgebra de Hilbert con el producto interno habitual de L ² ( G ). ${\displaystyle \cap }$
• Si ( G , K ) es un par de Gelfand , el álgebra de convolución L ¹ ( K \ G / K ) L ² ( K \ G / K ) es un álgebra de Hilbert con el producto interno habitual de L ² ( G ); aquí L ^p ( K \ G / K ) denota el subespacio cerrado de funciones K -biinvariantes en L ^p ( G ). ${\displaystyle \cap }$
• Cualquier *-subálgebra densa de un álgebra de Hilbert es también un álgebra de Hilbert.

Propiedades

Sea H la completitud del espacio de Hilbert de con respecto al producto interno y sea J la extensión de la involución a una involución lineal conjugada de H . Definamos una representación λ y una anti-representación ρ de sobre sí misma mediante la multiplicación por izquierda y derecha: ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

${\displaystyle \lambda (a)x=ax,\,\,\rho (a)x=xa.}$

Estas acciones se extienden continuamente a acciones sobre H . En este caso, el teorema de conmutación para las álgebras de Hilbert establece que

Además, si

${\displaystyle M=\lambda ({\mathfrak {A}})^{\prime \prime },}$

el álgebra de von Neumann generada por los operadores λ( a ), entonces

Estos resultados fueron demostrados independientemente por Godement (1954) y Segal (1953).

La prueba se basa en la noción de "elementos acotados" en la completitud del espacio de Hilbert H .

Se dice que un elemento de x en H está acotado (en relación con ) si la función a → xa de en H se extiende a un operador acotado en H , denotado por λ( x ). En este caso es sencillo demostrar que: ^[15] ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

• Jx también es un elemento acotado, denotado x *, y λ( x *) = λ( x )*;
• a → ax se da por el operador acotado ρ( x ) = J λ( x *) J en H ;
• M ' es generado por los ρ( x ) con x acotado;
• λ( x ) y ρ( y ) conmutan para x , y acotados.

El teorema de conmutación se desprende inmediatamente de la última afirmación. En particular $${\displaystyle M=\lambda ({\mathfrak {B}})''.}$$

El espacio de todos los elementos acotados forma un álgebra de Hilbert que contiene como una *-subálgebra densa. Se dice que está completa o plena porque cualquier elemento en H acotado en relación con debe estar ya en realidad en . La función τ en M ₊ definida por si x = λ ( a )* λ ( a ) y ∞ en caso contrario, produce una traza semifinita fiel en M con ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ $${\displaystyle \tau (x)=(a,a)}$$ $${\displaystyle M_{0}={\mathfrak {B}}.}$$

De este modo:

Véase también

• Álgebra de von Neumann
• Operador afiliado
• Teoría de Tomita-Takesaki

Notas

1. Bratteli y Robinson 1987, págs. 81–82
2. Rieffel & van Daele 1977
3. Dixmier 1957
4. H ₁ puede identificarse con el espacio de funciones integrables al cuadrado en X x Γ con respecto a la medida del producto .
5. No debe confundirse con el álgebra de von Neumann sobre H generada por A y los operadores U _g .
6. Connes 1979
7. Takesaki 2002
8. Takesaki 1979, págs. 324–325
9. Simón 1979
10. Dixmier usa los adjetivos achevée o maximale .
11. Pedersen 1979
12. Bratteli y Robinson 1987
13. Dixmier 1977, Apéndice A54–A61.
14. Dieudonné 1976
15. Godement 1954, págs. 52-53

Referencias

• Bratteli, O.; Robinson, DW (1987), Álgebras de operadores y mecánica estadística cuántica 1, segunda edición , Springer-Verlag, ISBN 3-540-17093-6
• Connes, A. (1979), Sur la théorie non conmutative de l'intégration , Lecture Notes in Mathematics, vol. (Algèbres d'Opérateurs), Springer-Verlag, págs. 19-143, ISBN 978-3-540-09512-5
• Dieudonné, J. (1976), Tratado de análisis, vol. II , Prensa Académica, ISBN 0-12-215502-5
• Dixmier, J. (1957), Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann , Gauthier-Villars
• Dixmier, J. (1981), Álgebras de Von Neumann , Holanda Septentrional, ISBN 0-444-86308-7(Traducción al español)
• Dixmier, J. (1969), Les C*-algèbres et leurs représentations , Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1
• Dixmier, J. (1977), Álgebras C* , Holanda Septentrional, ISBN 0-7204-0762-1(Traducción al español)
• Godement, R. (1951), "Mémoire sur la théorie des caractères dans les groupes localement compacts unimodulaires", J. Math. Pures Appl. , 30 : 1-110
• Godement, R. (1954), "Théorie des caractères. I. Algèbres unitaires", Ann. de Matemáticas. , 59 (1), Anales de Matemáticas: 47–62, doi :10.2307/1969832, JSTOR  1969832
• Murray, FJ ; von Neumann, J. (1936), "Sobre anillos de operadores", Ann. of Math. , 2, 37 (1), Annals of Mathematics: 116–229, doi :10.2307/1968693, JSTOR  1968693
• Murray, FJ ; von Neumann, J. (1937), "Sobre anillos de operadores II", Trans. Amer. Math. Soc. , 41 (2), American Mathematical Society: 208–248, doi : 10.2307/1989620 , JSTOR  1989620
• Murray, FJ ; von Neumann, J. (1943), "Sobre anillos de operadores IV", Ann. of Math. , 2, 44 (4), Annals of Mathematics: 716–808, doi :10.2307/1969107, JSTOR  1969107
• Pedersen, GK (1979), Álgebras C* y sus grupos de automorfismos , Monografías de la London Mathematical Society, vol. 14, Academic Press, ISBN 0-12-549450-5
• Rieffel, MA; van Daele, A. (1977), "Un enfoque de operador acotado para la teoría de Tomita-Takesaki", Pacific J. Math. , 69 : 187–221, doi : 10.2140/pjm.1977.69.187
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• Takesaki, M. (1979), Teoría de álgebras de operadores I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-42914-X
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