Teoría de Tomita-Takesaki

Método matemático en el análisis funcional

En la teoría de las álgebras de von Neumann , una parte del campo matemático del análisis funcional , la teoría de Tomita-Takesaki es un método para construir automorfismos modulares de las álgebras de von Neumann a partir de la descomposición polar de una determinada involución. Es esencial para la teoría de los factores de tipo III y ha conducido a una buena teoría de la estructura para estos objetos que antes eran intratables.

La teoría fue introducida por Minoru Tomita  (1967), pero su trabajo fue difícil de seguir y en su mayor parte no fue publicado, y se le prestó poca atención hasta que Masamichi Takesaki  (1970) escribió un relato de la teoría de Tomita. ^[1]

Automorfismos modulares de un estado

Supongamos que M es un álgebra de von Neumann que actúa sobre un espacio de Hilbert H , y Ω es un vector cíclico y separador de H de norma 1. ( Cíclico significa que MΩ es denso en H , y separador significa que la función de M a MΩ es inyectiva). Escribimos para el estado vectorial de M , de modo que H se construye a partir de usando la construcción de Gelfand–Naimark–Segal . Dado que Ω es separador, es fiel. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (x)=(x\Omega ,\Omega )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Podemos definir un operador antilineal (no necesariamente acotado) S ₀ en H con dominio denso MΩ estableciendo para todo m en M , y de manera similar podemos definir un operador antilineal (no necesariamente acotado) F ₀ en H con dominio denso M'Ω estableciendo para m en M ′, donde M ′ es el conmutador de M . ${\displaystyle S_{0}(m\Omega )=m^{*}\Omega }$ ${\displaystyle F_{0}(m\Omega )=m^{*}\Omega }$

Estos operadores son cerrables y denotamos sus cierres por S y F = S *. Tienen descomposiciones polares .

${\displaystyle {\begin{aligned}S=J|S|&=J\Delta ^{\frac {1}{2}}=\Delta ^{-{\frac {1}{2}}}J\\F=J|F|&=J\Delta ^{-{\frac {1}{2}}}=\Delta ^{\frac {1}{2}}J\end{aligned}}}$

donde es una isometría antilineal de H llamada conjugación modular y es un operador positivo (por lo tanto, autoadjunto) y densamente definido llamado operador modular . ${\displaystyle J=J^{-1}=J^{*}}$ ${\displaystyle \Delta =S^{*}S=FS}$

Teorema de conmutación

El resultado principal de la teoría de Tomita-Takesaki establece que:

${\displaystyle \Delta ^{it}M\Delta ^{-it}=M}$

para todo t y que

${\displaystyle JMJ=M',}$

el conmutador de M .

Hay un grupo de 1 parámetro de automorfismos modulares de M asociado con el estado , definido por . ${\displaystyle \sigma ^{\phi _{t}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \sigma ^{\phi _{t}}(x)=\Delta ^{it}x\Delta ^{-it}}$

El operador de conjugación modular J y el grupo unitario de 1 parámetro satisfacen ${\displaystyle \Delta ^{it}}$

${\displaystyle J\Delta ^{it}J=\Delta ^{it}}$

y

${\displaystyle J\Delta J=\Delta ^{-1}.}$

La bicicleta de Connes

El grupo de automorfismos modulares de un álgebra de von Neumann M depende de la elección del estado φ. Connes descubrió que cambiar el estado no cambia la imagen del automorfismo modular en el grupo de automorfismos externos de M . Más precisamente, dados dos estados fieles φ y ψ de M , podemos encontrar elementos unitarios u _t de M para todo t real tal que

${\displaystyle \sigma ^{\psi _{t}}(x)=u_{t}\sigma ^{\phi _{t}}(x)u_{t}^{-1}}$

de modo que los automorfismos modulares difieren en automorfismos internos, y además u _t satisface la condición de 1-cociclo

${\displaystyle u_{s+t}=u_{s}\sigma ^{\phi _{s}}(u_{t})}$

En particular, existe un homomorfismo canónico del grupo aditivo de los reales al grupo de automorfismo externo de M , que es independiente de la elección del estado fiel.

Estados de KMS

El término estado KMS proviene de la condición de Kubo-Martin-Schwinger en mecánica estadística cuántica .

Un estado KMS en un álgebra de von Neumann M con un grupo de automorfismos de 1 parámetro dado α _t es un estado fijado por los automorfismos tales que para cada par de elementos A , B de M hay una función continua acotada F en la franja 0 ≤ Im( t ) ≤ 1 , holomorfa en el interior, tal que ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(t)&=\phi (A\alpha _{t}(B)),\\F(t+i)&=\phi (\alpha _{t}(B)A)\end{aligned}}}$

Takesaki y Winnink demostraron que cualquier estado (normal semifinito fiel) es un estado KMS para el grupo de 1 parámetro de automorfismos modulares . Además, esto caracteriza los automorfismos modulares de . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \sigma ^{\phi _{-t}}}$ ${\displaystyle \phi }$

(A menudo hay un parámetro adicional, denotado por β, utilizado en la teoría de estados KMS. En la descripción anterior, esto se ha normalizado a 1 mediante el reescalado de la familia de automorfismos de 1 parámetro).

Estructura de los factores tipo III

Hemos visto anteriormente que existe un homomorfismo canónico δ desde el grupo de números reales hasta el grupo de automorfismos externos de un álgebra de von Neumann, dado por automorfismos modulares. El núcleo de δ es un invariante importante del álgebra. Para simplificar, supongamos que el álgebra de von Neumann es un factor. Entonces, las posibilidades para el núcleo de δ son:

• Toda la recta real. En este caso δ es trivial y el factor es de tipo I o II.
• Subgrupo denso propio de la recta real. Entonces el factor se llama factor de tipo III ₀ .
• Un subgrupo discreto generado por algún x  > 0. Entonces el factor se llama factor de tipo III _λ con 0 < λ = exp(−2 π / x ) < 1, o a veces un factor de potencias.
• El grupo trivial 0. Entonces el factor se llama factor de tipo III ₁ . (Este es en cierto sentido el caso genérico).

Álgebras de Hilbert por la izquierda

Los principales resultados de la teoría de Tomita-Takesaki se demostraron utilizando álgebras de Hilbert izquierdas y derechas. ^[2]

Un álgebra de Hilbert izquierda es un álgebra con involución x → x ^♯ y un producto interno (·,·) tal que ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

1. La multiplicación por la izquierda por un a ∈ fijo es un operador acotado. ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$
2. ♯ es el adjunto; en otras palabras ( xy , z ) = ( y , x ^♯ z ) .
3. La involución ^♯ está precerrada.
4. La subálgebra abarcada por todos los productos xy es densa con respecto al producto interno. ${\displaystyle {\mathfrak {|}}}$

Un álgebra de Hilbert derecha se define de manera similar (con una involución ♭) con izquierda y derecha invertidas en las condiciones anteriores.

Un álgebra de Hilbert (unimodular) es un álgebra de Hilbert por la izquierda para la cual ♯ es una isometría, en otras palabras ( x , y ) = ( y ^♯ , x ^♯ ) . En este caso la involución se denota por x * en lugar de x ^♯ y coincide con la conjugación modular J . Este es el caso especial de las álgebras de Hilbert . El operador modular es trivial y el álgebra de von Neumann correspondiente es una suma directa de las álgebras de von Neumann de tipo I y tipo II.

Ejemplos:

• Si M es un álgebra de von Neumann que actúa sobre un espacio de Hilbert H con un vector unitario separador cíclico v , entonces se pone = Mv y se define ( xv )( yv ) = xyv y ( xv ) ^♯ = x * v . El vector v es la identidad de , por lo que es un álgebra de Hilbert izquierda unitaria. ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$
• Si G es un grupo localmente compacto, entonces el espacio vectorial de todas las funciones complejas continuas en G con soporte compacto es un álgebra de Hilbert derecha si la multiplicación se da por convolución y x ^♭ ( g ) = x ( g ⁻¹ )* . ^[3]

Para un álgebra de Hilbert fija por la izquierda , sea H su completitud en el espacio de Hilbert. La multiplicación por la izquierda por x produce un operador acotado λ( x ) en H y, por lo tanto, un *-homomorfismo λ de en B ( H ). El *-álgebra genera el álgebra de von Neumann ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle \lambda ({\mathfrak {A}})}$

${\displaystyle {\cal {R}}_{\lambda }({\mathfrak {A}})=\lambda ({\mathfrak {A}})^{\prime \prime }.}$

El descubrimiento clave de Tomita se relaciona con las notables propiedades del cierre del operador ^♯ y su descomposición polar. Si S denota este cierre (un operador no acotado lineal conjugado), sea Δ = S * S , un operador no acotado positivo. Sea S = J Δ ^1/2 su descomposición polar . Entonces J es una isometría lineal conjugada que satisface ^[4]

${\displaystyle S=S^{-1},\,\,\,}$ ${\displaystyle J^{2}=I,\,\,\,}$ ${\displaystyle J\Delta J=\Delta ^{-1}\,\,\,}$y . ${\displaystyle \,S=\Delta ^{-1/2}J}$

Δ se llama operador modular y J la conjugación modular .

En Takesaki (2003, pp. 5-17), hay una prueba autónoma del teorema de conmutación principal de Tomita-Takesaki:

${\displaystyle \Delta ^{it}{\cal {R}}_{\lambda }({\mathfrak {A}})\Delta ^{-it}={\cal {R}}_{\lambda }({\mathfrak {A}})\,\,}$y ${\displaystyle \,\,J{\cal {R}}_{\lambda }({\mathfrak {A}})J={\cal {R}}_{\lambda }({\mathfrak {A}})^{\prime }.}$

La prueba depende de la evaluación de la integral del operador: ^[5]

${\displaystyle e^{s/2}\Delta ^{1/2}\,(\Delta +e^{s})^{-1}=\int _{-\infty }^{\infty }{e^{-ist} \over e^{\pi t}+e^{-\pi t}}\,\Delta ^{it}\,{\rm {d}}t.}$

Por el teorema espectral ^[6] , esto equivale a demostrar la igualdad con e ^x reemplazando Δ; la identidad para escalares se deduce por integración de contorno. Refleja el hecho bien conocido de que, con una normalización adecuada, la función es su propia transformada de Fourier. ${\displaystyle {\rm {sech}}}$

Notas

1. Takesaki 2003, págs. 38-39
2. Takesaki 2003, págs. 1–39
3. Takesaki 2003, pág. 2
4. Takesaki 2003, pág. 4
5. Takesaki 2003, págs. 15-16
6. Rudin 1991.

Referencias

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  • Versión más larga con pruebas
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• Connes, Alain (1973), "Une Classification des facteurs de type III" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 4e série, 6 (2): 133–252, doi :10.24033/asens.1247
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