En matemáticas, la noción de vector cíclico y separador es importante en la teoría de las álgebras de von Neumann [1] [2] y, en particular, en la teoría de Tomita-Takesaki . Una noción relacionada es la de un vector que es cíclico para un operador dado. La existencia de vectores cíclicos está garantizada por la construcción Gelfand–Naimark–Segal (GNS) .
Dado un espacio de Hilbert H y un espacio lineal A de operadores lineales acotados en H , se dice que un elemento Ω de H es cíclico para A si el espacio lineal A Ω = { a Ω: a ∈ A } es denso en normas en H . Se dice que el elemento Ω es separativo si a Ω = 0 con a en A implica a = 0.
El siguiente resultado más fuerte se cumple si A es una *-álgebra (un álgebra que está cerrada bajo la toma de adjuntos ) y contiene el operador identidad 1. Para una prueba, véase la Proposición 5 de la Parte I, Capítulo 1 de. [2]
Proposición Si A es una *-álgebra de operadores lineales acotados en H y 1 pertenece a A, entonces Ω es cíclico para A si y sólo si es separativo para el conmutante A′ .
Un caso especial ocurre cuando A es un álgebra de von Neumann . Entonces un vector Ω que es cíclico y separador para A también es cíclico y separador para el conmutante A′
Se dice que una función lineal positiva ω en una *-álgebra A es fiel si ω ( a ) = 0, donde a es un elemento positivo de A, implica a = 0.
Cada elemento Ω de H define un funcional lineal positivo ω Ω en un *-álgebra A de operadores lineales acotados en H por la relación ω Ω ( a ) = ( a Ω,Ω) para todo a en A . Si ω Ω se define de esta manera y A es un C*-álgebra entonces ω Ω es fiel si y solo si el vector Ω es separador para A . Nótese que un álgebra de von Neumann es un caso especial de un C*-álgebra .
Proposición Sean φ y ψ elementos de H que son cíclicos para A . Supóngase que ω φ = ω ψ . Entonces existe una isometría U en el conmutante A′ tal que φ = Uψ .