Equivalencia (teoría de la medida)

En matemáticas , y específicamente en teoría de la medida , la equivalencia es la noción de que dos medidas son cualitativamente similares. Específicamente, las dos medidas coinciden en qué eventos tienen medida cero.

Definición

Sean y dos medidas en el espacio medible y sean ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}),}$

$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \mu (A)=0\}}$$

$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\nu }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \nu (A)=0\}}$$

conjuntos nulosabsolutamente continua ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\nu }\supseteq {\mathcal {N}}_{\mu }.}$ ${\displaystyle \nu \ll \mu .}$

Las dos medidas se llaman equivalentes si y sólo si y ^[1] que se denota como Es decir, dos medidas son equivalentes si satisfacen ${\displaystyle \mu \ll \nu }$ ${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$ ${\displaystyle \mu \sim \nu .}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu }={\mathcal {N}}_{\nu }.}$

Ejemplos

en la linea real

Defina las dos medidas en la recta real como

$${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x}$$

$${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}x^{2}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x}$$

los conjuntos de Borella medida de Lebesgue ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

Espacio de medida abstracto

Mire un espacio medible y sea la medida de conteo , entonces ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \mu (A)=|A|,}$$

cardinalidadconjunto vacío ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu }=\{\varnothing \}.}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$

Medidas de apoyo

Una medida se llama ${\displaystyle \mu }$medida de soporte de una medidasies-finitayes equivalente a^[2] ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu .}$

Referencias

1. Klenke, Achim (2008). Teoría de probabilidad . Berlín: Springer. pag. 156.doi :10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
2. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. pag. 21.doi :10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.