Axioma de elección contable

Cada conjunto en la secuencia contable de conjuntos (S _i ) = S ₁ , S ₂ , S ₃ , ... contiene un número de elementos distinto de cero y posiblemente infinito (o incluso incontablemente infinito ). El axioma de elección contable nos permite seleccionar arbitrariamente un solo elemento de cada conjunto, formando una secuencia correspondiente de elementos ( _xi ) = x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...

El axioma de elección contable o axioma de elección numerable , denotado AC _ω , es un axioma de la teoría de conjuntos que establece que toda colección contable de conjuntos no vacíos debe tener una función de elección . Es decir, dada una función con dominio (donde denota el conjunto de números naturales ) tal que sea un conjunto no vacío para cada , existe una función con dominio tal que para cada . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A(n)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(n)\in A(n)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Aplicaciones

AC _ω es particularmente útil para el desarrollo del análisis matemático , donde muchos resultados dependen de tener una función de elección para una colección contable de conjuntos de números reales . Por ejemplo, para demostrar que cada punto de acumulación de un conjunto es el límite de alguna secuencia de elementos de , se necesita (una forma débil de) el axioma de elección contable. Cuando se formula para puntos de acumulación de espacios métricos arbitrarios , la declaración se vuelve equivalente a AC _ω . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}}$

La capacidad de realizar análisis utilizando opciones contables ha llevado a la inclusión de AC _ω como axioma en algunas formas de matemáticas constructivas , a pesar de su afirmación de que existe una función de elección sin construirla. ^[1]

Ejemplo: infinito implica Dedekind-infinito

Como ejemplo de una aplicación de AC _ω , aquí hay una prueba (de ZF  + AC _ω ) de que todo conjunto infinito es infinito de Dedekind : ^[2]

Sea infinito. Para cada número natural , sea el conjunto de todas las tuplas de elementos distintos de . Como es infinito, cada uno no está vacío. La aplicación de AC _ω produce una secuencia donde cada una es una tupla. Luego se pueden concatenar estas tuplas en una única secuencia de elementos de , posiblemente con elementos repetidos. La supresión de repeticiones produce una secuencia de elementos distintos, donde ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle c_{n}=b_{k}}$, con . ${\displaystyle k=\min\{i\mid \forall _{j<n}b_{i}\neq c_{j}\}}$

Esto existe, porque al seleccionar no es posible que todos los elementos de estén entre los elementos seleccionados previamente. Entonces contiene un conjunto contable. La función que asigna cada uno a (y deja fijos todos los demás elementos ) es una aplicación uno a uno desde hacia dentro que no hacia, lo que demuestra que es infinita de Dedekind. ^[2] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle B_{n+1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle c_{n+1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Relación con otros axiomas

Sistemas más fuertes e independientes

El axioma de elección contable (AC _ω ) es estrictamente más débil que el axioma de elección dependiente (DC), ^[3] que a su vez es más débil que el axioma de elección (AC). DC, y por tanto también AC _ω , se mantienen en el modelo de Solovay , construido en 1970 por Robert M. Solovay como modelo de teoría de conjuntos sin el axioma completo de elección, en el que todos los conjuntos de números reales son mensurables. ^[4]

El lema de Urysohn (UL) y el teorema de extensión de Tietze (TET) son independientes de ZF+AC _ω : existen modelos de ZF+AC _ω en los que UL y TET son verdaderos y modelos en los que son falsos. Tanto UL como TET están implícitos en DC. ^[5]

Sistemas más débiles

Paul Cohen demostró que AC _ω no es demostrable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) sin el axioma de elección. ^[6] Sin embargo, se puede demostrar que algunos conjuntos infinitamente numerables de conjuntos no vacíos tienen una función de elección en ZF sin ninguna forma de axioma de elección. Por ejemplo, tiene una función de elección, donde es el conjunto de conjuntos hereditariamente finitos , es decir, el primer conjunto del universo de Von Neumann de rango no finito. La función de elección es (trivialmente) el elemento mínimo en el buen ordenamiento. Otro ejemplo es el conjunto de intervalos abiertos propios y acotados de números reales con puntos finales racionales. ${\displaystyle V_{\omega }\setminus \{\emptyset \}}$ ${\displaystyle V_{\omega }}$

ZF+AC _ω es suficiente para demostrar que la unión de muchos conjuntos contables es contable. Estas afirmaciones no son equivalentes: el primer modelo de Cohen proporciona un ejemplo en el que las uniones contables de conjuntos contables son contables, pero en el que AC _ω no se cumple. ^[7]

Formas equivalentes

Hay muchas formas equivalentes al axioma de elección contable, en el sentido de que cualquiera de ellas puede demostrarse en ZF asumiendo cualquier otra de ellas. Incluyen lo siguiente: ^{[8] [9]}

• Cada colección contable de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. ^[8]
• Cada colección infinita de conjuntos no vacíos tiene una subcolección infinita con una función de elección. ^[8]
• Cada espacio σ-compacto (la unión de un número contable de espacios compactos ) es un espacio de Lindelöf (cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable). ^[8] Un espacio métrico es σ-compacto si y sólo si es Lindelöf. ^[9]
• Cada segundo espacio contable (tiene una base contable de conjuntos abiertos) es un espacio separable (tiene un subconjunto denso contable). ^[8] Un espacio métrico es separable si y sólo si es σ-compacto. ^[9]
• Toda función de valor real secuencialmente continua en un espacio métrico es una función continua . ^[8]
• Cada punto de acumulación de un subconjunto de un espacio métrico es un límite de una secuencia de puntos del subconjunto. ^[9]
• El lema MA de Rasiowa-Sikorski , una forma contable del axioma de Martin : en un preorden con la condición de cadena contable , cada familia contable de subconjuntos densos tiene un filtro que cruza todos los subconjuntos. (En este contexto, un conjunto se llama denso si cada elemento del preorden tiene un límite inferior en el conjunto). ^[8] ${\displaystyle (\aleph _{0})}$

Referencias

1. Bauer, Andrej (2017). "Cinco etapas para aceptar las matemáticas constructivas". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . Series nuevas. 54 (3): 481–498. doi : 10.1090/bull/1556 . SEÑOR  3662915.
2. Herrlich 2006, Proposición 4.13, p. 48.
3. Jech, Thomas J. (1973). El axioma de elección . Holanda del Norte. págs. 130-131. ISBN 978-0-486-46624-8.
4. Solováy, Robert M. (1970). "Un modelo de teoría de conjuntos en el que cada conjunto de reales es medible según Lebesgue". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 92 (1): 1–56. doi :10.2307/1970696. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970696. SEÑOR  0265151.
5. Tachtsis, Eleftherios (2019), "El lema de Urysohn es independiente de la elección contable ZF +", Actas de la American Mathematical Society , 147 (9): 4029–4038, doi : 10.1090/proc/14590 , MR  3993794
6. Alfarero, Michael (2004). La teoría de conjuntos y su filosofía: una introducción crítica. Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 164.ISBN​ 9780191556432.
7. Herrlich, Horst (2006). "Sección A.4". Axioma de elección. Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1876. Saltador. doi :10.1007/11601562. ISBN 3-540-30989-6. Consultado el 18 de julio de 2023 .
8. , Paul; Rubin, Jean E. (1998). Consecuencias del axioma de elección . Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-0977-8.Véase en particular el formulario 8, p. 17–18.
9. Herrlich, Horst (1997). "Principios de elección en topología y análisis elemental" (PDF) . Comentario. Matemáticas. Univ. Carolinae . 38 (3): 545.Véase, en particular, el Teorema 2.4, págs. 547–548.

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