Lema de Rasiowa-Sikorski

Lema matemático

En la teoría de conjuntos axiomáticos , el lema de Rasiowa-Sikorski, que lleva el nombre de Helena Rasiowa y Roman Sikorski, es uno de los hechos más fundamentales utilizados en la técnica de forzamiento . En el área de forzamiento, un subconjunto E de un conjunto parcial ( P , ≤) se denomina denso en P si para cualquier p  ∈  P existe e  ∈  E con e  ≤  p . Si D es un conjunto de subconjuntos densos de P , entonces un filtro F en P se denomina D - genérico si

F ∩ E ≠ ∅ para todo E ∈ D .

Ahora podemos enunciar el lema de Rasiowa-Sikorski :

Sea ( P , ≤) un conjunto poset y p  ∈  P . Si D es un conjunto contable de subconjuntos densos de P entonces existe un filtro D -genérico F en P tal que p  ∈  F .

Demostración del lema de Rasiowa-Sikorski

Sea p  ∈  P dado. Como D es numerable, D  = {  D _i  | i  ∈  N  }, es decir, se pueden enumerar los subconjuntos densos de P como D ₁ , D ₂ , ... y, por densidad, existe p ₁  ≤  p con p ₁  ∈  D ₁ . Iterando eso, se obtiene ... ≤  p ₂  ≤ p ₁  ≤  p con p _i ∈ D _i . Entonces G = {  q  ∈  P  | ∃ i . q  ≥  p _i  } es un filtro D -genérico.

El lema de Rasiowa-Sikorski puede considerarse como un equivalente a una forma más débil del axioma de Martin . Más específicamente, es equivalente a MA(ℵ ₀ ) y al axioma de elección contable . ^[1]

Ejemplos

• Para ( P , ≤) = (Func( X ,  Y ), ⊇), el conjunto de funciones parciales de  X a  Y , ordenadas en sentido inverso por inclusión, define D _x  = {  s  ∈  P  | x  ∈ dom( s ) }. Sea D  = {  D _x  | x  ∈  X  }. Si X es contable, el lema de Rasiowa–Sikorski produce un filtro D -genérico F y, por lo tanto, una función F :  X  →  Y .
• Si nos adherimos a la notación utilizada al tratar con filtros D - genéricos , {  H  ∪  G ₀  | P _ij P _t  } forma un filtro H - genérico .
• Si D es incontable, pero de cardinalidad estrictamente menor que 2 ^{ℵ ₀} y el poset tiene la condición de cadena contable , podemos usar en su lugar el axioma de Martin .

Referencias

1. Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). Consecuencias del axioma de elección . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. pp. 17–18. ISBN 978-0-8218-0977-8.

• Ciesielski, Krzysztof (1997). Teoría de conjuntos para el matemático en activo . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 39. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 0-521-59441-3.Zbl 0938.03067  .
• Kunen, Kenneth (1980). Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia . Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas. Vol. 102. Holanda del Norte. ISBN 0-444-85401-0.Zbl 0443.03021  .

Enlaces externos

• El artículo de Timothy Chow Una guía para principiantes sobre el forzamiento es una buena introducción a los conceptos e ideas detrás del forzamiento.