En teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , un urelemento o elemento-ur (del prefijo alemán ur- , 'primordial') es un objeto que no es un conjunto (no tiene elementos), pero que puede ser un elemento de un conjunto. . También se le conoce como átomo o individuo . Los elementos Ur tampoco son idénticos al conjunto vacío.
Hay varias formas diferentes, pero esencialmente equivalentes, de tratar los elementos ure en una teoría de primer orden .
Una forma es trabajar en una teoría de primer orden con dos tipos, conjuntos y urelementos, con a ∈ b sólo definido cuando b es un conjunto. En este caso, si U es un urelemento, no tiene sentido decir , aunque es perfectamente legítimo.
Otra forma es trabajar en una teoría de un solo orden con una relación unaria utilizada para distinguir conjuntos y urelementos. Como los conjuntos no vacíos contienen miembros mientras que los elementos ure no, la relación unaria sólo es necesaria para distinguir el conjunto vacío de los elementos ure. Tenga en cuenta que en este caso, el axioma de extensionalidad debe formularse para aplicarse sólo a objetos que no son elementos.
Esta situación es análoga a los tratamientos de teorías de conjuntos y clases . De hecho, los urelementos son en cierto sentido duales con respecto a las clases propias : los urelementos no pueden tener miembros mientras que las clases propias no pueden ser miembros. Dicho de otra manera, los urelementos son objetos mínimos mientras que las clases propias son objetos máximos según la relación de pertenencia (que, por supuesto, no es una relación de orden, por lo que esta analogía no debe tomarse literalmente).
La teoría de conjuntos de Zermelo de 1908 incluía urelementos y, por lo tanto, existe una versión que ahora se llama ZFA o ZFCA (es decir, ZFA con axioma de elección ). [1] Pronto se dio cuenta de que en el contexto de esta y de las teorías axiomáticas de conjuntos estrechamente relacionadas , los urelementos no eran necesarios porque se pueden modelar fácilmente en una teoría de conjuntos sin urelementos. [2] Por lo tanto, las exposiciones estándar de las teorías axiomáticas canónicas de conjuntos ZF y ZFC no mencionan urelementos (para una excepción, ver Suppes [3] ). Las axiomatizaciones de la teoría de conjuntos que invocan urelementos incluyen la teoría de conjuntos de Kripke-Platek con urelementos y la variante de la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel descrita por Mendelson. [4] En teoría de tipos , un objeto de tipo 0 puede denominarse urelemento; de ahí el nombre "átomo".
Agregar elementos al sistema New Foundations (NF) para producir NFU tiene consecuencias sorprendentes. En particular, Jensen demostró [5] la consistencia de NFU en relación con la aritmética de Peano ; Mientras tanto, la consistencia de NF en relación con cualquier cosa sigue siendo un problema abierto, pendiente de verificación de la prueba de Holmes de su consistencia en relación con ZF. Además, NFU sigue siendo relativamente consistente cuando se aumenta con un axioma de infinito y el axioma de elección . Mientras tanto, la negación del axioma de elección es, curiosamente, un teorema de NF. Holmes (1998) toma estos hechos como evidencia de que la NFU es una base más exitosa para las matemáticas que la NF. Holmes sostiene además que la teoría de conjuntos es más natural con elementos que sin ellos, ya que podemos tomar como elementos los objetos de cualquier teoría o del universo físico . [6] En la teoría de conjuntos finitista, los urelementos se asignan a los componentes de nivel más bajo del fenómeno objetivo, como los constituyentes atómicos de un objeto físico o miembros de una organización.
Un enfoque alternativo a los urelementos es considerarlos, en lugar de como un tipo de objeto distinto de los conjuntos, como un tipo particular de conjunto. Los átomos de Quine (llamados así en honor a Willard Van Orman Quine ) son conjuntos que sólo se contienen a sí mismos, es decir, conjuntos que satisfacen la fórmula x = { x }. [7]
Los átomos quinos no pueden existir en sistemas de teoría de conjuntos que incluyan el axioma de regularidad , pero sí pueden existir en teoría de conjuntos no bien fundamentada . La teoría de conjuntos de ZF con el axioma de regularidad eliminado no puede probar que existan conjuntos no bien fundamentados (a menos que sea inconsistente, en cuyo caso probará cualquier afirmación arbitraria ), pero es compatible con la existencia de átomos de Quine. El axioma anti-fundación de Aczel implica que existe un átomo de Quine único. Otras teorías no bien fundadas pueden admitir muchos átomos de Quine distintos; en el extremo opuesto del espectro se encuentra el axioma de superuniversalidad de Boffa , que implica que los distintos átomos de Quine forman una clase propia . [8]
Los átomos de Quine también aparecen en New Foundations de Quine , lo que permite que exista más de uno de esos conjuntos. [9]
Los átomos quinos son los únicos conjuntos llamados conjuntos reflexivos por Peter Aczel , [8] aunque otros autores, por ejemplo, Jon Barwise y Lawrence Moss, usan este último término para denotar la clase más grande de conjuntos con la propiedad x ∈ x . [10]
