En lógica , una proposición categórica , o enunciado categórico , es una proposición que afirma o niega que todos o algunos de los miembros de una categoría (el término sujeto ) están incluidos en otra (el término predicado ). [1] El estudio de argumentos que utilizan enunciados categóricos (es decir, silogismos ) forma una rama importante del razonamiento deductivo que comenzó con los antiguos griegos .
Los antiguos griegos, como Aristóteles, identificaron cuatro tipos distintos principales de proposiciones categóricas y les dieron formas estándar (ahora a menudo llamadas A , E , I y O ). Si, de manera abstracta, la categoría de sujeto se denomina S y la categoría de predicado se denomina P , las cuatro formas estándar son:
Un gran número de oraciones pueden traducirse a una de estas formas canónicas conservando todo o la mayor parte del significado original de la oración. Las investigaciones griegas dieron como resultado el llamado cuadrado de oposición , que codifica las relaciones lógicas entre las diferentes formas; por ejemplo, que una declaración A es contradictoria con una declaración O ; es decir, por ejemplo, si uno cree que "Todas las manzanas son frutos rojos", no se puede creer simultáneamente que "Algunas manzanas no son frutos rojos". Así, las relaciones del cuadrado de oposición pueden permitir la inferencia inmediata , mediante la cual la verdad o falsedad de una de las formas puede derivarse directamente de la verdad o falsedad de una afirmación en otra forma.
La comprensión moderna de las proposiciones categóricas (que se originan en la obra de George Boole de mediados del siglo XIX ) requiere considerar si la categoría de sujeto puede estar vacía. Si es así, esto se llama punto de vista hipotético , en oposición al punto de vista existencial que requiere que la categoría de sujeto tenga al menos un miembro. El punto de vista existencial es una postura más fuerte que la hipotética y, cuando es apropiado adoptarla, permite deducir más resultados de los que se podrían obtener de otra manera. El punto de vista hipotético, al ser el más débil, tiene el efecto de eliminar algunas de las relaciones presentes en la tradicional plaza de oposición.
Los argumentos que constan de tres proposiciones categóricas (dos como premisas y una como conclusión) se conocen como silogismos categóricos y fueron de suma importancia desde la época de los lógicos griegos antiguos hasta la Edad Media. Aunque los argumentos formales que utilizan silogismos categóricos han dado paso en gran medida al mayor poder expresivo de los sistemas lógicos modernos como el cálculo de predicados de primer orden , todavía conservan valor práctico además de su importancia histórica y pedagógica .
Las oraciones en lenguaje natural pueden traducirse a formas estándar. En cada fila del siguiente cuadro, S corresponde al sujeto de la oración de ejemplo y P corresponde al predicado .
Tenga en cuenta que "Todo S no es P " (por ejemplo, "Todos los gatos no tienen ocho patas") no se clasifica como un ejemplo de las formas estándar. Esto se debe a que la traducción al lenguaje natural es ambigua. En el habla común, la frase "Todos los gatos no tienen ocho patas" podría usarse informalmente para indicar (1) "Al menos algunos, y quizás todos, los gatos no tienen ocho patas" o (2) "Ningún gato tiene ocho patas". piernas".
Las proposiciones categóricas se pueden clasificar en cuatro tipos según su "calidad" y "cantidad", o su "distribución de términos". Estos cuatro tipos han sido denominados durante mucho tiempo A , E , I y O. Esto se basa en el latín aff i rmo (afirmo), refiriéndose a las proposiciones afirmativas A e I , y n e g o ( niego), refiriéndose a las proposiciones negativas E y O. [2]
La cantidad se refiere al número de miembros de la clase sujeta (una clase es una colección o grupo de cosas designadas por un término que es sujeto o predicado en una proposición categórica. [3] ) que se utilizan en la proposición. Si la proposición se refiere a todos los miembros de la clase sujeta, es universal . Si la proposición no emplea a todos los miembros de la clase sujeto, es particular . Por ejemplo, una proposición I ("Alguna S es P ") es particular ya que sólo se refiere a algunos de los miembros de la clase de sujeto.
Calidad Se describe como si la proposición afirma o niega la inclusión de un sujeto dentro de la clase del predicado. Las dos cualidades posibles se denominan afirmativa y negativa . [4] Por ejemplo, una proposición A ("Todo S es P ") es afirmativa ya que establece que el sujeto está contenido dentro del predicado. Por otro lado, una proposición O ("Algún S no es P ") es negativa ya que excluye al sujeto del predicado.
Una consideración importante es la definición de la palabra algunos . En lógica, algunos se refieren a "uno o más", lo que concuerda con "todos". Por lo tanto, la afirmación "Algunos S es P" no garantiza que la afirmación "Algunos S no es P" también sea cierta.
Los dos términos (sujeto y predicado) de una proposición categórica pueden clasificarse como distribuidos o no distribuidos . Si todos los miembros de la clase del término se ven afectados por la proposición, esa clase se distribuye ; de lo contrario no se distribuye . Por lo tanto, cada proposición tiene una de cuatro posibles distribuciones de términos .
Cada una de las cuatro formas canónicas será examinada sucesivamente en cuanto a su distribución de términos. Aunque no se desarrollan aquí, los diagramas de Venn a veces son útiles cuando se intenta comprender la distribución de términos para las cuatro formas.
Una proposición A distribuye el sujeto al predicado, pero no al revés. Consideremos la siguiente proposición categórica: "Todos los perros son mamíferos". De hecho, todos los perros son mamíferos, pero sería falso decir que todos los mamíferos son perros. Dado que todos los perros están incluidos en la clase de mamíferos, se dice que "perros" se distribuyen entre los "mamíferos". Dado que no todos los mamíferos son necesariamente perros, "mamíferos" no se distribuye entre "perros".
Una proposición E se distribuye bidireccionalmente entre el sujeto y el predicado. De la proposición categórica "Ningún escarabajo es mamífero", podemos inferir que ningún mamífero es escarabajo. Dado que se define que todos los escarabajos no son mamíferos, y que todos los mamíferos no son escarabajos, ambas clases están distribuidas.
El conjunto vacío es un caso particular de distribución de clases de sujeto y predicado.
Ambos términos en una proposición I no están distribuidos. Por ejemplo, "Algunos estadounidenses son conservadores". Ningún término puede distribuirse enteramente al otro. A partir de esta proposición, no es posible decir que todos los estadounidenses son conservadores o que todos los conservadores son estadounidenses. Tenga en cuenta la ambigüedad en la afirmación: podría significar que "algunos estadounidenses (u otros) son conservadores" ( de dicto ), o podría significar que "algunos estadounidenses (en particular, Albert y Bob) son conservadores" ( de re ). .
En una proposición O , sólo se distribuye el predicado. Consideremos lo siguiente: "Algunos políticos no son corruptos". Como no todos los políticos se rigen por esta regla, el tema no está distribuido. El predicado, sin embargo, está distribuido porque todos los miembros de "gente corrupta" no coincidirán con el grupo de personas definido como "algunos políticos". Dado que la regla se aplica a todos los miembros del grupo de personas corruptas, es decir, "Todas las personas corruptas no son algunos políticos", el predicado está distribuido.
La distribución del predicado en una proposición O suele resultar confusa debido a su ambigüedad. Cuando se dice que una afirmación como "Algunos políticos no son corruptos" distribuye el grupo "gente corrupta" a "algunos políticos", la información parece de poco valor, ya que el grupo "algunos políticos" no está definido; Esta es la interpretación de dicto del enunciado intensional ( ), o "Algunos políticos (u otros) no son corruptos". Pero si, por ejemplo, se definiera que este grupo de "algunos políticos" incluyera a una sola persona , Albert, la relación se vuelve más clara; Esta es la interpretación de re del enunciado intensional ( ), o "Algunos políticos (en particular) no son corruptos". La declaración significaría entonces que, de cada entrada listada en el grupo de personas corruptas, ninguna de ellas será Albert: "No todas las personas corruptas son Albert". Esta es una definición que se aplica a todos los miembros del grupo de "personas corruptas" y, por lo tanto, está distribuida.
En resumen, para que el tema se distribuya, la declaración debe ser universal (por ejemplo, "todos", "no"). Para que el predicado se distribuya, la afirmación debe ser negativa (por ejemplo, "no", "no"). [5]
Peter Geach y otros han criticado el uso de la distribución para determinar la validez de un argumento. [6] [7]
Se ha sugerido que afirmaciones de la forma "Algunos A no son B" serían menos problemáticas si se expresaran como "No todo A es B", [8] que es quizás una traducción más cercana a la forma original de Aristóteles para este tipo de declaración. [9]
Hay varias operaciones (p. ej., conversión, obversión y contraposición) que se pueden realizar en una declaración categórica para cambiarla en otra. La nueva declaración puede o no ser equivalente a la original. [En las siguientes tablas que ilustran tales operaciones, en cada fila, los cuadros son verdes si las declaraciones en un cuadro verde son equivalentes a las declaraciones en otro cuadro verde, los cuadros son rojos si las declaraciones en un cuadro rojo no son equivalentes a las declaraciones en otro cuadro rojo. Las declaraciones en un cuadro amarillo significan que están implícitas o son válidas por la declaración en el cuadro más a la izquierda cuando se cumple la condición establecida en el mismo cuadro amarillo.]
Algunas operaciones requieren la noción de complemento de clases . Esto se refiere a cada elemento considerado que no sea un elemento de la clase. Los complementos de clases son muy similares a los complementos de conjuntos . El complemento de clase de un conjunto P se denominará "no P".
La operación más simple es la conversión donde se intercambian los términos sujeto y predicado. Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que el recíproco implicacional en la lógica moderna, donde una declaración de implicación material se convierte (conversión) en otra declaración de implicación material . Ambas conversiones son equivalentes solo para declaraciones categóricas de tipo A.
De un enunciado en forma E o I , es válido concluir su inverso (ya que son equivalentes). Este no es el caso de las formas A y O.
La obversión cambia la calidad (es decir, la afirmatividad o la negatividad) del enunciado y del término predicado. [10] Por ejemplo, por obversión, un enunciado afirmativo universal se convierte en un enunciado universal negativo con el término predicado que es el complemento de clase del término predicado del enunciado afirmativo universal original. En las formas modernas de los cuatro enunciados categóricos , la negación del enunciado correspondiente a un término predicado P, se interpreta como un término predicado 'no-P' en cada enunciado categórico en obversión. La igualdad de se puede utilizar para obvertir declaraciones categóricas afirmativas.
Las declaraciones categóricas son lógicamente equivalentes a su anverso. Como tal, un diagrama de Venn que ilustra cualquiera de las formas sería idéntico al diagrama de Venn que ilustra su anverso.
La contraposición es el proceso de intercambio y negación simultáneos del sujeto y predicado de un enunciado categórico. También equivale a convertir (aplicar la conversión) el obverso (el resultado de la obversión) de una afirmación categórica. Tenga en cuenta que esta contraposición en la lógica tradicional no es lo mismo que la contraposición (también llamada transposición) en la lógica moderna que establece que las declaraciones de implicación material y son lógicamente equivalentes. Ambas contraposiciones son equivalentes sólo para enunciados categóricos de tipo A.
Una declaración categórica es una afirmación o negación de que todos o algunos miembros de la clase sujeto están incluidos en la clase predicado.
Durante la Edad Media, los lógicos dieron a las cuatro formas categóricas los nombres especiales de A , E , I y O. Estas cuatro letras provienen de las dos primeras vocales de la palabra latina 'a ff i rmo' ('afirmo') y de las vocales de la palabra latina 'n e g o' ('niego').
Se dice que toda proposición categórica en forma estándar tiene una cualidad , ya sea afirmativa o negativa.
En el proceso de obversión , cambiamos la cualidad de una proposición (de afirmativa a negativa o de negativa a afirmativa), y luego reemplazamos su predicado con la negación o complemento del predicado.
![{\displaystyle \forall {x}[S_{x}\rightarrow P_{x}]\equiv \forall {x}[\neg S_{x}\lor P_{x}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc7c36b94b3263e9e8d1d516b00b2dd156efdfdc)
![{\displaystyle \forall {x}[S_{x}\rightarrow \neg P_{x}]\equiv \forall {x}[\neg S_{x}\lor \neg P_{x}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac90962a29551cff7f49c82528934e2f517688d3)
![{\displaystyle \exists {x}[S_ {x} \land P_ {x}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b6175a337103efce3d9ff1f01cc4f33e6c8475)
![{\displaystyle \exists {x}[S_{x}\land \neg P_{x}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610698bbf59ec189624cdf9633ae4a086c402b2e)
![{\displaystyle \Box \exists {x}[Pl_{x}\land \neg C_{x}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/137595d4f5578b4fcaefcd7004a5e773abdda25b)
![{\displaystyle \exists {x}\Box [Pl_{x}\land \neg C_{x}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2384fc342be18759bc52f287c13b8ba2ddd83cfb)
