Una fórmula abierta es una fórmula que contiene al menos una variable libre . [ cita requerida ]
Una fórmula abierta no tiene un valor de verdad asignado, a diferencia de una fórmula cerrada que constituye una proposición y, por lo tanto, puede tener un valor de verdad como verdadero o falso . Una fórmula abierta se puede transformar en una fórmula cerrada aplicando un cuantificador para cada variable libre. Esta transformación se llama captura de las variables libres para convertirlas en variables ligadas.
Por ejemplo, al razonar sobre números naturales , la fórmula " x + 2 > y " es abierta, ya que contiene las variables libres x e y . En cambio, la fórmula " ∃ y ∀ x : x + 2 > y " es cerrada, y tiene valor de verdad true .
Las fórmulas abiertas se utilizan a menudo en definiciones matemáticas rigurosas de propiedades, como
(con variables libres x , y , y variable ligada z ) que define la noción de "tía" en términos de "padre" y "hermana". Otro ejemplo, más formal, que define la propiedad de ser un número primo , es
(con variable libre x y variables ligadas m , n ).
Un ejemplo de una fórmula cerrada con valor de verdad falso involucra la secuencia de números de Fermat.
estudiado por Fermat en relación con la primalidad. La adición de la letra predicativa P ( es primo ) a cada número de la sucesión de Fermat da un conjunto de fórmulas cerradas. Si bien son verdaderas para n = 0,...,4, no se conoce ningún valor mayor de n que dé como resultado una fórmula verdadera, a partir de 2023 [actualizar]; por ejemplo, no es primo. Por lo tanto, la fórmula cerrada ∀ n P ( F n ) es falsa.
