El finitismo es una filosofía de las matemáticas que acepta la existencia de objetos matemáticos finitos . Se entiende mejor en comparación con la filosofía convencional de las matemáticas, en la que se acepta la existencia de objetos matemáticos infinitos (por ejemplo, conjuntos infinitos ).
La idea principal de las matemáticas finitistas es no aceptar la existencia de objetos infinitos como los conjuntos infinitos. Si bien se acepta la existencia de todos los números naturales , no se considera que el conjunto de todos los números naturales exista como un objeto matemático. Por lo tanto, la cuantificación en dominios infinitos no se considera significativa. La teoría matemática que a menudo se asocia con el finitismo es la aritmética recursiva primitiva de Thoralf Skolem .
La introducción de objetos matemáticos infinitos se produjo hace unos siglos, cuando el uso de objetos infinitos ya era un tema controvertido entre los matemáticos. La cuestión entró en una nueva fase cuando Georg Cantor introdujo en 1874 lo que hoy se denomina teoría ingenua de conjuntos y la utilizó como base para su trabajo sobre los números transfinitos . Cuando se descubrieron paradojas como la paradoja de Russell , la paradoja de Berry y la paradoja de Burali-Forti en la teoría ingenua de conjuntos de Cantor, la cuestión se convirtió en un tema candente entre los matemáticos.
Los matemáticos adoptaron diversas posturas. Todos coincidían en que los objetos matemáticos eran finitos, como los números naturales. Sin embargo, había desacuerdos en lo que respecta a los objetos matemáticos infinitos. Una postura era la matemática intuicionista defendida por LEJ Brouwer , que rechazaba la existencia de objetos infinitos hasta que se construyeran.
Otra posición fue respaldada por David Hilbert : los objetos matemáticos finitos son objetos concretos, los objetos matemáticos infinitos son objetos ideales y aceptar objetos matemáticos ideales no causa un problema con respecto a los objetos matemáticos finitos. Más formalmente, Hilbert creía que es posible demostrar que cualquier teorema sobre objetos matemáticos finitos que se pueda obtener utilizando objetos infinitos ideales también se puede obtener sin ellos. Por lo tanto, permitir objetos matemáticos infinitos no causaría un problema con respecto a los objetos finitos. Esto condujo al programa de Hilbert de probar tanto la consistencia como la completitud de la teoría de conjuntos utilizando medios finitistas, ya que esto implicaría que agregar objetos matemáticos ideales es conservador sobre la parte finitista. Las opiniones de Hilbert también están asociadas con la filosofía formalista de las matemáticas . El objetivo de Hilbert de probar la consistencia y la completitud de la teoría de conjuntos o incluso la aritmética a través de medios finitistas resultó ser una tarea imposible debido a los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel . Sin embargo, la gran conjetura de Harvey Friedman implicaría que la mayoría de los resultados matemáticos son demostrables utilizando medios finitistas.
Hilbert no dio una explicación rigurosa de lo que él consideraba finitista y a lo que se refería como elemental. Sin embargo, basándose en su trabajo con Paul Bernays, algunos expertos como Tait (1981) han sostenido que la aritmética recursiva primitiva puede considerarse un límite superior de lo que Hilbert consideraba matemáticas finitistas. [1]
Como resultado de los teoremas de Gödel, cuando quedó claro que no hay esperanza de demostrar tanto la consistencia como la completitud de las matemáticas, y con el desarrollo de teorías de conjuntos axiomáticos aparentemente consistentes como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , la mayoría de los matemáticos modernos no se centran en este tema.
En su libro The Philosophy of Set Theory , Mary Tiles caracterizó a quienes admiten objetos potencialmente infinitos como finitistas clásicos , y a quienes no los admiten como finitistas estrictos : por ejemplo, un finitista clásico permitiría afirmaciones como "todo número natural tiene un sucesor " y aceptaría la significatividad de las series infinitas en el sentido de límites de sumas parciales finitas, mientras que un finitista estricto no lo haría. Históricamente, la historia escrita de las matemáticas fue, por tanto, clásicamente finitista hasta que Cantor creó la jerarquía de cardinales transfinitos a finales del siglo XIX.
Leopold Kronecker siguió siendo un oponente estridente a la teoría de conjuntos de Cantor: [2]
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. Dios creó los números enteros; todo lo demás es obra del hombre.
— Conferencia de 1886 en el Berliner Naturforscher-Versammlung [3]
Reuben Goodstein fue otro defensor del finitismo. Parte de su trabajo consistió en desarrollar el análisis a partir de fundamentos finitistas.
Aunque él lo negó, gran parte de los escritos de Ludwig Wittgenstein sobre matemáticas tienen una fuerte afinidad con el finitismo. [4]
Si se contrastan los finitistas con los transfinitistas (los defensores de la jerarquía de infinitos de Georg Cantor , por ejemplo), entonces también Aristóteles puede ser caracterizado como finitista. Aristóteles promovió especialmente el infinito potencial como una opción intermedia entre el finitismo estricto y el infinito actual (siendo este último una actualización de algo que nunca termina en la naturaleza, en contraste con el infinito actual cantorista que consiste en los números cardinales y ordinales transfinitos , que no tienen nada que ver con las cosas de la naturaleza):
Pero, por otra parte, suponer que el infinito no existe de ninguna manera conduce obviamente a muchas consecuencias imposibles: habrá un principio y un fin del tiempo, una magnitud no será divisible en magnitudes, el número no será infinito. Si, pues, a la vista de las consideraciones anteriores, ninguna de las alternativas parece posible, será necesario recurrir a un árbitro.
— Aristóteles, Física, Libro 3, Capítulo 6
El ultrafinitismo (también conocido como ultraintuicionismo) tiene una actitud aún más conservadora hacia los objetos matemáticos que el finitismo, y tiene objeciones a la existencia de objetos matemáticos finitos cuando son demasiado grandes.
Hacia finales del siglo XX, John Penn Mayberry desarrolló un sistema de matemáticas finitarias al que llamó "Aritmética euclidiana". El principio más llamativo de su sistema es un rechazo completo y riguroso del estatus fundacional especial que normalmente se otorga a los procesos iterativos, incluida en particular la construcción de los números naturales mediante la iteración "+1". En consecuencia, Mayberry se encuentra en total desacuerdo con aquellos que intentarían equiparar las matemáticas finitarias con la aritmética de Peano o cualquiera de sus fragmentos, como la aritmética recursiva primitiva .