La evolución del dígito occidental moderno para el número 5 no se remonta al sistema indio , como ocurre con los dígitos del 1 al 4. Los imperios Kushana y Gupta en lo que hoy es India tenían entre sí varias formas que no se parecen en nada a las modernas. dígito. Los nagari y punjabi tomaron estos dígitos y a todos se les ocurrieron formas similares a una "h" minúscula girada 180°. Los árabes de Ghubar transformaron el dígito de varias maneras, produciendo que se pareciera más a los dígitos 4 o 3 que al 5. [1] Fue a partir de esos dígitos que a los europeos finalmente se les ocurrió el moderno 5.
Mientras que en la mayoría de las tipografías modernas la forma del carácter del dígito 5 tiene un ascendente , en las tipografías con cifras de texto el glifo suele tener un descendente , como, por ejemplo, en.
En la pantalla de siete segmentos de una calculadora y un reloj digital, está representado por cinco segmentos en cuatro vueltas sucesivas de arriba a abajo, girando primero en el sentido contrario a las agujas del reloj, luego en el sentido de las agujas del reloj y viceversa. Es uno de los tres números, junto con el 4 y el 6, donde el número de segmentos coincide con el número.
5 es el quinto número de Fibonacci , siendo 2 más 3, [2] y el único número de Fibonacci que es igual a su posición aparte de 1 (que también es el segundo índice). Cinco es también un número de Pell y un número de Markov , que aparece en las soluciones de la ecuación diofántica de Markov: (1, 2, 5), (1, 5, 13 ), (2, 5, 29 ), (5, 13, 194 ). ), (5, 29, 433), ... ( OEIS : A030452 enumera los números de Markov que aparecen en soluciones donde uno de los otros dos términos es 5). En la secuencia de Perrin, el 5 es el quinto y sexto número de Perrin . [18]
5 es el segundo número primo de Fermat de la forma y, más generalmente, el segundo número de Sierpiński de la primera especie . [19] Hay un total de cinco primos de Fermat conocidos, que también incluyen 3 , 17 , 257 y 65537 . [20] La suma de los primeros tres primos de Fermat, 3, 5 y 17, produce 25 o 5 2 , mientras que 257 es el 55º número primo. Las combinaciones de estos cinco números primos de Fermat generan treinta y un polígonos con un número impar de lados que se pueden construir únicamente con un compás y una regla , que incluye el pentágono regular de cinco lados . [21] [22] : págs.137–142 A propósito, treinta y uno también es igual a la suma del número máximo de áreas dentro de un círculo que se forman a partir de los lados y diagonales de los primeros polígonos de cinco lados , que es igual al número máximo de áreas formadas por un polígono de seis lados; según el problema del círculo de Moser . [23] [22] : págs.76–78
5 es también el tercer exponente primo de Mersenne de la forma , lo que produce , el undécimo número primo y el quinto superprimo . [24] [25] [2] Este es el índice primo del tercer primo de Mersenne y del segundo primo doble de Mersenne 127 , [26] así como el tercer exponente primo doble de Mersenne para el número 2.147.483.647 , [26] que es el mayor valor que puede contener un campo entero de 32 bits con signo . Sólo hay cuatro números primos dobles de Mersenne conocidos, con un quinto candidato doble primo de Mersenne = 2 23058...93951 − 1 demasiado grande para calcularlo con las computadoras actuales. En una secuencia relacionada, los primeros cinco términos de la secuencia de números catalán-Mersenne son los únicos términos primos conocidos, con un sexto candidato posible del orden de 10 10 37,7094 . Se conjetura que estas secuencias primarias son primarias hasta cierto límite.
Hay un total de cinco números unitarios perfectos conocidos , que son números que son la suma de sus divisores unitarios propios positivos . [27] [28] El número más pequeño es 6, y el mayor de ellos es equivalente a la suma de 4095 divisores, donde 4095 es el mayor de cinco números de Ramanujan-Nagell que son números triangulares y números de Mersenne de forma general. . [29] [30] Las sumas de los primeros cinco números no primos mayores que cero 1 + 4 + 6 + 8 + 9 y los primeros cinco números primos 2 + 3 + 5 + 7 + 11 son ambos iguales a 28 ; el séptimo número triangular y como 6 un número perfecto , que también incluye 496 , el trigésimo primer número triangular y número perfecto de la forma ( ) con a de , por el teorema de Euclides-Euler . [31] [32] [33] Dentro de la familia más grande de números Ore , 140 y 496, respectivamente el cuarto y sexto miembro indexado , ambos contienen un conjunto de divisores que producen medias armónicas enteras iguales a 5. [34] [35] El quinto primo de Mersenne, 8191 , [25] se divide en 4095 y 4096 , siendo este último el quinto número superperfecto [36] y la sexta potencia de cuatro, 4 6 .
El factorial de cinco es perfecto multiplicado como 28 y 496. [42] Es la suma de los primeros quince enteros positivos distintos de cero y el decimoquinto número triangular , que a su vez es la suma de los primeros cinco enteros positivos distintos de cero y Quinto número triangular. Además, donde 125 es el segundo número que tiene una suma alícuota de 31 (después de la quinta potencia de dos , 32). [43] Por sí solo, 31 es el primer número pentagonal centrado , [44] y el quinto número triangular centrado . [45] En conjunto, cinco y treinta y uno generan una suma de 36 (el cuadrado de 6 ) y una diferencia de 26 , que es el único número que se encuentra entre un cuadrado y un cubo (respectivamente, 25 y 27 ). [46] El quinto número pentagonal y tetraédrico es 35 , que es igual a la suma de los primeros cinco números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15. [47] En la secuencia de números pentatópicos que comienzan desde el primero ( o quinta) celda de la quinta fila del triángulo de Pascal (de izquierda a derecha o de derecha a izquierda), los primeros términos son: 1, 5, 15, 35, 70 , 126, 210, 330, 495, ... [ 48] Los primeros cinco miembros de esta secuencia suman 126 , que también es el sexto número piramidal pentagonal [49] , así como el quinto número perfecto de Granville . [50] Este es el tercer número de Granville que no es perfecto , y el único número conocido con tres factores primos distintos. [51]
55 es el decimoquinto biprimo discreto , [52] igual al producto entre 5 y el quinto primo y el tercer superprimo 11 . [2] Estos dos números también forman el segundo par (5, 11) de números marrones tal quedonde cinco es también el segundo número que pertenece al primer par ( 4 , 5); en total, sólo se necesitan cinco números distintos (4, 5, 7, 11 y 71) para generar el conjunto de pares conocidos de números marrones, donde el tercer y mayor par es ( 7 , 71 ). [53] [54]
Cincuenta y cinco es también el décimo número de Fibonacci , [55] cuya suma de dígitos también es 10 , en su representación decimal . Es el décimo número triangular y el cuarto que es doblemente triangular , [56] el quinto número heptagonal [57] y el cuarto número nonagonal centrado , [58] y como se mencionó anteriormente, el quinto número piramidal cuadrado. [39] La secuencia de triangularesque son potencias de 10 es: 55, 5050 , 500500 , ... [59] 55 en base diez es también el cuarto número de Kaprekar al igual que todos los números triangulares que son potencias de diez, que inicialmente incluye 1 , 9 y 45 , [60] siendo el cuarenta y cinco el noveno número triangular donde 5 se encuentra a medio camino entre 1 y 9 en la secuencia de números naturales . 45 también es conjeturado por el número de Ramsey , [61] [62] y es un número de Schröder-Hipparchus ; el siguiente y quinto número es 197 , el cuadragésimo quinto número primo [24] que representa el número de formas de diseccionar un heptágono en polígonos más pequeños insertando diagonales . [63] Un pentágono convexo de cinco lados, por otro lado, tiene once formas de subdividirse de esa manera. [a]
figuras magicas
5 es el valor de la celda central del primer cuadrado mágico normal no trivial , llamado cuadrado Luoshu . Su matriz tiene una constante mágica de , donde las sumas de sus filas, columnas y diagonales son todas iguales a quince. [64] Por otro lado, un cuadrado mágico normal [b] tiene una constante mágica de , donde 5 y 13 son los dos primeros primos de Wilson . [4] El quinto número que devuelve la función de Mertens es 65 , [65] contando el número de enteros sin cuadrados hasta con un número par de factores primos , menos el recuento de números con un número impar de factores primos. 65 es el decimonoveno biprimo con distintos factores primos, [52] con una suma alícuota de 19 también [43] y equivalente a 1 5 + 2 4 + 3 3 + 4 2 + 5 1 . [66] También es la constante mágica del Problema de Queens para , [67] el quinto número octogonal , [68] y el número de Stirling de segunda especie que representa sesenta y cinco formas de dividir un conjunto de seis objetos en cuatro no -subconjuntos vacíos . [69] 13 y 5 son también el cuarto y tercer número de Markov , respectivamente, donde el sexto miembro de esta secuencia ( 34 ) es la constante mágica de un octagrama mágico normal y un cuadrado mágico. [70] Entre estos tres números de Markov se encuentra el décimo número primo 29 [24] que representa el número de pentacubos cuando las reflexiones se consideran distintas; este número es también el quinto primo de Lucas después de 11 y 7 (donde el primer primo que no es primo de Lucas es 5, seguido de 13). [71] Una constante mágica de 505 es generada por un cuadrado mágico normal, [70] donde 10 es el quinto compuesto . [72]
5 es también el valor de la celda central, el único hexágono mágico normal no trivial hecho de diecinueve celdas. [73] [c] Donde la suma entre las constantes mágicas de este hexágono mágico normal de orden 3 ( 38 ) y el cuadrado mágico normal de orden 5 (65) es 103 : el índice primo del tercer primo de Wilson 563 es igual al suma de los tres pares de números marrones: su diferencia es 27, que es en sí mismo el índice primo de 103. [24] En base diez, 15 y 27 son los únicos números de dos dígitos que son iguales a la suma entre sus dígitos (inclusive , es decir, 2 + 3 + ... + 7 = 27), con estos dos números consecutivos perfectos después de 3 y 9 . [74] 103 es el quinto primo irregular [75] que divide al numerador (236364091) del vigésimo cuarto número de Bernoulli , y como tal forma parte del octavo par irregular (103, 24). [76] En una matriz bidimensional, el número de particiones planas con una suma de cuatro es igual a trece y el número de dichas particiones con una suma de cinco es veinticuatro, [77] un valor igual a la suma- de divisores del noveno número aritmético 15 [78] cuyos divisores también producen una media aritmética entera de 6 [79] (junto con una suma alícuota de 9). [43] El valor más pequeño que puede tener la constante mágica de un pentagrama mágico de cinco puntas usando números enteros distintos es 24. [80] [d]
Conjetura de Collatz
En el problema de Collatz 3 x + 1 , 5 requiere cinco pasos para llegar a uno multiplicando los términos por tres y sumando uno si el término es impar (comenzando con cinco), y dividiendo por dos si son pares: {5 ➙ 16 ➙ 8 ➙ 4 ➙ 2 ➙ 1}; el único otro número que requiere cinco pasos es 32, ya que 16 debe ser parte de dicho camino (consulte [e] para ver un mapa de órbitas para números impares pequeños). [81] [82]
Específicamente, 120 necesita quince pasos para llegar a 5: { 120 ➙ 60 ➙ 30 ➙ 15 ➙ 46 ➙ 23 ➙ 70 ➙ 35 ➙ 106 ➙ 53 ➙ 160 ➙ 80 ➙ 40 ➙ 20 ➙ 10 ➙ 5 }. Estos comprenden un total de dieciséis números antes de recorrer {16 ➙ 8 ➙ 4 ➙ 2 ➙ 1}, donde 16 es el número más pequeño con exactamente cinco divisores, [83] y uno de los dos únicos números que tienen una suma alícuota de 15 . el otro es 33 . [43] De lo contrario, la trayectoria de 15 requiere diecisiete pasos para llegar a 1, [82] donde su trayectoria reducida de Collatz es igual a cinco al contar los pasos {23, 53, 5, 2, 1} que son primos, incluido 1. [84] En general, trece números en el mapa de Collatz para 15 de regreso a 1 son compuestos , [81] donde el primo más grande en la trayectoria de 120 de regreso a {4 ➙ 2 ➙ 1 ➙ 4 ➙ ...} es el decimosexto primo número, 53 . [24]
Al generalizar la conjetura de Collatz a todos los números enteros positivos o negativos , −5 se convierte en uno de los cuatro posibles puntos de inicio y fin del ciclo conocidos y, en su caso, también en cinco pasos: {−5 ➙ −14 ➙ −7 ➙ −20 ➙ − 10 ➙ −5 ➙ ...}. Los otros ciclos posibles comienzan y terminan en -17 en dieciocho pasos, -1 en dos pasos y 1 en tres pasos. Este comportamiento es análogo al ciclo de trayectoria de cinco en el problema 3 x − 1 , donde 5 toma cinco pasos para regresar cíclicamente, en este caso multiplicando términos por tres y restando 1 si los términos son impares, y también dividiéndolos a la mitad si son pares. [85] También es el primer número que genera un ciclo que no es trivial (es decir, 1 ➙ 2 ➙ 1 ➙ ...). [86]
Se conjetura que cinco es el único número impar intocable , y si este es el caso, entonces cinco será el único número primo impar que no es la base de un árbol alícuota. [87] Mientras tanto:
Cada número impar mayor que es la suma de como máximo cinco números primos, [88] y
Se conjetura que todo número impar mayor que puede expresarse como la suma de tres números primos. Helfgott ha proporcionado una prueba de esto [89] (también conocida como la extraña conjetura de Goldbach ) que ya es ampliamente reconocida por los matemáticos, ya que aún se encuentra bajo revisión por pares .
Hay cinco clases de permutaciones de Ramsey contablemente infinitas , donde la edad de cada permutación homogénea contable forma una clase de objetos de Ramsey individual de modo que, para cada número natural y cada elección de objetos , no hay ningún objeto en el que haya coloración de todos los subobjetos. de isomorfo a existe un subobjeto monocromático isomorfo a . [95] : pp.1, 2 Aparte de , las cinco clases de permutaciones de Ramsey son las clases de: [95] : p.4
El número cromático del plano es al menos cinco, dependiendo de la elección de los axiomas de la teoría de conjuntos : el número mínimo de colores necesarios para colorear el plano de modo que ningún par de puntos a una distancia de 1 tenga el mismo color. [104] [105] Mientras que el gráfico hexagonal de Golomb y el mosaico hexagonal regular generan números cromáticos de 4 y 7, respectivamente, se puede lograr una coloración cromática de 5 en un gráfico más complicado donde se vinculan múltiples husos Moser de cuatro colores de modo que no existen ternas monocromáticas en ningún color del gráfico general, ya que eso generaría una disposición equilátera que tiende hacia una estructura puramente hexagonal .
El gran antiprisma , que es la única construcción no wythoffiana conocida de un policorón uniforme, está formado por veinte antiprismas pentagonales y trescientos tetraedros, con un total de cien vértices y quinientas aristas. [118]
Hay cinco álgebras de Lie excepcionales complejas : , , , y . El más pequeño de ellos, de dimensión real 28, puede representarse en un espacio complejo de cinco dimensiones y proyectarse como una bola que rueda encima de otra bola, cuyo movimiento se describe en un espacio de dos dimensiones. [126] es el más grande y contiene las otras cuatro álgebras de Lie como subgrupos , con una representación en la dimensión 496. Contiene una red asociada que se construye con ciento veinte icosianos unitarios cuaterniónicos que forman los vértices de los 600- celda , cuyas normas euclidianas definen una forma cuadrática en una estructura reticular isomorfa a la configuración óptima de esferas en ocho dimensiones. [127] Esta estructura de red de empaquetamiento de esferas en 8 espacios está sostenida por la disposición del vértice del panal 5 21 , uno de los cinco panales euclidianos que admiten la definición original de Gosset de un panal semirregular , que incluye el panal cúbico alternado tridimensional. . [128] [129] El isomorfismo simple más pequeño que se encuentra dentro de grupos de Lie simples finitos es , [130] donde aquí representa grupos alternos y grupos de Chevalley clásicos . En particular, el grupo más pequeño que no tiene solución es el grupo alterno de cinco letras, que también es el grupo no abeliano simple más pequeño.
Los cinco grupos de Mathieu constituyen la primera generación de la feliz familia de grupos esporádicos . Estos son también los primeros cinco grupos esporádicos que se han descrito , definidos como grupos de permutación transitiva múltiple en objetos , con ∈ {11, 12, 22, 23, 24}. [131] : p.54 En particular, , el más pequeño de todos los grupos esporádicos, tiene una acción de rango 3 en cincuenta y cinco puntos a partir de una acción inducida en pares desordenados , así como dos representaciones irreductibles complejas fieles de cinco dimensiones sobre el campo. con tres elementos, que es la representación dimensional irreducible más baja de todos los grupos esporádicos sobre sus respectivos campos con elementos. [132] De precisamente cinco clases de conjugación diferentes de subgrupos máximos de , uno es el grupo simétrico casi simple (¡de orden 5 ! ), y otro es , también casi simple, que funciona como un estabilizador puntual que contiene cinco como su mayor factor primo. en su orden de grupo : 2 4 ·3 2 ·5 = 2 · 3 · 4 ·5· 6 = 8 · 9 · 10 = 720 . Por otro lado, mientras que es marcadamente 4-transitivo, es marcadamente 5-transitivo y es 5-transitivo, y como tales son los dos únicos grupos 5-transitivos que no son grupos simétricos o grupos alternos . [133] tiene los primeros cinco números primos como sus factores primos distintos en su orden de 2 7 ·3 2 ·5· 7 · 11 , y es el más pequeño de cinco grupos esporádicos con cinco factores primos distintos en su orden. [131] : p.17 Todos los grupos de Mathieu son subgrupos de , lo que bajo el diseño de Witt del sistema Steiner emerge una construcción del código binario extendido de Golay que tiene como grupo de automorfismo . [131] : pp.39, 47, 55 genera octadasde palabras de código de peso Hamming 8 del código binario extendido Golay, uno de los cinco pesos Hamming diferentes que utiliza el código binario extendido Golay: 0, 8, 12, 16 y 24. [131] : p.38 El diseño Witt y el El código binario extendido de Golay, a su vez, se puede utilizar para generar una construcción fiel de la red Leech de 24 dimensiones Λ 24 , que se construye principalmente utilizando el vector de Weyl que admite la única solución no unitaria al problema de la bala de cañón , donde la suma de los cuadrados de los primeros veinticuatro números enteros equivale al cuadrado de otro número entero, el quinto número pentatópico (70). Los subcocientes del automorfismo de la red Leech, grupo Conway , son a su vez objeto de la segunda generación de siete grupos esporádicos. [131] : págs.99, 125
Hay cinco números primos no supersingulares ( 37 , 43 , 53 , 61 y 67 ) menores que 71 , que es el mayor de los quince primos supersingulares que dividen el orden del gigante amigo , en sí mismo el grupo esporádico más grande. [134] En particular, un centralizador de un elemento de orden 5 dentro de este grupo surge del producto entre el grupo esporádico Harada-Norton y un grupo de orden 5. [135] [136] Por sí solo, se puede representar utilizando generadores estándar que además dictan una condición donde . [137] [138] Esta condición también la mantienen otros generadores que pertenecen al grupo Tetas , [139] el único grupo finito simple que es un grupo no estricto de tipo Lie que también puede clasificarse como esporádico (quinto más grande de los veintisiete por orden también). Además, sobre el campo con cinco elementos, tiene una representación de 133 dimensiones donde 5 actúa sobre un producto conmutativo pero no asociativo como un análogo modular de 5 del álgebra de Griess ♮ , [140] que mantiene al gigante amigo como su grupo de automorfismo. .
Todos los múltiplos de 5 terminarán en 5 o , y las fracciones vulgares con 5 o 2 en el denominador no producen expansiones decimales infinitas porque son factores primos de 10 , la base.
En las potencias de 5, toda potencia termina en el número cinco, y a partir de 5 3 en adelante, si el exponente es impar , entonces la cifra de las centenas es 1 , y si es par, la cifra de las centenas es 6 .
Un número elevado a la quinta potencia siempre termina en el mismo dígito que .
La notación musical moderna utiliza un pentagrama musical formado por cinco líneas horizontales. [149]
Una escala con cinco notas por octava se llama escala pentatónica . [150]
Una quinta justa es la armonía más consonante y es la base de la mayoría de los sistemas de afinación occidentales. [151]
En armónicos , el quinto parcial (o cuarto sobretono ) de una fundamental tiene una relación de frecuencia de 5:1 con respecto a la frecuencia de esa fundamental. Esta relación corresponde al intervalo de 2 octavas más una tercera mayor pura. Así, el intervalo de 5:4 es el intervalo de tercera pura. Un acorde de tríada mayor , cuando se toca con entonación justa (el caso más frecuente en el canto de un conjunto vocal a capella), contendrá una tercera mayor pura.
Cinco es el número más bajo posible que puede ser el número superior de un compás con un compás asimétrico .
Se les llama colectivamente los Cinco Libros de Moisés , el Pentateuco ( en griego , "cinco recipientes", en referencia a las cajas de rollos en las que se guardaban los libros), o Humash ( חומש , en hebreo , "quinto"). [152]
El Khamsa , un símbolo antiguo con forma de mano con cuatro dedos y un pulgar, es utilizado como amuleto protector por los judíos ; ese mismo símbolo también es muy popular en la cultura árabe , conocido por proteger de la envidia y el mal de ojo . [153]
cristiandad
Tradicionalmente hay cinco llagas de Jesucristo en el cristianismo : las llagas de los clavos en las dos manos de Cristo, las llagas de los clavos en los dos pies de Cristo y la herida de lanza de Cristo (respectivamente en las cuatro extremidades del cuerpo y en la cabeza). [154]
El número cinco era un número simbólico importante en el maniqueísmo , con seres celestiales, conceptos y otros a menudo agrupados en conjuntos de cinco.
Elementos
Según filósofos griegos antiguos como Aristóteles , el universo se compone de cinco elementos clásicos : agua , tierra , aire , fuego y éter . Este concepto fue adoptado posteriormente por los alquimistas medievales y más recientemente por practicantes de religiones neopaganas como la Wicca .
Según la cosmología hindú , existen cinco elementos en el universo : dharti, agni, jal, vayu evam akash (tierra, fuego, agua, aire y espacio, respectivamente).
Los 5 elementos del Wuxing tradicional chino . [156]
En la tradición del este de Asia , existen cinco elementos: ( agua , fuego , tierra , madera y metal ). [157] Los nombres japoneses para los días de la semana , de martes a sábado , provienen de estos elementos mediante la identificación de los elementos con los cinco planetas visibles a simple vista . [158] Además, el calendario japonés tradicional tiene un ciclo semanal de cinco días que todavía se puede observar en calendarios mixtos impresos que combinan nombres occidentales, chino-budistas y japoneses para cada día de la semana.
Quintaesencia , que significa "quinto elemento", se refiere al esquivo quinto elemento que completa los cuatro elementos básicos (agua, fuego, aire y tierra), como unión de estos. [159] El pentagrama , o estrella de cinco puntas, tiene un significado místico en varios sistemas de creencias, incluidos el baháʼí , el cristianismo , la masonería , el satanismo , el taoísmo , la thelema y la wicca . En numerología , el 5 o una serie de 555 , suele asociarse con el cambio, la evolución, el amor y la abundancia. [ cita necesaria ]
Misceláneas
"Dame cinco" es una frase común que se usa antes de chocar esos cinco .
Los Juegos Olímpicos tienen como símbolo cinco anillos entrelazados, que representan el número de continentes habitados representados por los atletas olímpicos (Europa, Asia, África, Australia y Oceanía, y América). [160]
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