¿Hay infinitos números primos regulares y, de ser así, cuál es su densidad relativa ?
En teoría de números , un primo regular es un tipo especial de número primo , definido por Ernst Kummer en 1850 para demostrar ciertos casos del último teorema de Fermat . Los primos regulares se pueden definir mediante la divisibilidad de números de clase o de números de Bernoulli .
Los primeros números primos impares regulares son:
En 1850, Kummer demostró que el último teorema de Fermat es cierto para un exponente primo p si p es regular. Esto centró la atención en los números primos irregulares. [1] En 1852, Genocchi pudo demostrar que el primer caso del último teorema de Fermat es verdadero para un exponente p , si ( p , p − 3) no es un par irregular. Kummer mejoró esto aún más en 1857 al mostrar que para el "primer caso" del último teorema de Fermat (ver el teorema de Sophie Germain ) es suficiente establecer que ( p , p − 3) o ( p , p − 5) no se cumple. un par irregular.
( ( p , 2 k ) es un par irregular cuando p es irregular debido a que cierta condición que se describe a continuación se cumple en 2 k .)
Kummer encontró que los números primos irregulares eran menores que 165. En 1963, Lehmer informó resultados hasta 10 000 y Selfridge y Pollack anunciaron en 1964 haber completado la tabla de números primos irregulares hasta 25 000. Aunque las dos últimas tablas no aparecieron impresas, Johnson encontró que ( p , p − 3) es de hecho un par irregular para p = 16843 y que esta es la primera y única vez que esto ocurre para p < 30000 . [2] Se descubrió en 1993 que la próxima vez que esto suceda es para p = 2124679 ; ver Wolstenholme prima . [3]
Un número primo impar p se define como regular si no divide el número de clase del p -ésimo campo ciclotómico Q ( ζ p ), donde ζ p es una p -ésima raíz primitiva de la unidad.
El número primo 2 también se considera regular.
El número de clase del campo ciclotómico es el número de ideales del anillo de números enteros Z ( ζ p ) hasta la equivalencia. Dos ideales I , J se consideran equivalentes si hay un u distinto de cero en Q ( ζ p ) de modo que I = uJ . Los primeros de estos números de clase se enumeran en OEIS : A000927 .
Ernst Kummer (Kummer 1850) demostró que un criterio equivalente de regularidad es que p no divide el numerador de ninguno de los números de Bernoulli B k para k = 2, 4, 6, ..., p − 3 .
La prueba de Kummer de que esto es equivalente a la definición del número de clase se ve reforzada por el teorema de Herbrand-Ribet , que establece ciertas consecuencias de p dividir uno de estos números de Bernoulli.
Se ha conjeturado que existen infinitos números primos regulares. Más precisamente, Carl Ludwig Siegel (1964) conjeturó que e −1/2 , o alrededor del 60,65%, de todos los números primos son regulares, en el sentido asintótico de densidad natural . Ninguna de las conjeturas ha sido probada hasta la fecha.
Un primo impar que no es regular es un primo irregular (o irregular de Bernoulli o irregular B para distinguirlo de otros tipos de irregularidades que se analizan más adelante). Los primeros primos irregulares son:
KL Jensen (un estudiante de Nielsen [4] ) demostró en 1915 que hay infinitos números primos irregulares de la forma 4 n + 3 . [5] En 1954 , Carlitz dio una prueba simple del resultado más débil de que, en general, hay infinitos números primos irregulares. [6]
Metsänkylä demostró en 1971 que para cualquier número entero T > 6 , hay infinitos números primos irregulares que no son de la forma mT + 1 o mT − 1 , [7] y luego generalizó esto. [8]
Si p es un primo irregular y p divide el numerador del número de Bernoulli B 2 k para 0 < 2 k < p − 1 , entonces ( p , 2 k ) se llama par irregular . En otras palabras, un par irregular es un dispositivo contable para registrar, para un primo irregular p , los índices particulares de los números de Bernoulli en los que falla la regularidad. Los primeros pares irregulares (ordenados por k ) son:
Los k pares más pequeños tales que n -ésimas divisiones primos irregulares B k son
Para un primo p dado , el número de tales pares se llama índice de irregularidad de p . [9] Por lo tanto, un número primo es regular si y sólo si su índice de irregularidad es cero. De manera similar, un primo es irregular si y sólo si su índice de irregularidad es positivo.
Se descubrió que ( p , p − 3) es de hecho un par irregular para p = 16843 , así como para p = 2124679 . No hay más apariciones para p < 10 9 .
Un primo impar p tiene un índice irregular n si y solo si hay n valores de k para los cuales p divide a B 2 k y estos k s son menores que ( p − 1)/2 . El primer primo irregular con índice irregular mayor que 1 es 157 , que divide B 62 y B 110 , por lo que tiene un índice irregular 2. Claramente, el índice irregular de un primo regular es 0.
El índice irregular del n- ésimo primo es
El índice irregular del enésimo primo irregular es
Los primos que tienen índice irregular 1 son
Los primos que tienen índice irregular 2 son
Los primos que tienen índice irregular 3 son
Los números primos mínimos que tienen un índice irregular n son
De manera similar, podemos definir un primo irregular de Euler (o E-irregular) como un primo p que divide al menos un número de Euler E 2 n con 0 < 2 n ≤ p − 3 . Los primeros primos irregulares de Euler son
Los pares irregulares de Euler son
Vandiver demostró en 1940 que el último teorema de Fermat ( x p + y p = z p ) no tiene solución para números enteros x , y , z con mcd( xyz , p ) = 1 si p es regular de Euler. Gut demostró que x 2 p + y 2 p = z 2 p no tiene solución si p tiene un índice de irregularidad E menor que 5. [10]
Se demostró que existe una infinidad de números primos E-irregulares. Se obtuvo un resultado más contundente: hay una infinidad de primos E-irregulares congruentes con 1 módulo 8. Como en el caso de los primos B-regulares de Kummer, todavía no hay pruebas de que haya infinitos primos E-regulares, aunque esto parece probable que sea cierto.
Un primo p se llama fuerte irregular si es B-irregular y E-irregular (los índices de los números de Bernoulli y Euler que son divisibles por p pueden ser iguales o diferentes). Los primeros primos irregulares fuertes son
Demostrar el último teorema de Fermat para un primo p irregular fuerte es más difícil (dado que Kummer demostró el primer caso del último teorema de Fermat para primos regulares B, Vandiver demostró el primer caso del último teorema de Fermat para primos regulares E), lo más Lo difícil es que p no sólo es un primo irregular fuerte, sino que 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 y 16 p + 1 también son compuestos ( Legende demostró el primer caso del último teorema de Fermat para primos p tales que al menos uno de 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 y 16 p + 1 es primo), los primeros p son
Un primo p es débil irregular si es B-irregular o E-irregular (o ambos). Los primeros primos irregulares débiles son
Al igual que la irregularidad de Bernoulli, la regularidad débil se relaciona con la divisibilidad de los números de clase de los campos ciclotómicos . De hecho, un primo p es débil irregular si y sólo si p divide el número de clase del 4 p ésimo campo ciclotómico Q ( ζ 4 p ).
En esta sección, " an " significa el numerador del enésimo número de Bernoulli si n es par, " an " significa el ( n − 1) enésimo número de Euler si n es impar (secuencia A246006 en el OEIS ).
Dado que para cada primo impar p , p divide a p si y solo si p es congruente con 1 mod 4, y dado que p divide el denominador de ( p − 1) ésimo número de Bernoulli para cada primo impar p , entonces para cualquier primo impar p , p no puede dividir a p −1 . Además, si y sólo si un primo impar p divide a n (y 2 p no divide a n ), entonces p también divide a n + k ( p −1) (si 2 p divide a n , entonces la oración debería cambiarse a " p también divide a n +2 kp ". De hecho, si 2 p divide a n y p ( p − 1) no divide a n , entonces p divide a n .) para cada entero k (una condición es n + k ( p − 1) debe ser > 1). Por ejemplo, dado que 19 divide a 11 y 2 × 19 = 38 no divide a 11, entonces 19 divide a 18 k +11 para todo k . Por tanto, la definición de par irregular ( p , n ) , n debería ser como máximo p − 2 .
La siguiente tabla muestra todos los pares irregulares con primo impar p ≤ 661 :
Los únicos primos por debajo de 1000 con índice irregular débil 3 son 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751 y 929. Además, 491 es el único primo por debajo de 1000 con índice irregular débil 4 , y todos los demás primos impares por debajo de 1000 con índice irregular débil 0, 1 o 2. ( El índice irregular débil se define como "número de números enteros 0 ≤ n ≤ p − 2 tales que p divide a n ).
La siguiente tabla muestra todos los pares irregulares con n ≤ 63. (Para obtener estos pares irregulares, solo necesitamos factorizar a n . Por ejemplo, a 34 = 17 × 151628697551 , pero 17 < 34 + 2 , por lo que el único par irregular con n = 34 es (151628697551, 34) ) (para obtener más información ( n pares hasta 300 y n impares hasta 201), consulte [11] ).
La siguiente tabla muestra pares irregulares ( p , p − n ) ( n ≥ 2 ), es una conjetura que existen infinitos pares irregulares ( p , p − n ) por cada número natural n ≥ 2 , pero solo se encontraron pocos para fijo n . Para algunos valores de n , incluso no se conoce ningún primo p .
