La conjetura débil de Goldbach

Conjetura resuelta sobre los números primos

En teoría de números , la conjetura débil de Goldbach , también conocida como conjetura de Goldbach impar , problema de Goldbach ternario o problema de los 3 primos , establece que

Todo número impar mayor que 5 se puede expresar como la suma de tres números primos . (Un primo se puede utilizar más de una vez en la misma suma).

Esta conjetura se llama "débil" porque si se demuestra la conjetura fuerte de Goldbach (sobre la suma de dos números primos), entonces esto también sería cierto. Porque si cada número par mayor que 4 es la suma de dos primos impares, sumar 3 a cada número par mayor que 4 producirá los números impares mayores que 7 (y 7 en sí es igual a 2+2+3).

En 2013, Harald Helfgott publicó una prueba de la conjetura débil de Goldbach. ^[2] A partir de 2018, la prueba es ampliamente aceptada en la comunidad matemática, ^[3] pero aún no se ha publicado en una revista revisada por pares . La prueba fue aceptada para su publicación en la serie Annals of Mathematics Studies ^[4] en 2015, y ha sido sometida a más revisiones y revisiones desde entonces; En el proceso se están haciendo públicos capítulos completamente revisados ​​y casi en su forma final. ^[5]

Algunos afirman la conjetura como

Todo número impar mayor que 7 se puede expresar como la suma de tres números primos impares. ^[6]

Esta versión excluye 7 = 2+2+3 porque requiere el primo par 2. En números impares mayores que 7 es ligeramente más fuerte ya que también excluye sumas como 17 = 2+2+13, que están permitidas en la otra formulación. La prueba de Helfgott cubre ambas versiones de la conjetura. Al igual que la otra formulación, ésta también se deriva inmediatamente de la fuerte conjetura de Goldbach.

Orígenes

La conjetura se originó en la correspondencia entre Christian Goldbach y Leonhard Euler . Una formulación de la conjetura fuerte de Goldbach, equivalente a la más común en términos de sumas de dos primos, es

Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como la suma de tres números primos.

La conjetura débil es simplemente esta afirmación restringida al caso en el que el número entero es impar (y posiblemente con el requisito añadido de que los tres primos de la suma sean impares).

Cronología de resultados

En 1923, Hardy y Littlewood demostraron que, asumiendo la hipótesis de Riemann generalizada , la conjetura débil de Goldbach es cierta para todos los números impares suficientemente grandes . En 1937, Ivan Matveevich Vinogradov eliminó la dependencia de la hipótesis generalizada de Riemann y demostró directamente (ver teorema de Vinogradov ) que todos los números impares suficientemente grandes pueden expresarse como la suma de tres números primos. La prueba original de Vinogradov, ya que utilizó el ineficaz teorema de Siegel-Walfisz , no dio un límite para "suficientemente grande"; su alumno K. Borozdkin (1956) dedujo que es bastante grande. ^[7] La ​​parte entera de este número tiene 4.008.660 dígitos decimales, por lo que verificar cada número bajo esta cifra sería completamente inviable. ${\displaystyle e^{e^{16.038}}\approx 3^{3^{15}}}$

En 1997, Deshouillers , Effinger, te Riele y Zinoviev publicaron un resultado que mostraba ^[8] que la hipótesis generalizada de Riemann implica la conjetura débil de Goldbach para todos los números. Este resultado combina una afirmación general válida para números mayores que 10 ²⁰ con una búsqueda informática exhaustiva de los casos pequeños. Saouter también realizó una búsqueda informática que cubría los mismos casos aproximadamente al mismo tiempo. ^[9]

Olivier Ramaré demostró en 1995 que todo número par n ≥ 4 es en realidad la suma de como máximo seis primos, de lo que se deduce que todo número impar n ≥ 5 es la suma de como máximo siete primos. Leszek Kaniecki demostró que todo número entero impar es una suma de como máximo cinco números primos, según la hipótesis de Riemann . ^[10] En 2012, Terence Tao demostró esto sin la hipótesis de Riemann; esto mejora ambos resultados. ^[11]

En 2002, Liu Ming-Chit ( Universidad de Hong Kong ) y Wang Tian-Ze redujeron el umbral de Borozdkin a aproximadamente . El exponente es todavía demasiado grande para permitir comprobar todos los números más pequeños por ordenador. (Las búsquedas por computadora sólo han llegado hasta 10 ¹⁸ para la conjetura fuerte de Goldbach, y no mucho más para la conjetura débil de Goldbach.) ${\displaystyle n>e^{3100}\approx 2\times 10^{1346}}$

En 2012 y 2013, el matemático peruano Harald Helfgott publicó un par de artículos que mejoraban las estimaciones de los arcos mayores y menores lo suficiente como para probar incondicionalmente la conjetura débil de Goldbach. ^{[12] [13] [2] [14] [15]} Aquí, los arcos mayores son la unión de intervalos alrededor de los racionales donde es una constante. Los arcos menores se definen como . ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ${\displaystyle \left(a/q-cr_{0}/qx,a/q+cr_{0}/qx\right)}$ ${\displaystyle a/q,q<r_{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\setminus {\mathfrak {M}}}$

Referencias

1. Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Banda 1), San Petersburgo 1843, págs.
2. Helfgott, Harald A. (2013). "La conjetura ternaria de Goldbach es cierta". arXiv : 1312.7748 [matemáticas.NT].
3. "Harald Andrés Helfgott - Fundación Alexander von Humboldt". www.fundación-humboldt.de . Archivado desde el original el 24 de agosto de 2022 . Consultado el 24 de agosto de 2022 .
4. "Anales de estudios de matemáticas". Prensa de la Universidad de Princeton . 14 de diciembre de 1996 . Consultado el 5 de febrero de 2023 .
5. "Harald Andrés Helfgott". usuariosweb.imj-prg.fr . Consultado el 6 de abril de 2021 .
6. Weisstein, Eric W. "Conjetura de Goldbach". MundoMatemático .
7. Helfgott, Harald Andrés (2015). "El problema ternario de Goldbach". arXiv : 1501.05438 [matemáticas.NT].
8. Deshouillers, Jean-Marc; Effinger, Gove W.; Te Riele, Herman JJ; Zinoviev, Dmitrii (1997). "Un teorema completo de los 3 primos de Vinogradov bajo la hipótesis de Riemann" (PDF) . Anuncios electrónicos de investigación de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas . 3 (15): 99-104. doi : 10.1090/S1079-6762-97-00031-0 . SEÑOR  1469323.
9. Yannick Saouter (1998). "Comprobando alguna que otra conjetura de Goldbach hasta 1020" (PDF) . Matemáticas. comp. 67 (222): 863–866. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00928-4 . SEÑOR  1451327.
10. Kaniecki, Leszek (1995). "Sobre la constante de Šnirelman bajo la hipótesis de Riemann" (PDF) . Acta Aritmética . 72 (4): 361–374. doi : 10.4064/aa-72-4-361-374 . SEÑOR  1348203.
11. Tao, Terence (2014). "Todo número impar mayor que 1 es la suma de como máximo cinco números primos". Matemáticas. comp. 83 (286): 997–1038. arXiv : 1201.6656 . doi :10.1090/S0025-5718-2013-02733-0. SEÑOR  3143702. S2CID  2618958.
12. Helfgott, Harald A. (2012). "Arcos menores para el problema de Goldbach". arXiv : 1205.5252 [matemáticas.NT].
13. Helfgott, Harald A. (2013). "Arcos principales del teorema de Goldbach". arXiv : 1305.2897 [matemáticas.NT].
14. Helfgott, Harald Andrés (2014). «El problema ternario de Goldbach» (PDF) . En Jang, Sun Young (ed.). Actas del Congreso Internacional de Matemáticos de Seúl . vol. 2. Seúl, KOR: Kyung Moon SA. págs. 391–418. ISBN 978-89-6105-805-6. OCLC  913564239.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: fecha y año ( enlace )
15. Helfgott, Harald A. (2015). "El problema ternario de Goldbach". arXiv : 1501.05438 [matemáticas.NT].