Teorema de Vinogradov

Teorema en teoría de números

En teoría de números , el teorema de Vinogradov es un resultado que implica que cualquier número entero impar suficientemente grande puede escribirse como una suma de tres números primos . Es una forma más débil de la conjetura débil de Goldbach , que implicaría la existencia de tal representación para todos los números enteros impares mayores que cinco. Lleva el nombre de Ivan Matveyevich Vinogradov , quien lo demostró en la década de 1930. Hardy y Littlewood habían demostrado anteriormente que este resultado se derivaba de la hipótesis generalizada de Riemann , y Vinogradov pudo eliminar esta suposición. El enunciado completo del teorema de Vinogradov da límites asintóticos al número de representaciones de un entero impar como suma de tres primos. La noción de "suficientemente grande" estaba mal definida en el trabajo original de Vinogradov, pero en 2002 se demostró que 10 ¹³⁴⁶ es suficientemente grande. ^{[1] [2]} Además, los números hasta 10 ²⁰ se habían verificado mediante métodos de fuerza bruta, ^[3] por lo que solo quedaba un número finito de casos por verificar antes de que la extraña conjetura de Goldbach fuera probada o refutada. En 2013, Harald Helfgott demostró la conjetura débil de Goldbach para todos los casos.

Declaración del teorema de Vinogradov

Sea A un número real positivo. Entonces

${\displaystyle r(N)={1 \over 2}G(N)N^{2}+O\left(N^{2}\log ^{-A}N\right),}$

dónde

${\displaystyle r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3}),}$

usando la función de von Mangoldt , y ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle G(N)=\left(\prod _{p\mid N}\left(1-{1 \over {\left(p-1\right)}^{2}}\right)\right)\left(\prod _{p\nmid N}\left(1+{1 \over {\left(p-1\right)}^{3}}\right)\right).}$

Una consecuencia

Si N es impar, entonces G ( N ) es aproximadamente 1, por lo tanto, para todos los N suficientemente grandes . Al demostrar que la contribución hecha a r ( N ) por las potencias primarias propias es , se ve que ${\displaystyle N^{2}\ll r(N)}$ ${\displaystyle O\left(N^{3 \over 2}\log ^{2}N\right)}$

${\displaystyle N^{2}\log ^{-3}N\ll \left({\hbox{number of ways N can be written as a sum of three primes}}\right).}$

Esto significa en particular que cualquier número entero impar suficientemente grande puede escribirse como una suma de tres primos, mostrando así la conjetura débil de Goldbach para todos los casos excepto para un número finito.

Estrategia de prueba

La demostración del teorema sigue el método del círculo de Hardy-Littlewood . Definir la suma exponencial

${\displaystyle S(\alpha )=\sum _{n=1}^{N}\Lambda (n)e(\alpha n)}$.

Entonces nosotros tenemos

${\displaystyle S(\alpha )^{3}=\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}\leq N}\Lambda (n_{1})\Lambda (n_{2})\Lambda (n_{3})e(\alpha (n_{1}+n_{2}+n_{3}))=\sum _{n\leq 3N}{\tilde {r}}(n)e(\alpha n)}$,

donde denota el número de representaciones restringidas a potencias primas . Por eso ${\displaystyle {\tilde {r}}}$ ${\displaystyle \leq N}$

${\displaystyle r(N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-\alpha N)\;d\alpha }$.

Si es un número racional , entonces puede estar dado por la distribución de números primos en módulo de clases de residuos . Por tanto, utilizando el teorema de Siegel-Walfisz podemos calcular la contribución de la integral anterior en pequeñas vecindades de puntos racionales con denominador pequeño. El conjunto de números reales cercanos a dichos puntos racionales suele denominarse arcos mayores, el complemento forma los arcos menores. Resulta que estos intervalos dominan la integral, por lo tanto, para probar el teorema hay que dar un límite superior para lo contenido en los arcos menores. Esta estimación es la parte más difícil de la prueba. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle S(\alpha )}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle S(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$

Si asumimos la Hipótesis Generalizada de Riemann , el argumento utilizado para los arcos mayores puede extenderse a los arcos menores. Esto fue hecho por Hardy y Littlewood en 1923. En 1937 Vinogradov dio un límite superior incondicional para . Su argumento comenzó con una simple identidad de tamiz, los términos resultantes luego se reordenaron de una manera complicada para obtener alguna cancelación. En 1977 RC Vaughan encontró un argumento mucho más simple, basado en lo que más tarde se conoció como la identidad de Vaughan . Demostró que si , entonces ${\displaystyle |S(\alpha )|}$ ${\displaystyle |\alpha -{\frac {a}{q}}|<{\frac {1}{q^{2}}}}$

${\displaystyle |S(\alpha )|\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)\log ^{4}N}$.

Usando el teorema de Siegel-Walfisz podemos tratar hasta potencias arbitrarias de , usando el teorema de aproximación de Dirichlet obtenemos en los arcos menores. Por lo tanto, la integral sobre los arcos menores puede estar acotada arriba por ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \log N}$ ${\displaystyle |S(\alpha )|\ll {\frac {N}{\log ^{A}N}}}$

${\displaystyle {\frac {CN}{\log ^{A}N}}\int _{0}^{1}|S(\alpha )|^{2}\;d\alpha \ll {\frac {N^{2}}{\log ^{A-1}N}}}$,

lo que da el término de error en el teorema.

Referencias

1. Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: Terrence Tao - Estructura y aleatoriedad en los números primos, UCLA. YouTube .
2. Liu, MC; Wang, TZ (2002). "Sobre la conjetura de Goldbach ligada a Vinogradov en los tres primos". Acta Aritmética . 105 (2): 133-175. doi : 10.4064/aa105-2-3 .
3. Saouter, Yannick (1998). "Comprobando la conjetura impar de Goldbach hasta 10²⁰". Matemáticas de la Computación . 67 (222): 863–866. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00928-4 .

• Vinogradov, Ivan Matveevich (1954). El método de las sumas trigonométricas en la teoría de números . Traducido, revisado y anotado por KF Roth y Anne Davenport. Londres y Nueva York: Interscience. SEÑOR  0062183.
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditiva. Las bases clásicas . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 164. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-3845-2. ISBN 0-387-94656-X. SEÑOR  1395371. Capítulo 8.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Vinogradov". MundoMatemático .