Traer radicalidad

Raíz real del polinomio x^5+x+a

Trama del argumento "Traigan lo radical a la realidad"

En álgebra , el radical o ultrarradical de un número real  a es la única raíz real del polinomio. $${\displaystyle x^{5}+x+a.}$$

El radical Bring de un número complejo a es cualquiera de las cinco raíces del polinomio anterior (por lo tanto, es multivaluado ), o una raíz específica, que generalmente se elige de modo que el radical Bring tenga un valor real para un a real y sea una función analítica en un entorno de la línea real. Debido a la existencia de cuatro puntos de ramificación , el radical Bring no se puede definir como una función que sea continua en todo el plano complejo , y su dominio de continuidad debe excluir cuatro cortes de ramificación .

George Jerrard demostró que algunas ecuaciones quínticas pueden resolverse en forma cerrada utilizando radicales y radicales Bring, que habían sido introducidos por Erland Bring .

En este artículo, el radical Bring de a se denota. Para un argumento real, es impar, monótonamente decreciente y no acotado, con un comportamiento asintótico para valores grandes de . ${\displaystyle \operatorname {BR} (a).}$ ${\displaystyle \operatorname {BR} (a)\sim -a^{1/5}}$ ${\displaystyle a}$

Formas normales

La ecuación quintica es bastante difícil de obtener soluciones directamente, con cinco coeficientes independientes en su forma más general: $${\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.}$$

Los diversos métodos para resolver la ecuación de quinto grado que se han desarrollado generalmente intentan simplificarla utilizando transformaciones de Tschirnhaus para reducir el número de coeficientes independientes.

Forma quintica principal

La ecuación quintica general puede reducirse a lo que se conoce como la forma quintica principal , con los términos cuárticos y cúbicos eliminados: $${\displaystyle y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0\,}$$

Si las raíces de una ecuación de quinto grado general y una ecuación de quinto grado principal están relacionadas mediante una transformación cuadrática de Tschirnhaus , los coeficientes y pueden determinarse utilizando la resultante , o por medio de las sumas de potencias de las raíces y las identidades de Newton . Esto conduce a un sistema de ecuaciones en y que consta de una ecuación cuadrática y una ecuación lineal, y cualquiera de los dos conjuntos de soluciones puede utilizarse para obtener los tres coeficientes correspondientes de la forma de quinto grado principal. ^[1] $${\displaystyle y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta \,,}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Esta forma es utilizada por Felix Klein en su solución para la ecuación quintica. ^[2]

Forma normal de Bring-Jerrard

Es posible simplificar aún más la ecuación de quinto grado y eliminar el término cuadrático, lo que produce la forma normal de Bring-Jerrard : Utilizar nuevamente las fórmulas de suma de potencias con una transformación cúbica como intentó Tschirnhaus no funciona, ya que el sistema de ecuaciones resultante da como resultado una ecuación de sexto grado. Pero en 1796 Bring encontró una forma de evitar esto utilizando una transformación de Tschirnhaus cuártica para relacionar las raíces de una ecuación de quinto grado principal con las de una ecuación de quinto grado de Bring-Jerrard: $${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0.}$$ $${\displaystyle v_{k}=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta \,.}$$

El parámetro adicional que proporciona esta transformación de cuarto orden le permitió a Bring disminuir los grados de los otros parámetros. Esto conduce a un sistema de cinco ecuaciones con seis incógnitas, que luego requiere la solución de una ecuación cúbica y una cuadrática. Este método también fue descubierto por Jerrard en 1852, ^[3] pero es probable que no estuviera al tanto del trabajo previo de Bring en esta área. ^{[1] (pp92–93)} La transformación completa se puede lograr fácilmente utilizando un paquete de álgebra computacional como Mathematica ^[4] o Maple . ^[5] Como podría esperarse de la complejidad de estas transformaciones, las expresiones resultantes pueden ser enormes, particularmente cuando se comparan con las soluciones en radicales para ecuaciones de grado inferior, que toman muchos megabytes de almacenamiento para una ecuación de quinto grado general con coeficientes simbólicos. ^[4]

Considerada como una función algebraica, las soluciones de involucran dos variables, d ₁ y d ₀ ; sin embargo, la reducción es en realidad a una función algebraica de una variable, muy análoga a una solución en radicales, ya que podemos reducir aún más la forma de Bring-Jerrard. Si, por ejemplo, establecemos entonces, reducimos la ecuación a la forma que involucra a z como una función algebraica de una sola variable , donde . Esta forma es requerida por el método de Hermite–Kronecker–Brioschi, el método de Glasser y el método de Cockle–Harley de resolventes diferenciales descritos a continuación. $${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0}$$ $${\displaystyle z={v \over {\sqrt[{4}]{-d_{1}}}}}$$ $${\displaystyle z^{5}-z+a=0\,,}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=d_{0}(-d_{1})^{-5/4}}$

Se obtiene una forma alternativa estableciendo que donde . Esta forma se utiliza para definir el radical Bring a continuación. ${\displaystyle u={v \over {\sqrt[{4}]{d_{1}}}}}$ ${\displaystyle u^{5}+u+b=0\,,}$ ${\displaystyle b=d_{0}(d_{1})^{-5/4}}$

Forma normal de Brioschi

Existe otra forma normal de un parámetro para la ecuación quintica, conocida como forma normal de Brioschi , que se puede derivar utilizando la transformación racional de Tschirnhaus para relacionar las raíces de una ecuación quintica general con una ecuación quintica de Brioschi. Los valores de los parámetros y se pueden derivar utilizando funciones poliédricas en la esfera de Riemann , y están relacionados con la partición de un objeto de simetría icosaédrica en cinco objetos de simetría tetraédrica . ^[6] $${\displaystyle w^{5}-10Cw^{3}+45C^{2}w-C^{2}=0,}$$ $${\displaystyle w_{k}={\frac {\lambda +\mu x_{k}}{{\frac {x_{k}^{2}}{C}}-3}}}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

Esta transformación de Tschirnhaus es bastante más sencilla que la difícil transformación que se utiliza para transformar una ecuación de quinto grado principal en la forma Bring-Jerrard. Esta forma normal se utiliza en el método de iteración de Doyle-McMullen y en el método de Kiepert.

Representación en serie

Se puede derivar una serie de Taylor para los radicales de Bring, así como una representación en términos de funciones hipergeométricas, de la siguiente manera. La ecuación se puede reescribir como Fijando la solución deseada en ya que es impar. ${\displaystyle x^{5}+x+a=0}$ ${\displaystyle x^{5}+x=-a.}$ ${\displaystyle f(x)=x^{5}+x,}$ ${\displaystyle x=f^{-1}(-a)=-f^{-1}(a)}$ ${\displaystyle f(x)}$

La serie para se puede obtener entonces por reversión de la serie de Taylor para (que es simplemente ), dando donde los valores absolutos de los coeficientes forman la secuencia A002294 en la OEIS . El radio de convergencia de la serie es ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x+x^{5}}$ $${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-f^{-1}(a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {5k}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}a^{4k+1}}{4k+1}}=-a+a^{5}-5a^{9}+35a^{13}-285a^{17}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle 4/(5\cdot {\sqrt[{4}]{5}})\approx 0.53499.}$

En forma hipergeométrica , el radical Bring se puede escribir como ^[4] $${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-a\,\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};-5\left({\frac {5a}{4}}\right)^{4}\right).}$$

Puede ser interesante comparar con las funciones hipergeométricas que surgen a continuación en la derivación de Glasser y el método de los resolventes diferenciales.

Solución de la ecuación quintica general

Las raíces del polinomio se pueden expresar en términos del radical Bring como y sus cuatro conjugados . ^{[ cita requerida ]} El problema ahora se reduce a la forma Bring-Jerrard en términos de ecuaciones polinómicas resolubles, y utilizando transformaciones que involucran expresiones polinómicas en las raíces solo hasta el cuarto grado, lo que significa que se puede invertir la transformación al encontrar las raíces de un polinomio resoluble en radicales. Este procedimiento proporciona soluciones extrañas, pero cuando se han encontrado las correctas por medios numéricos, las raíces de la ecuación de quinto grado se pueden escribir en términos de raíces cuadradas, raíces cúbicas y el radical Bring, que es, por lo tanto, una solución algebraica en términos de funciones algebraicas (definidas ampliamente para incluir radicales Bring) de una sola variable: una solución algebraica de la ecuación de quinto grado general. $${\displaystyle x^{5}+px+q}$$ $${\displaystyle {\sqrt[{4}]{p}}\,\operatorname {BR} \left(p^{-{\frac {5}{4}}}q\right)}$$

Otras caracterizaciones

Se han desarrollado muchas otras caracterizaciones del radical Bring, la primera de las cuales es en términos de "trascendentes elípticos" (relacionados con funciones elípticas y modulares ) por Charles Hermite en 1858, y otros métodos desarrollados posteriormente por otros matemáticos.

La caracterización de Hermite-Kronecker-Brioschi

En 1858, Charles Hermite ^[7] publicó la primera solución conocida de la ecuación general de quinto grado en términos de "trascendentes elípticos", y aproximadamente al mismo tiempo Francesco Brioschi ^[8] y Leopold Kronecker ^[9] encontraron soluciones equivalentes. Hermite llegó a esta solución generalizando la solución conocida de la ecuación cúbica en términos de funciones trigonométricas y encuentra la solución de una ecuación de quinto grado en forma de Bring-Jerrard: $${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$

en la que cualquier ecuación de quinto grado puede ser reducida por medio de transformaciones de Tschirnhaus como se ha demostrado. Observó que las funciones elípticas tenían un papel análogo que desempeñar en la solución de la ecuación de quinto grado de Bring-Jerrard como el que tenían las funciones trigonométricas para la ecuación cúbica. Para y escríbalas como las integrales elípticas completas de primera clase : donde Defina los dos "trascendentes elípticos": ^{[nota 1]} Pueden definirse de manera equivalente por series infinitas: ^{[nota 2]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K',}$ $${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$$ $${\displaystyle K'(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k'^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$$ $${\displaystyle k^{2}+k'^{2}=1.}$$ $${\displaystyle \varphi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi i}{2\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {1+e^{2j\pi i\tau }}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$$ $${\displaystyle \psi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi \tau }{2i}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\tau )&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{(2j^{2}+j)\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}(1-e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-3e^{3\pi i\tau }+4e^{4\pi i\tau }-6e^{5\pi i\tau }+9e^{6\pi i\tau }-\cdots ),\quad \operatorname {Im} \tau >0\\\psi (\tau )&={\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}e^{2j^{2}\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&=1-2e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-4e^{3\pi i\tau }+6e^{4\pi i\tau }-8e^{5\pi i\tau }+12e^{6\pi i\tau }-\cdots ,\quad \operatorname {Im} \tau >0\end{aligned}}}$$

Si n es un número primo , podemos definir dos valores y de la siguiente manera: y ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$ $${\displaystyle v=\varphi (\tau )}$$

Cuando n es un primo impar, los parámetros y están vinculados por una ecuación de grado n  + 1 en , ^{[nota 3]} , conocida como ecuación modular , cuyas raíces en están dadas por: ^{[10] [nota 4]} y donde es 1 o −1 dependiendo de si 2 es un residuo cuadrático módulo n o no, respectivamente, ^{[nota 5]} y . Para n  = 5, tenemos la ecuación modular: ^[11] con seis raíces en como se muestra arriba. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega _{n}(u,v)=0}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$ $${\displaystyle u=\varepsilon (n)\varphi \left({\frac {\tau +16m}{n}}\right)}$$ ${\displaystyle \varepsilon (n)}$ ${\displaystyle m\in \{0,1,\ldots ,n-1\}}$ $${\displaystyle \Omega _{5}(u,v)=0\iff u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0}$$ ${\displaystyle u}$

La ecuación modular con puede estar relacionada con la quíntica de Bring-Jerrard mediante la siguiente función de las seis raíces de la ecuación modular (En Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré de Hermite , el primer factor es incorrectamente dado como ): ^[12] ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle [\varphi (5\tau )+\varphi (\tau /5)]}$

$${\displaystyle \Phi (\tau )=\left[-\varphi (5\tau )-\varphi \left({\frac {\tau }{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +16}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +64}{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +32}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +48}{5}}\right)\right]}$$

Alternativamente, la fórmula ^[13] es útil para la evaluación numérica de . Según Hermite, el coeficiente de en la expansión es cero para cada . ^[14] $${\displaystyle \Phi (\tau )=2{\sqrt {10}}e^{3\pi i\tau /40}(1+e^{\pi i\tau /5}-e^{2\pi i\tau /5}+e^{3\pi i\tau /5}-8e^{\pi i\tau }-9e^{6\pi i\tau /5}+8e^{7\pi i\tau /5}-9e^{8\pi i\tau /5}+\cdots )}$$ ${\displaystyle \Phi (\tau )}$ ${\displaystyle e^{n\pi i\tau /5}}$ ${\displaystyle n\equiv 4\,(\operatorname {mod} 5)}$

Las cinco cantidades , , , , son las raíces de una ecuación quintica con coeficientes racionales en : ^[15] que se puede convertir fácilmente a la forma Bring-Jerrard mediante la sustitución: que conduce a la ecuación quintica de Bring-Jerrard: donde ${\displaystyle \Phi (\tau )}$ ${\displaystyle \Phi (\tau +16)}$ ${\displaystyle \Phi (\tau +32)}$ ${\displaystyle \Phi (\tau +48)}$ ${\displaystyle \Phi (\tau +64)}$ ${\displaystyle \varphi (\tau )}$ $${\displaystyle \Phi ^{5}-2000\varphi ^{4}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\Phi -64{\sqrt {5^{5}}}\varphi ^{3}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\left[1+\varphi ^{8}(\tau )\right]=0}$$ $${\displaystyle \Phi =2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )x}$$ $${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$

El método de Hermite–Kronecker–Brioschi consiste entonces en encontrar un valor para que corresponda al valor de , y luego usar ese valor de para obtener las raíces de la ecuación modular correspondiente. Podemos usar algoritmos de búsqueda de raíces para encontrar a partir de la ecuación (*) (es decir, calcular una inversa parcial de ). Elevar al cuadrado (*) da un cuártico únicamente en (usando ). Cada solución (en ) de (*) es una solución del cuártico, pero no cada solución del cuártico es una solución de (*). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi ^{4}(\tau )}$ ${\displaystyle \varphi ^{8}(\tau )+\psi ^{8}(\tau )=1}$ ${\displaystyle \tau }$

Las raíces de la ecuación quintica de Bring-Jerrard están dadas por: para . $${\displaystyle x_{r}={\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ ${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$

Un enfoque alternativo, “integral”, es el siguiente:

Considere dónde Entonces es una solución de dónde ${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$ $${\displaystyle \tau =i{\frac {K'(k)}{K(k)}}}$$ $${\displaystyle a=s{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ $${\displaystyle s={\begin{cases}-\operatorname {sgn} \operatorname {Im} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a=0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Re} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a\neq 0,\end{cases}}}$$

$${\displaystyle A={\frac {a{\sqrt[{4}]{5^{5}}}}{2}}.}$$

Las raíces de la ecuación (**) son: donde ^[13] (nótese que algunas referencias importantes la dan erróneamente como ^{[6] [7]} ). Una de estas raíces puede usarse como el módulo elíptico . $${\displaystyle k=\tan {\frac {\alpha }{4}},\tan {\frac {\alpha +2\pi }{4}},\tan {\frac {\pi -\alpha }{4}},\tan {\frac {3\pi -\alpha }{4}}}$$ ${\displaystyle \sin \alpha =4/A^{2}}$ ${\displaystyle \sin \alpha =1/(4A^{2})}$ ${\displaystyle k}$

Las raíces de la ecuación quintica de Bring-Jerrard están dadas por: para . $${\displaystyle x_{r}=-s{\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ ${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$

Se puede ver que este proceso utiliza una generalización de la raíz n-ésima , que puede expresarse como: o más concretamente, como El método de Hermite–Kronecker–Brioschi esencialmente reemplaza la exponencial por una "trascendente elíptica", y la integral (o la inversa de en la línea real) por una integral elíptica (o por una inversa parcial de una "trascendente elíptica"). Kronecker pensó que esta generalización era un caso especial de un teorema aún más general, que sería aplicable a ecuaciones de grado arbitrariamente alto. Este teorema, conocido como la fórmula de Thomae , fue expresado completamente por Hiroshi Umemura ^[16] en 1984, quien utilizó formas modulares de Siegel en lugar de las trascendentes exponenciales/elípticas, y reemplazó la integral por una integral hiperelíptica . $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right)}$$ $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\exp ^{-1}x\right).}$$ ${\textstyle \int _{1}^{x}dt/t}$ ${\displaystyle \exp }$

Derivación de Glasser

Esta derivación debida a M. Lawrence Glasser ^[17] generaliza el método de series presentado anteriormente en este artículo para encontrar una solución a cualquier ecuación trinomial de la forma: $${\displaystyle x^{N}-x+t=0}$$

En particular, la ecuación de quinto grado se puede reducir a esta forma mediante el uso de transformaciones de Tschirnhaus como se muestra arriba. Sea , la forma general se convierte en: donde ${\displaystyle x=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$ $${\displaystyle \zeta =e^{2\pi i}+t\phi (\zeta )}$$ $${\displaystyle \phi (\zeta )=\zeta ^{\frac {N}{N-1}}}$$

Una fórmula debida a Lagrange establece que para cualquier función analítica , en la vecindad de una raíz de la ecuación general transformada en términos de , anterior puede expresarse como una serie infinita : ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle \zeta \,}$ $${\displaystyle f(\zeta )=f(e^{2\pi i})+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {d^{n-1}}{da^{n-1}}}[f'(a)|\phi (a)|^{n}]_{a=e^{2\pi i}}}$$

Si introducimos esta fórmula, podemos obtener la raíz: ${\displaystyle f(\zeta )=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$ $${\displaystyle x_{k}=e^{-{\frac {2k\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{N-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(te^{\frac {2k\pi i}{N-1}})^{n}}{\Gamma (n+2)}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {Nn}{N-1}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{N-1}}+1\right)}}}$$ $${\displaystyle k=1,2,3,\dots ,N-1\,}$$

Mediante el uso del teorema de multiplicación de Gauss, la serie infinita anterior puede descomponerse en una serie finita de funciones hipergeométricas : $${\displaystyle \psi _{n}(q)=\left({\frac {e^{\frac {2n\pi i}{N-1}}t}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}{\frac {\prod _{k=0}^{N-1}\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {1+k}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+1\right)\prod _{k=0}^{N-2}\Gamma \left({\frac {q+k+2}{N-1}}\right)}}=\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}\prod _{k=2}^{N}{\frac {\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {k-1}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q+k}{N-1}}\right)}}}$$

$${\displaystyle x_{n}=e^{-{\frac {2n\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{n}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}},\quad n=1,2,3,\dots ,N-1}$$

$${\displaystyle x_{N}=\sum _{m=1}^{N-1}{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{m}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2m\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}}}$$

y el trinomio de la forma tiene raíces $${\displaystyle ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod {2}}}$$ $${\displaystyle x_{N}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle x_{N-1}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}-{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}={}&-e^{\frac {2n\pi i}{N-2}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {N-5}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}},;\\[8pt]{\frac {1}{N-2}},{\frac {2}{N-2}},\cdots ,{\frac {2N-5}{2N-4}},;\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+\\&+{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}\sum _{q=1}^{N-3}{\frac {\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+q\right)}{\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+1\right)}}\cdot \left(-{\frac {c}{b}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}\right)^{q}\cdot {\frac {e^{{\frac {2n\left(1-2q\right)}{N-2}}\pi i}}{q!}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}};\\[8pt]{\frac {q+1}{N-2}},{\frac {q+2}{N-2}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {q+N-2}{N-2}},{\frac {2q+2N-5}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}},n=1,2,\cdots ,N-2\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, una raíz de la ecuación puede expresarse como la suma de, como máximo, funciones hipergeométricas. Aplicando este método a la ecuación de quinto grado reducida de Bring-Jerrard, defina las siguientes funciones: que son las funciones hipergeométricas que aparecen en la fórmula de la serie anterior. Las raíces de la ecuación de quinto grado son, por lo tanto: ${\displaystyle N-1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(t)&=\,_{4}F_{3}\left(-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{2}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{3}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}};{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{4}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}};{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{rcrcccccc}x_{1}&=&{}-tF_{2}(t)\\[1ex]x_{2}&=&{}-F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{3}&=&F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{4}&=&{}-iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{5}&=&iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\\end{array}}}$$

Este es esencialmente el mismo resultado que el obtenido con el método siguiente.

El método de los disolventes diferenciales

James Cockle ^[18] y Robert Harley ^[19] desarrollaron, en 1860, un método para resolver la ecuación de quinto grado mediante ecuaciones diferenciales. Consideran las raíces como funciones de los coeficientes y calculan una resolvente diferencial basada en estas ecuaciones. La ecuación de quinto grado de Bring-Jerrard se expresa como una función: y se debe determinar una función tal que: $${\displaystyle f(x)=x^{5}-x+a}$$ ${\displaystyle \,\phi (a)\,}$ $${\displaystyle f[\phi (a)]=0}$$

La función también debe satisfacer las siguientes cuatro ecuaciones diferenciales: ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df[\phi (a)]}{da}}=0\\[6pt]{\frac {d^{2}f[\phi (a)]}{da^{2}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{3}f[\phi (a)]}{da^{3}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{4}f[\phi (a)]}{da^{4}}}=0\end{aligned}}}$$

Al expandirlos y combinarlos entre sí se obtiene el resolutivo diferencial: $${\displaystyle {\frac {(256-3125a^{4})}{1155}}{\frac {d^{4}\phi }{da^{4}}}-{\frac {6250a^{3}}{231}}{\frac {d^{3}\phi }{da^{3}}}-{\frac {4875a^{2}}{77}}{\frac {d^{2}\phi }{da^{2}}}-{\frac {2125a}{77}}{\frac {d\phi }{da}}+\phi =0}$$

La solución de la resolvente diferencial, al ser una ecuación diferencial ordinaria de cuarto orden, depende de cuatro constantes de integración , que deben elegirse de modo que satisfagan la ecuación de quinto orden original. Se trata de una ecuación diferencial ordinaria fuchsiana de tipo hipergeométrico, ^[20] cuya solución resulta idéntica a la serie de funciones hipergeométricas que surgieron en la derivación de Glasser anterior. ^[5]

Este método también puede generalizarse a ecuaciones de grado arbitrariamente alto, con resolventes diferenciales que son ecuaciones diferenciales parciales , cuyas soluciones involucran funciones hipergeométricas de varias variables. ^{[21] [22]} Una fórmula general para resolventes diferenciales de polinomios univariados arbitrarios está dada por la fórmula de suma de potencia de Nahay. ^{[23] [24]}

Iteración de Doyle-McMullen

En 1989, Peter Doyle y Curt McMullen derivaron un método de iteración ^[25] que resuelve una ecuación quintica en forma normal de Brioschi: El algoritmo de iteración procede de la siguiente manera: $${\displaystyle x^{5}-10Cx^{3}+45C^{2}x-C^{2}=0.}$$

1. Colocar ${\displaystyle Z=1-1728C}$
2. Calcular la función racional donde es una función polinómica dada a continuación, y es la derivada de con respecto a $${\displaystyle T_{Z}(w)=w-12{\frac {g(Z,w)}{g'(Z,w)}}}$$ ${\displaystyle g(Z,w)}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle g(Z,w)}$ ${\displaystyle w}$
3. Itera sobre un valor inicial aleatorio hasta que converja. Llame al punto límite y sea . ${\displaystyle T_{Z}[T_{Z}(w)]}$ ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$
4. Calcular dónde es una función polinómica dada a continuación. Hacer esto para y . $${\displaystyle \mu _{i}={\frac {100Z(Z-1)h(Z,w_{i})}{g(Z,w_{i})}}}$$ ${\displaystyle h(Z,w)}$ ${\displaystyle w_{1}\,}$ ${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$
5. Finalmente, calcule para i = 1, 2. Éstas son dos de las raíces de la ecuación quintica de Brioschi. $${\displaystyle x_{i}={\frac {(9+{\sqrt {15}}i)\mu _{i}+(9-{\sqrt {15}}i)\mu _{3-i}}{90}}}$$

Las dos funciones polinómicas y son las siguientes: ${\displaystyle g(Z,w)\,}$ ${\displaystyle h(Z,w)\,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g(Z,w)={}&91125Z^{6}\\&{}+(-133650w^{2}+61560w-193536)Z^{5}\\&{}+(-66825w^{4}+142560w^{3}+133056w^{2}-61140w+102400)Z^{4}\\&{}+(5940w^{6}+4752w^{5}+63360w^{4}-140800w^{3})Z^{3}\\&{}+(-1485w^{8}+3168w^{7}-10560w^{6})Z^{2}\\&{}+(-66w^{10}+440w^{9})Z\\&{}+w^{12}\\[8pt]h(Z,w)={}&(1215w-648)Z^{4}\\&{}+(-540w^{3}-216w^{2}-1152w+640)Z^{3}\\&{}+(378w^{5}-504w^{4}+960w^{3})Z^{2}\\&{}+(36w^{7}-168w^{6})Z\\&{}+w^{9}\end{aligned}}}$$

Este método de iteración produce dos raíces de la ecuación de quinto grado. Las tres raíces restantes se pueden obtener mediante división sintética para dividir las dos raíces, lo que produce una ecuación cúbica. Debido a la forma en que se formula la iteración, este método parece encontrar siempre dos raíces conjugadas complejas de la ecuación de quinto grado, incluso cuando todos los coeficientes de la ecuación de quinto grado son reales y la estimación inicial es real. Este método de iteración se deriva de las simetrías del icosaedro y está estrechamente relacionado con el método que Felix Klein describe en su libro. ^[2]

Véase también

• Teoría de ecuaciones

Referencias

Notas

1. y Estas funciones están relacionadas con las funciones theta de Jacobi por y ${\displaystyle \varphi ^{8}(\tau )+\psi ^{8}(\tau )=1}$ ${\displaystyle \psi (\tau )=\varphi (-1/\tau ).}$ ${\displaystyle \varphi ^{2}(\tau )=\vartheta _{10}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau )}$ ${\displaystyle \psi ^{2}(\tau )=\vartheta _{01}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau ).}$
2. Los coeficientes de las expansiones de la serie de Fourier se dan de la siguiente manera: Si y , entonces y donde , , , , , , , , , y las secuencias y son -periódicas. ${\textstyle \varphi (\tau )={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\sum _{j=0}^{\infty }c_{j}e^{j\pi i\tau }}$ ${\textstyle \psi (\tau )=\sum _{j=0}^{\infty }c_{j}'e^{j\pi i\tau }}$ ${\textstyle c_{n}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{d|n}da_{d}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(\sum _{d|k}da_{d}\right)c_{n-k}\right)}$ ${\textstyle c_{n}'={\frac {1}{n}}\left(\sum _{d|n}da_{d}'+\sum _{k=1}^{n-1}\left(\sum _{d|k}da_{d}'\right)c_{n-k}'\right)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle c_{0}=c_{0}'=1}$ ${\displaystyle a_{1}=-1}$ ${\displaystyle a_{2}=2}$ ${\displaystyle a_{3}=-1}$ ${\displaystyle a_{4}=0}$ ${\displaystyle a_{1}'=-2}$ ${\displaystyle a_{2}'=1}$ ${\displaystyle a_{3}'=-2}$ ${\displaystyle a_{4}'=0}$ ${\displaystyle (a)}$ ${\displaystyle (a')}$ ${\displaystyle 4}$
3. Cuando n = 2, los parámetros están vinculados por una ecuación de grado 8 en . ${\displaystyle u}$
4. Algunas referencias definen y Luego la ecuación modular se resuelve en su lugar y tiene las raíces y ${\displaystyle u=\varphi (\tau )}$ ${\displaystyle v=\varphi (n\tau ).}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v=\varepsilon (n)\varphi (n\tau )}$ ${\displaystyle v=\varphi [(\tau +16m)/n].}$
5. De manera equivalente, (por la ley de reciprocidad cuadrática ). ${\displaystyle \varepsilon (n)=(-1)^{(n^{2}-1)/8}}$

Otro

1. Adamchik, Victor (2003). "Transformaciones polinómicas de Tschirnhaus, Bring y Jerrard" (PDF) . Boletín ACM SIGSAM . 37 (3): 91. CiteSeerX 10.1.1.10.9463 . doi :10.1145/990353.990371. S2CID  53229404. Archivado desde el original (PDF) el 26 de febrero de 2009. 
2. Klein, Felix (1888). Lecciones sobre el icosaedro y la solución de ecuaciones de quinto grado. Trübner & Co. ISBN 978-0-486-49528-6.
3. Jerrard, George Birch (1859). Un ensayo sobre la resolución de ecuaciones. Londres, Reino Unido: Taylor & Francis .
4. "Resolver la ecuación de quinto grado con Mathematica". Wolfram Research . Archivado desde el original el 1 de julio de 2014.
5. Drociuk, Richard J. (2000). "Sobre la solución completa del polinomio de quinto grado más general". arXiv : math.GM/0005026 .
6. King, R. Bruce (1996). Más allá de la ecuación cuártica . Birkhäuser. pp. 131. ISBN 978-3-7643-3776-6.
7. Hermite, Charles (1858). "Sobre la resolución de la ecuación del quinto grado". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . XLVI (I): 508–515.
8. Brioschi, Francesco (1858). "Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado". Atti Dell'i. R. Istituto Lombardo di Scienze, Lettere ed Arti . Yo : 275–282.
9. Kronecker, Leopold (1858). "Sobre la resolución de la ecuación del cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . XLVI (I): 1150-1152.
10. Borwein, Jonathan M. ; Borwein, Peter B. (1987). Pi y el AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera edición). Wiley-Interscience . ISBN 0-471-83138-7.p. 126. Nótese que si , y si . Hay un error tipográfico en la página: debería ser en su lugar. ${\displaystyle \Omega _{p}(u,v)=\Omega _{p}(v,u)}$ ${\displaystyle p\equiv \pm 1{\pmod {8}}}$ ${\displaystyle \Omega _{p}(u,v)=-\Omega _{p}(v,-u)}$ ${\displaystyle p\equiv \pm 3{\pmod {8}}}$ ${\displaystyle k=0,2,\ldots ,p-1}$ ${\displaystyle k=0,1,2\ldots ,p-1}$
11. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y el AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera edición). Wiley-Interscience. pág. 127. ISBN 0-471-83138-7.La tabla muestra que al igualarlo a cero y multiplicarlo por se obtiene la ecuación de este artículo. ${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{5}(u,v)=&-u^{6}+4u^{5}v^{5}-5u^{4}v^{2}+5u^{2}v^{4}\\&-4uv+v^{6}.\end{aligned}}}$ ${\displaystyle -1}$
12. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y el AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera edición). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pág. 135
13. Davis, Harold T. (1962). Introducción a las ecuaciones diferenciales e integrales no lineales . Dover. pp. 173. ISBN 978-0-486-60971-3.
14. Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré de Hermite (1859), p. 7
15. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y el AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera edición). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pág. 136
16. Umemura, Hiroshi (2007). "Resolución de ecuaciones algebraicas mediante constantes theta". En Mumford, David (ed.). Tata Lectures on Theta II . Modern Birkhäuser Classics. Boston, MA: Birkhäuser. págs. 261–270. doi :10.1007/978-0-8176-4578-6_18. ISBN 9780817645694.
17. Glasser, M. Lawrence (1994). "La fórmula cuadrática se volvió difícil: un enfoque menos radical para resolver ecuaciones". arXiv : math.CA/9411224 .
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19. Harley, Robert (1862). "Sobre la solución trascendental de ecuaciones algebraicas". Quart. J. Pure Appl. Math . 5 : 337–361.
20. Slater, Lucy Joan (1966). Funciones hipergeométricas generalizadas . Cambridge University Press . Págs. 42-44. ISBN. 978-0-521-06483-5.
21. Birkeland, Richard (1927). "Über die Auflösung algebraischer Gleichungen durch hypergeometrische Funktionen" [Sobre la solución de ecuaciones algebraicas mediante funciones hipergeométricas]. Mathematische Zeitschrift (en alemán). 26 : 565–578. doi :10.1007/BF01475474. S2CID  120762456 . Consultado el 1 de julio de 2017 .
22. Mayr, Karl (1937). "Über die Auflösung algebraischer Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen". Monatshefte für Mathematik und Physik . 45 : 280–313. doi :10.1007/BF01707992. S2CID  197662587.
23. Nahay, John (2004). "Fórmula de suma de potencias para resolventes diferenciales". Revista internacional de matemáticas y ciencias matemáticas . 2004 (7): 365–371. doi : 10.1155/S0161171204210602 .
24. Nahay, John (2000). Resolventes diferenciales lineales (tesis doctoral). Piscataway, NJ: Universidad Rutgers.Richard M. Cohn, asesor.
25. Doyle, Peter; McMullen, Curt (1989). "Resolución de la ecuación de quinto grado mediante iteración" (PDF) . Acta Mathematica . 163 : 151–180. doi : 10.1007/BF02392735 . S2CID  14827783.

Fuentes

• Mirzaei, Raoof (2012). Espinores y funciones especiales para resolver ecuaciones de grado n . Simposio Internacional de Mathematica.
• Klein, F. (1888). Lecciones sobre el icosaedro y la solución de ecuaciones de quinto grado. Traducido por Morrice, George Gavin. Trübner & Co. ISBN 0-486-49528-0.
• King, R. Bruce (1996). Más allá de la ecuación cuártica . Birkhäuser. ISBN 3-7643-3776-1.
• Davis, Harold T. (1962). Introducción a las ecuaciones diferenciales e integrales no lineales . Dover. Capítulo 6, especialmente §20 y §21. ISBN 0-486-60971-5.

Enlaces externos

• Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Transformación de Tschirnhausen", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Forma quíntica de Bring-Jerrard". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Traer la forma quíntica". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Ultraradical". MathWorld .