Función hipergeométrica

Función definida por una serie hipergeométrica

Gráfica de la función hipergeométrica 2F1(a,b; c; z) con a=2 y b=3 y c=4 en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

En matemáticas , la función hipergeométrica gaussiana u ordinaria ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) es una función especial representada por la serie hipergeométrica , que incluye muchas otras funciones especiales como casos específicos o limitantes . Es una solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal (EDO) de segundo orden. Cada EDO lineal de segundo orden con tres puntos singulares regulares se puede transformar en esta ecuación.

Para obtener listas sistemáticas de algunas de las miles de identidades publicadas que involucran la función hipergeométrica, consulte los trabajos de referencia de Erdélyi et al. (1953) y Olde Daalhuis (2010). No existe ningún sistema conocido para organizar todas las identidades; de hecho, no existe ningún algoritmo conocido que pueda generar todas las identidades; Se conocen varios algoritmos diferentes que generan diferentes series de identidades. La teoría del descubrimiento algorítmico de identidades sigue siendo un tema de investigación activo.

Historia

El término "serie hipergeométrica" ​​fue utilizado por primera vez por John Wallis en su libro Arithmetica Infinitorum de 1655 .

Las series hipergeométricas fueron estudiadas por Leonhard Euler , pero el primer tratamiento sistemático completo lo dio Carl Friedrich Gauss  (1813).

Los estudios del siglo XIX incluyeron los de Ernst Kummer  (1836) y la caracterización fundamental de Bernhard Riemann  (1857) de la función hipergeométrica mediante la ecuación diferencial que satisface.

Riemann demostró que la ecuación diferencial de segundo orden para ₂ F ₁ ( z ), examinada en el plano complejo, podía caracterizarse (en la esfera de Riemann ) por sus tres singularidades regulares .

Los casos en los que las soluciones son funciones algebraicas fueron encontrados por Hermann Schwarz ( lista de Schwarz ).

La serie hipergeométrica

La función hipergeométrica está definida para | z | < 1 por la serie de potencias

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots .}$$

Es indefinido (o infinito) si c es igual a un número entero no positivo . Aquí ( q ) _n es el símbolo de Pochhammer (ascendente) , que se define por:

$${\displaystyle (q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}}$$

La serie termina si a o b es un número entero no positivo, en cuyo caso la función se reduce a un polinomio:

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}{\binom {m}{n}}{\frac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}.}$$

Para argumentos complejos z con | z | ≥ 1 se puede continuar analíticamente a lo largo de cualquier camino en el plano complejo que evite los puntos de bifurcación 1 e infinito. En la práctica, la mayoría de las implementaciones informáticas de la función hipergeométrica adoptan un corte de rama a lo largo de la línea z  ≥ 1 .

Como c → − m , donde m es un número entero no negativo, se tiene ₂ F ₁ ( z ) → ∞ . Dividiendo por el valor Γ( c ) de la función gamma , tenemos el límite:

$${\displaystyle \lim _{c\to -m}{\frac {{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}{\Gamma (c)}}={\frac {(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}}z^{m+1}{}_{2}F_{1}(a+m+1,b+m+1;m+2;z)}$$

₂ F ₁ ( z ) es el tipo más común de serie hipergeométrica generalizada _p F _q , y a menudo se designa simplemente F ( z ) .

Fórmulas de diferenciación

Usando la identidad , se demuestra que ${\displaystyle (a)_{n+1}=a(a+1)_{n}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {ab}{c}}\ {}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$$

y más en general,

$${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)}$$

Casos especiales

Muchas de las funciones matemáticas comunes se pueden expresar en términos de la función hipergeométrica o como casos límite de la misma. Algunos ejemplos típicos son

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a}\quad (b{\text{ arbitrary}})\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\\\end{aligned}}}$$

Cuando a = 1 y b = c , la serie se reduce a una serie geométrica simple , es decir

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,b;b;z\right)&=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+\cdots \end{aligned}}}$$

de ahí el nombre hipergeométrico . Esta función puede considerarse como una generalización de la serie geométrica .

La función hipergeométrica confluente (o función de Kummer) se puede dar como límite de la función hipergeométrica

$${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;b^{-1}z)}$$

por lo que todas las funciones que son esencialmente casos especiales, como las funciones de Bessel , pueden expresarse como límites de funciones hipergeométricas. Estos incluyen la mayoría de las funciones comúnmente utilizadas de la física matemática.

Las funciones de Legendre son soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden con 3 puntos singulares regulares, por lo que pueden expresarse en términos de la función hipergeométrica de muchas maneras, por ejemplo

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}$$

Varios polinomios ortogonales, incluidos los polinomios de Jacobi P^(α,β)
_nortey sus casos especiales Los polinomios de Legendre , los polinomios de Chebyshev y los polinomios de Gegenbauer se pueden escribir en términos de funciones hipergeométricas usando

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}$$

Otros polinomios que son casos especiales incluyen los polinomios de Krawtchouk , los polinomios de Meixner y los polinomios de Meixner-Pollaczek .

Dado , deja ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

$${\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z{\bigr )}}{{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z{\bigr )}}}.}$$

Entonces

$${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}=z}$$

es la función lambda modular , donde

$${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau n^{2}}.}$$

La j-invariante , una función modular , es una función racional en . ${\displaystyle \lambda (\tau )}$

Las funciones beta incompletas B _x ( p , q ) están relacionadas por

$${\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x).}$$

Las integrales elípticas completas K y E están dadas por

$${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right),\\E(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).\end{aligned}}}$$

La ecuación diferencial hipergeométrica

La función hipergeométrica es una solución de la ecuación diferencial hipergeométrica de Euler.

$${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$$

que tiene tres puntos singulares regulares : 0,1 y ∞. La generalización de esta ecuación a tres puntos singulares regulares arbitrarios viene dada por la ecuación diferencial de Riemann . Cualquier ecuación diferencial lineal de segundo orden con tres puntos singulares regulares se puede convertir en una ecuación diferencial hipergeométrica mediante un cambio de variables.

Soluciones en los puntos singulares.

Las soluciones a la ecuación diferencial hipergeométrica se construyen a partir de la serie hipergeométrica ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ). La ecuación tiene dos soluciones linealmente independientes . En cada uno de los tres puntos singulares 0, 1, ∞, generalmente hay dos soluciones especiales de la forma x ^s multiplicada por una función holomorfa de x , donde s es una de las dos raíces de la ecuación inicial y x es una variable local que desaparece en un punto singular regular. Esto da 3 × 2 = 6 soluciones especiales, como sigue.

Alrededor del punto z  = 0, dos soluciones independientes son, si c no es un entero no positivo,

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$$

y, con la condición de que c no sea un número entero,

$${\displaystyle z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$$

Si c es un número entero no positivo 1− m , entonces la primera de estas soluciones no existe y debe ser reemplazada por La segunda solución no existe cuando c es un número entero mayor que 1 y es igual a la primera solución, o su reemplazo, cuando c es cualquier otro número entero. Entonces, cuando c es un número entero, se debe usar una expresión más complicada para una segunda solución, igual a la primera solución multiplicada por ln( z ), más otra serie en potencias de z , que involucra la función digamma . Véase Olde Daalhuis (2010) para más detalles. ${\displaystyle z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z).}$

Alrededor de z  = 1, si c  −  a  −  b no es un número entero, se tienen dos soluciones independientes

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}$$

y

$${\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\;_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)}$$

Alrededor de z  = ∞, si a  −  b no es un número entero, se tienen dos soluciones independientes

$${\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}$$

y

$${\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}$$

Nuevamente, cuando no se cumplen las condiciones de no integralidad, existen otras soluciones que son más complicadas.

Cualesquiera 3 de las 6 soluciones anteriores satisfacen una relación lineal ya que el espacio de soluciones es bidimensional, dando (⁶
₃) = 20 relaciones lineales entre ellas llamadas fórmulas de conexión .

Las 24 soluciones de Kummer

Una ecuación fucsiana de segundo orden con n puntos singulares tiene un grupo de simetrías que actúan (proyectivamente) sobre sus soluciones, isomorfas al grupo de Coxeter W( D _n ) de orden 2 ^{n −1} n !. La ecuación hipergeométrica es el caso n = 3, con un grupo de orden 24 isomorfo al grupo simétrico en 4 puntos, como lo describió por primera vez Kummer . La aparición del grupo simétrico es accidental y no tiene análogo para más de 3 puntos singulares, y a veces es mejor pensar en el grupo como una extensión del grupo simétrico en 3 puntos (actuando como permutaciones de los 3 puntos singulares) por un grupo de 4 de Klein (cuyos elementos cambian los signos de las diferencias de los exponentes en un número par de puntos singulares). El grupo de 24 transformaciones de Kummer se genera mediante las tres transformaciones que toman una solución F ( a , b ; c ; z ) a una de

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\F(a,b;1+a+b-c;1-z)\\(1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\end{aligned}}}$$

que corresponden a las transposiciones (12), (23) y (34) bajo un isomorfismo con el grupo simétrico en 4 puntos 1, 2, 3, 4. (El primero y el tercero de estos son en realidad iguales a F ( a , b ; c ; z ) mientras que la segunda es una solución independiente de la ecuación diferencial.)

La aplicación de las transformaciones 24 = 6 × 4 de Kummer a la función hipergeométrica da las soluciones 6 = 2 × 3 anteriores correspondientes a cada uno de los 2 posibles exponentes en cada uno de los 3 puntos singulares, cada uno de los cuales aparece 4 veces debido a las identidades.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)&&{\text{Euler transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\end{aligned}}}$$

forma Q

La ecuación diferencial hipergeométrica se puede llevar a la forma Q

$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0}$$

haciendo la sustitución u = wv y eliminando el término de la primera derivada. Uno encuentra que

$${\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}$$

y v está dada por la solución de

$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}}$$

cual es

$${\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}$$

La forma Q es significativa en su relación con la derivada de Schwarz (Hille 1976, págs. 307-401).

Mapas del triángulo de Schwarz

Los mapas del triángulo de Schwarz o funciones s de Schwarz son razones de pares de soluciones.

$${\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}}$$

donde k es uno de los puntos 0, 1, ∞. la notación

$${\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)}$$

A veces también se utiliza. Tenga en cuenta que los coeficientes de conexión se convierten en transformaciones de Möbius en los mapas de triángulos.

Tenga en cuenta que cada mapa de triángulos es regular en z ∈ {0, 1, ∞} respectivamente, con

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))\\s_{1}(z)&=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}$$

En el caso especial de λ, μ y ν reales, con 0 ≤ λ,μ,ν < 1, entonces los s-maps son mapas conformes del semiplano superior H a triángulos en la esfera de Riemann , delimitados por arcos circulares. Este mapeo es una generalización del mapeo de Schwarz-Christoffel a triángulos con arcos circulares. Los puntos singulares 0,1 y ∞ se envían a los vértices del triángulo. Los ángulos del triángulo son πλ, πμ y πν respectivamente.

Además, en el caso de λ=1/ p , μ=1/ q y ν=1/ r para números enteros p , q , r , entonces el triángulo mosaico la esfera, el plano complejo o el semiplano superior según sea λ + μ + ν – 1 es positivo, cero o negativo; y los s-maps son funciones inversas de funciones automórficas para el grupo de triángulos〈p ,  q ,  r〉 = Δ( p ,  q ,  r ).

grupo monodromía

La monodromía de una ecuación hipergeométrica describe cómo cambian las soluciones fundamentales cuando continúan analíticamente alrededor de trayectorias en el plano z que regresan al mismo punto. Es decir, cuando el camino gira alrededor de una singularidad de ₂ F ₁ , el valor de las soluciones en el punto final diferirá del punto inicial.

Dos soluciones fundamentales de la ecuación hipergeométrica están relacionadas entre sí mediante una transformación lineal; por tanto, la monodromía es un mapeo (homomorfismo de grupo):

$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )}$$

donde π ₁ es el grupo fundamental . En otras palabras, la monodromía es una representación lineal bidimensional del grupo fundamental. El grupo monodromía de la ecuación es la imagen de este mapa, es decir, el grupo generado por las matrices monodromía. La representación monodromía del grupo fundamental se puede calcular explícitamente en términos de los exponentes en los puntos singulares. ^[1] Si (α, α'), (β, β') y (γ,γ') son los exponentes en 0, 1 y ∞, entonces, tomando z ₀ cerca de 0, los bucles alrededor de 0 y 1 tienen monodromía. matrices

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\\g_{1}&={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \over \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2}}\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$

dónde

$${\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}.}$$

Si 1− a , c − a − b , a − b son números racionales no enteros con denominadores k , l , m , entonces el grupo de monodromía es finito si y solo si , consulte la lista de Schwarz o el algoritmo de Kovacic . ${\displaystyle 1/k+1/l+1/m>1}$

Fórmulas integrales

tipo Euler

Si B es la función beta entonces

$${\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,}$$

siempre que z no sea un número real tal que sea mayor o igual a 1. Esto se puede demostrar expandiendo (1 −  zx ) ^{− a} usando el teorema del binomio y luego integrando término por término para z con valor absoluto menor que 1 , y por continuación analítica en otros lugares. Cuando z es un número real mayor o igual a 1, se debe usar la continuación analítica, porque (1 −  zx ) es cero en algún punto en el soporte de la integral, por lo que el valor de la integral puede estar mal definido. Esto fue dado por Euler en 1748 e implica las transformaciones hipergeométricas de Euler y Pfaff.

Otras representaciones, correspondientes a otras ramas , se dan tomando el mismo integrando, pero tomando el camino de la integración como un ciclo cerrado de Pochhammer que encierra las singularidades en varios órdenes. Estos caminos corresponden a la acción monodromía .

Integral de Barnes

Barnes utilizó la teoría de los residuos para evaluar la integral de Barnes.

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds}$$

como

$${\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$$

donde se dibuja el contorno para separar los polos 0, 1, 2... de los polos − a , − a  − 1, ..., − b , − b  − 1, ... . Esto es válido siempre que z no sea un número real no negativo.

Juan transforma

La función hipergeométrica de Gauss se puede escribir como una transformada de John (Gelfand, Gindikin y Graev 2003, 2.1.2).

Relaciones contiguas de Gauss

Las seis funciones

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)}$$

se llaman contiguos a ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) . Gauss demostró que ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) se puede escribir como una combinación lineal de dos de sus funciones contiguas cualesquiera, con coeficientes racionales en términos de a , b , c y z . Esto da

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=15}$$

relaciones, dadas al identificar dos líneas cualesquiera en el lado derecho de

$${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dF}{dz}}&=z{\frac {ab}{c}}F(a+,b+,c+)\\&=a(F(a+)-F)\\&=b(F(b+)-F)\\&=(c-1)(F(c-)-F)\\&={\frac {(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}}\\&={\frac {(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}}\\&=z{\frac {(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}}\end{aligned}}}$$

donde F = ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ), F ( a +) = ₂ F ₁ ( a + 1, b ; c ; z ) , y así sucesivamente. La aplicación repetida de estas relaciones da una relación lineal sobre C (z) entre tres funciones cualesquiera de la forma

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a+m,b+n;c+l;z),}$$

donde m , n y l son números enteros.

Fracción continua de Gauss

Gauss usó las relaciones contiguas para dar varias formas de escribir un cociente de dos funciones hipergeométricas como una fracción continua, por ejemplo:

$${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$$

Fórmulas de transformación

Las fórmulas de transformación relacionan dos funciones hipergeométricas con diferentes valores del argumento z .

Transformaciones lineales fraccionarias

La transformación de Euler es

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c,z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}$$

Transformaciones cuadráticas

Si dos de los números 1 −  c , c  − 1, a  −  b , b  −  a , a  +  b  −  c , c  −  a  −  b son iguales o uno de ellos es 1/2 entonces hay una transformación cuadrática de función hipergeométrica, conectándola a un valor diferente de z relacionado por una ecuación cuadrática. Los primeros ejemplos los dio Kummer (1836) y Goursat (1881) dio una lista completa. Un ejemplo típico es

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)}$$

Transformaciones de orden superior

Si 1− c , a − b , a + b − c difieren en signos o dos de ellos son 1/3 o −1/3 entonces hay una transformación cúbica de la función hipergeométrica, conectándola a un valor diferente de z relacionado por una ecuación cúbica. Los primeros ejemplos los dio Goursat (1881). Un ejemplo típico es

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)}$$

También hay algunas transformaciones de grado 4 y 6. Las transformaciones de otros grados sólo existen si a , b y c son ciertos números racionales (Vidunas 2005). Por ejemplo,

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}$$

Valores en puntos especiales z

Véase Slater (1966, Apéndice III) para obtener una lista de fórmulas de suma en puntos especiales, la mayoría de las cuales también aparecen en Bailey (1935). Gessel y Stanton (1982) ofrecen evaluaciones adicionales en más puntos. Koepf (1995) muestra cómo la mayoría de estas identidades pueden verificarse mediante algoritmos informáticos.

Valores especiales en z  = 1

El teorema de la suma de Gauss, llamado así por Carl Friedrich Gauss , es la identidad

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}$$

que se sigue de la fórmula integral de Euler al poner z  = 1. Incluye la identidad de Vandermonde como un caso especial.

Para el caso especial donde , ${\displaystyle a=-m}$

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}}$$

La fórmula de Dougall generaliza esto a la serie hipergeométrica bilateral en z  = 1.

Teorema de Kummer ( z  = −1)

Hay muchos casos en los que las funciones hipergeométricas se pueden evaluar en z  = −1 usando una transformación cuadrática para cambiar z  = −1 a z  = 1 y luego usando el teorema de Gauss para evaluar el resultado. Un ejemplo típico es el teorema de Kummer, llamado así por Ernst Kummer :

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}$$

que se sigue de las transformaciones cuadráticas de Kummer

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$

y el teorema de Gauss poniendo z  = −1 en la primera identidad. Para una generalización del resumen de Kummer, véase Lavoie, Grondin y Rathie (1996).

Valores en z  = 1/2

El segundo teorema de la suma de Gauss es

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$$

El teorema de Bailey es

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}$$

Para generalizaciones del segundo teorema de suma de Gauss y del teorema de suma de Bailey, véase Lavoie, Grondin y Rathie (1996).

Otros puntos

Hay muchas otras fórmulas que dan la función hipergeométrica como un número algebraico para valores racionales especiales de los parámetros, algunas de las cuales se enumeran en Gessel y Stanton (1982) y Koepf (1995). Algunos ejemplos típicos son dados por

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}$$

que puede reformularse como

$${\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)}$$

siempre que −π < x < π y T sea el polinomio de Chebyshev (generalizado) .

Ver también

• Serie de Appell , una generalización de 2 variables de series hipergeométricas
• Serie hipergeométrica básica donde la relación de términos es una función periódica del índice
• Las series hipergeométricas bilaterales _p H _p son similares a las series hipergeométricas generalizadas, pero suman todos los números enteros
• Serie binomial ₁ F ₀
• Serie hipergeométrica confluente ₁ F ₁ ( a ; c ; z )
• Serie hipergeométrica elíptica donde la proporción de términos es una función elíptica del índice
• Integral hipergeométrica de Euler , una representación integral de ₂ F ₁
• Función H de Fox , una extensión de la función G de Meijer
• Función de Fox-Wright , una generalización de la función hipergeométrica generalizada
• Solución de Frobenius a la ecuación hipergeométrica.
• Función hipergeométrica general introducida por IM Gelfand .
• Serie hipergeométrica generalizada _p F _q donde la relación de términos es una función racional del índice
• Serie geométrica , donde la proporción de términos es una constante
• Función de Heun , soluciones de EDO de segundo orden con cuatro puntos singulares regulares
• Función Horn , 34 series hipergeométricas convergentes distintas en dos variables
• Serie de Humbert 7 funciones hipergeométricas de 2 variables.
• Distribución hipergeométrica , una distribución de probabilidad discreta.
• Función hipergeométrica de un argumento matricial , la generalización multivariada de la serie hipergeométrica
• Función Kampé de Fériet , serie hipergeométrica de dos variables
• Serie hipergeométrica de Lauricella , serie hipergeométrica de tres variables
• Función E de MacRobert , una extensión de la serie hipergeométrica generalizada _p F _q al caso p > q +1.
• Función G de Meijer , una extensión de la serie hipergeométrica generalizada _p F _q al caso p > q +1.
• Serie hipergeométrica modular , una forma terminal de la serie hipergeométrica elíptica
• Serie hipergeométrica theta , un tipo especial de serie hipergeométrica elíptica.
• Bloques conformes de Virasoro , funciones especiales en la teoría de campos conformes bidimensionales que se reducen a funciones hipergeométricas en algunos casos.

Referencias

1. Desde 1944, págs. 393–393

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enlaces externos

• "Función hipergeométrica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• John Pearson, Computación de funciones hipergeométricas ( Universidad de Oxford , tesis de maestría)
• Marko Petkovsek, Herbert Wilf y Doron Zeilberger, El libro "A = B" (descargable gratuitamente)
• Weisstein, Eric W. "Función hipergeométrica". MundoMatemático .