En álgebra diferencial , la teoría de Picard-Vessiot es el estudio de la extensión del campo diferencial generada por las soluciones de una ecuación diferencial lineal , utilizando el grupo de Galois diferencial de la extensión del campo. Un objetivo principal es describir cuándo la ecuación diferencial puede resolverse mediante cuadraturas en términos de propiedades del grupo de Galois diferencial. La teoría fue iniciada por Émile Picard y Ernest Vessiot desde aproximadamente 1883 hasta 1904.
Kolchin (1973) y van der Put & Singer (2003) ofrecen descripciones detalladas de la teoría de Picard-Vessiot.
Borel (2001, capítulo VIII) analiza la historia de la teoría de Picard-Vessiot.
La teoría de Picard-Vessiot fue desarrollada por Picard entre 1883 y 1898 y por Vessiot entre 1892 y 1904 (resumida en (Picard 1908, capítulo XVII) y Vessiot (1892, 1910)). El resultado principal de su teoría dice muy aproximadamente que una ecuación diferencial lineal puede resolverse por cuadraturas si y solo si su grupo de Galois diferencial es conexo y resoluble . Desafortunadamente, es difícil decir exactamente qué demostraron ya que el concepto de ser "resoluble por cuadraturas" no está definido con precisión ni se usa de manera consistente en sus artículos. Kolchin (1946, 1948) dio definiciones precisas de los conceptos necesarios y demostró una versión rigurosa de este teorema.
Kolchin (1952) extendió la teoría de Picard-Vessiot a los campos diferenciales parciales (con varias derivaciones conmutativas).
Kovacic (1986) describió un algoritmo para decidir si las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden pueden resolverse mediante cuadraturas, conocido como algoritmo de Kovacic .
Una extensión F ⊆ K de campos diferenciales se denomina extensión de Picard-Vessiot si todas las constantes están en F y K se pueden generar uniendo las soluciones de un polinomio diferencial ordinario lineal homogéneo.
Un anillo de Picard-Vessiot R sobre el campo diferencial F es un anillo diferencial sobre F que es simple (sin ideales diferenciales distintos de 0 y R ) y generado como un k -álgebra por los coeficientes de A y 1/det( A ), donde A es una matriz invertible sobre F tal que B = A ′ / A tiene coeficientes en F . (Por lo tanto, A es una matriz fundamental para la ecuación diferencial y ′ = By .)
Una extensión F ⊆ K de campos diferenciales se denomina de Liouvillian si todas las constantes están en F y K se puede generar mediante la unión de un número finito de integrales, exponenciales de integrales y funciones algebraicas. Aquí, una integral de un elemento a se define como cualquier solución de y ′ = a , y una exponencial de una integral de a se define como cualquier solución de y ′ = ay .
Una extensión de Picard-Vessiot es liouvilliana si y solo si el componente identidad de su grupo diferencial de Galois es resoluble (Kolchin 1948, p. 38, van der Put & Singer 2003, Teorema 1.39). Más precisamente, las extensiones por funciones algebraicas corresponden a grupos diferenciales de Galois finitos, las extensiones por integrales corresponden a subcocientes del grupo diferencial de Galois que son unidimensionales y unipotentes, y las extensiones por exponenciales de integrales corresponden a subcocientes del grupo diferencial de Galois que son unidimensionales y reductivos (tori).