Función hipergeométrica confluente

Solución de una ecuación hipergeométrica confluente

Gráfico de la función hipergeométrica confluente de Kummer 1F1(a;b;z) con a=1 y b=2 y entrada z² con 1F1(1,2,z²) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con Mathematica 13.1

En matemáticas , una función hipergeométrica confluente es una solución de una ecuación hipergeométrica confluente , que es una forma degenerada de una ecuación diferencial hipergeométrica en la que dos de las tres singularidades regulares se fusionan en una singularidad irregular . El término confluente se refiere a la fusión de puntos singulares de familias de ecuaciones diferenciales; confluere en latín significa "fluir juntos". Existen varias formas estándar comunes de funciones hipergeométricas confluentes:

• La función de Kummer (hipergeométrica confluente) M ( a , b , z ) , introducida por Kummer  (1837), es una solución de la ecuación diferencial de Kummer . También se la conoce como función hipergeométrica confluente de primera especie. Existe una función de Kummer diferente y no relacionada que lleva el mismo nombre.
• La función hipergeométrica confluente de Tricomi U ( a , b , z ) introducida por Francesco Tricomi  (1947), a veces denotada por Ψ( a ; b ; z ) , es otra solución de la ecuación de Kummer. También se la conoce como función hipergeométrica confluente de segundo tipo.
• Las funciones de Whittaker (para Edmund Taylor Whittaker ) son soluciones de la ecuación de Whittaker .
• Las funciones de onda de Coulomb son soluciones de la ecuación de onda de Coulomb .

Las funciones de Kummer, las funciones de Whittaker y las funciones de onda de Coulomb son esencialmente las mismas y se diferencian entre sí solo por las funciones elementales y el cambio de variables.

La ecuación de Kummer

La ecuación de Kummer puede escribirse como:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0,}$

con un punto singular regular en z = 0 y un punto singular irregular en z = ∞ . Tiene dos soluciones (normalmente) linealmente independientes M ( a , b , z ) y U ( a , b , z ) .

La función de Kummer de primer tipo M es una serie hipergeométrica generalizada introducida en (Kummer 1837), dada por:

${\displaystyle M(a,b,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}z^{n}}{b^{(n)}n!}}={}_{1}F_{1}(a;b;z),}$

dónde:

${\displaystyle a^{(0)}=1,}$

${\displaystyle a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,,}$

es el factorial ascendente . Otra notación común para esta solución es Φ( a , b , z ) . Considerada como una función de a , b o z con las otras dos constantes, esto define una función completa de a o z , excepto cuando b = 0, −1, −2, ... Como función de b es analítica excepto para los polos en los números enteros no positivos.

Algunos valores de a y b dan soluciones que se pueden expresar en términos de otras funciones conocidas. Véase #Casos especiales. Cuando a es un entero no positivo, entonces la función de Kummer (si está definida) es un polinomio de Laguerre generalizado .

Así como la ecuación diferencial confluente es un límite de la ecuación diferencial hipergeométrica a medida que el punto singular en 1 se mueve hacia el punto singular en ∞, la función hipergeométrica confluente se puede dar como un límite de la función hipergeométrica.

${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;z/b)}$

y muchas de las propiedades de la función hipergeométrica confluente son casos límite de propiedades de la función hipergeométrica.

Como la ecuación de Kummer es de segundo orden, debe haber otra solución independiente. La ecuación indicial del método de Frobenius nos dice que la potencia más baja de una solución en serie de potencias para la ecuación de Kummer es 0 o 1 − b . Si dejamos que w ( z ) sea

${\displaystyle w(z)=z^{1-b}v(z)}$

entonces la ecuación diferencial da

${\displaystyle z^{2-b}{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+2(1-b)z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}-b(1-b)z^{-b}v+(b-z)\left[z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}+(1-b)z^{-b}v\right]-az^{1-b}v=0}$

que, al dividir z ^{1− b} y simplificar, se convierte en

${\displaystyle z{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+(2-b-z){\frac {dv}{dz}}-(a+1-b)v=0.}$

Esto significa que z ^{1− b} M ( a + 1 − b , 2 − b , z ) es una solución siempre que b no sea un entero mayor que 1, así como M ( a , b , z ) es una solución siempre que b no sea un entero menor que 1. También podemos utilizar la función hipergeométrica confluente de Tricomi U ( a , b , z ) introducida por Francesco Tricomi  (1947), y a veces denotada por Ψ( a ; b ; z ) . Es una combinación de las dos soluciones anteriores, definidas por

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a+1-b)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z).}$

Aunque esta expresión no está definida para el entero b , tiene la ventaja de que puede extenderse a cualquier entero b por continuidad. A diferencia de la función de Kummer, que es una función completa de z , U ( z ) suele tener una singularidad en cero. Por ejemplo, si b = 0 y a ≠ 0, entonces Γ( a +1) U ( a , b , z ) − 1 es asintótica a az ln z cuando z tiende a cero. Pero véase #Casos especiales para algunos ejemplos en los que es una función completa (polinomio).

Nótese que la solución z ^{1− b} U ( a + 1 − b , 2 − b , z ) de la ecuación de Kummer es la misma que la solución U ( a , b , z ) , ver #Transformación de Kummer.

Para la mayoría de las combinaciones de a y b reales o complejos , las funciones M ( a , b , z ) y U ( a , b , z ) son independientes, y si b es un entero no positivo, por lo que M ( a , b , z ) no existe, entonces podemos usar z ^{1− b} M ( a +1− b , 2− b , z ) como una segunda solución. Pero si a es un entero no positivo y b no es un entero no positivo, entonces U ( z ) es un múltiplo de M ( z ) . En ese caso también, z ^{1− b} M ( a +1− b , 2− b , z ) se puede usar como una segunda solución si existe y es diferente. Pero cuando b es un entero mayor que 1, esta solución no existe, y si b = 1 entonces existe pero es múltiplo de U ( a , b , z ) y de M ( a , b , z ) En esos casos existe una segunda solución de la siguiente forma y es válida para cualquier real o complejo a y cualquier entero positivo b excepto cuando a es un entero positivo menor que b :

${\displaystyle M(a,b,z)\ln z+z^{1-b}\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}}$

Cuando a = 0 podemos utilizar alternativamente:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{z}(-u)^{-b}e^{u}\mathrm {d} u.}$

Cuando b = 1 esta es la integral exponencial E ₁ ( −z ) .

Un problema similar ocurre cuando a − b es un entero negativo y b es un entero menor que 1. En este caso M ( a , b , z ) no existe, y U ( a , b , z ) es un múltiplo de z ^{1− b} M ( a +1− b , 2− b , z ). Una segunda solución es entonces de la forma:

${\displaystyle z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z)\ln z+\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}}$

Otras ecuaciones

Las funciones hipergeométricas confluentes se pueden utilizar para resolver la ecuación hipergeométrica confluente extendida cuya forma general se da como:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-\left(\sum _{m=0}^{M}a_{m}z^{m}\right)w=0}$ ^[1]

Nótese que para M = 0 o cuando la suma involucra solo un término, se reduce a la ecuación hipergeométrica confluente convencional.

Por lo tanto, las funciones hipergeométricas confluentes se pueden utilizar para resolver la "mayoría" de las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden cuyos coeficientes variables son todos funciones lineales de z , porque se pueden transformar en la ecuación hipergeométrica confluente extendida. Consideremos la ecuación:

${\displaystyle (A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$

Primero movemos el punto singular regular a 0 usando la sustitución de A + Bz ↦ z , lo que convierte la ecuación a:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$

con nuevos valores de C, D, E y F. A continuación, utilizamos la sustitución:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z}$

y multiplica la ecuación por el mismo factor, obteniendo:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0}$

cuya solución es

${\displaystyle \exp \left(-\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {z}{2}}\right)w(z),}$

donde w ( z ) es una solución a la ecuación de Kummer con

${\displaystyle a=\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {C}{2}}-{\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},\qquad b=C.}$

Tenga en cuenta que la raíz cuadrada puede dar un número imaginario o complejo. Si es cero, se debe utilizar otra solución, a saber:

${\displaystyle \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}Dz\right)w(z),}$

donde w ( z ) es una función límite hipergeométrica confluente que satisface

${\displaystyle zw''(z)+Cw'(z)+\left(E-{\tfrac {1}{2}}CD\right)w(z)=0.}$

Como se señala a continuación, incluso la ecuación de Bessel puede resolverse utilizando funciones hipergeométricas confluentes.

Representaciones integrales

Si Re b > Re a > 0 , M ( a , b , z ) se puede representar como una integral

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du.}$

Por lo tanto, M ( a , a + b , it ) es la función característica de la distribución beta . Para a con parte real positiva, U se puede obtener mediante la integral de Laplace.

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt,\quad (\operatorname {Re} \ a>0)}$

La integral define una solución en el semiplano derecho Re z > 0 .

También se pueden representar como integrales de Barnes.

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (-s)\Gamma (a+s)}{\Gamma (b+s)}}(-z)^{s}ds}$

donde el contorno pasa a un lado de los polos de Γ(− s ) y al otro lado de los polos de Γ( a + s ) .

Comportamiento asintótico

Si una solución de la ecuación de Kummer es asintótica a una potencia de z cuando z → ∞ , entonces la potencia debe ser − a . De hecho, este es el caso de la solución de Tricomi U ( a , b , z ) . Su comportamiento asintótico cuando z → ∞ se puede deducir de las representaciones integrales. Si z = x ∈ R , entonces hacer un cambio de variables en la integral seguido de desarrollar la serie binomial e integrarla formalmente término por término da lugar a una expansión de serie asintótica , válida cuando x → ∞ : ^[2]

${\displaystyle U(a,b,x)\sim x^{-a}\,_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;\,;-{\frac {1}{x}}\right),}$

donde es una serie hipergeométrica generalizada con 1 como término principal, que generalmente no converge en ninguna parte, pero existe como una serie de potencias formal en 1/ x . Esta expansión asintótica también es válida para z compleja en lugar de x real , con | arg z | < 3 π /2. ${\displaystyle _{2}F_{0}(\cdot ,\cdot ;;-1/x)}$

El comportamiento asintótico de la solución de Kummer para un valor grande de | z | es:

${\displaystyle M(a,b,z)\sim \Gamma (b)\left({\frac {e^{z}z^{a-b}}{\Gamma (a)}}+{\frac {(-z)^{-a}}{\Gamma (b-a)}}\right)}$

Las potencias de z se toman usando −3 π /2 < arg z ≤ π /2 . ^[3] El primer término no es necesario cuando Γ( b − a ) es finito, es decir, cuando b − a no es un entero no positivo y la parte real de z tiende a infinito negativo, mientras que el segundo término no es necesario cuando Γ( a ) es finito, es decir, cuando a no es un entero no positivo y la parte real de z tiende a infinito positivo.

Siempre hay alguna solución para la ecuación de Kummer asintótica a e ^z z ^{a − b} cuando z → −∞ . Por lo general, será una combinación de M ( a , b , z ) y U ( a , b , z ) pero también se puede expresar como e ^z (−1) ^{a - b} U ( b − a , b , − z ) .

Relaciones

Existen muchas relaciones entre las funciones de Kummer para distintos argumentos y sus derivadas. En esta sección se ofrecen algunos ejemplos típicos.

Relaciones contiguas

Dado M ( a , b , z ) , las cuatro funciones M ( a ± 1, b , z ), M ( a , b ± 1, z ) se llaman contiguas a M ( a , b , z ) . La función M ( a , b , z ) se puede escribir como una combinación lineal de cualquiera de sus dos funciones contiguas, con coeficientes racionales en términos de a, b y z . Esto da (⁴
₂) = 6 relaciones, dadas al identificar dos líneas cualesquiera en el lado derecho de

${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dM}{dz}}=z{\frac {a}{b}}M(a+,b+)&=a(M(a+)-M)\\&=(b-1)(M(b-)-M)\\&=(b-a)M(a-)+(a-b+z)M\\&=z(a-b)M(b+)/b+zM\\\end{aligned}}}$

En la notación anterior, M = M ( a , b , z ) , M ( a +) = M ( a + 1, b , z ) , y así sucesivamente.

La aplicación repetida de estas relaciones proporciona una relación lineal entre tres funciones cualesquiera de la forma M ( a + m , b + n , z ) (y sus derivadas superiores), donde m , n son números enteros.

Existen relaciones similares para U .

La transformación de Kummer

Las funciones de Kummer también están relacionadas mediante las transformaciones de Kummer:

${\displaystyle M(a,b,z)=e^{z}\,M(b-a,b,-z)}$

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)}$.

Teorema de multiplicación

Los siguientes teoremas de multiplicación son válidos:

${\displaystyle {\begin{aligned}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac {(t-1)^{i}z^{i}}{i!}}U(a,b+i,zt)\\&=e^{(1-t)z}t^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}U(a-i,b-i,zt).\end{aligned}}}$

Conexión con polinomios de Laguerre y representaciones similares

En términos de polinomios de Laguerre , las funciones de Kummer tienen varias expansiones, por ejemplo

${\displaystyle M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}}$(Erdélyi y otros 1953, 6.12)

o

${\displaystyle \operatorname {M} \left(a;\,b;\,z\right)={\frac {\Gamma \left(1-a\right)\cdot \Gamma \left(b\right)}{\Gamma \left(b-a\right)}}\cdot \operatorname {L_{-a}^{b-1}} \left(z\right)}$[1]

Casos especiales

Las funciones que pueden expresarse como casos especiales de la función hipergeométrica confluente incluyen:

• Algunas funciones elementales donde el lado izquierdo no está definido cuando b es un entero no positivo, pero el lado derecho sigue siendo una solución de la ecuación de Kummer correspondiente:

${\displaystyle M(0,b,z)=1}$

${\displaystyle U(0,c,z)=1}$

${\displaystyle M(b,b,z)=e^{z}}$

${\displaystyle U(a,a,z)=e^{z}\int _{z}^{\infty }u^{-a}e^{-u}du}$(un polinomio si a es un entero no positivo)

${\displaystyle {\frac {U(1,b,z)}{\Gamma (b-1)}}+{\frac {M(1,b,z)}{\Gamma (b)}}=z^{1-b}e^{z}}$

${\displaystyle M(n,b,z)}$para un entero no positivo n es un polinomio de Laguerre generalizado .

${\displaystyle U(n,c,z)}$para un entero no positivo n es un múltiplo de un polinomio de Laguerre generalizado, igual a cuando este último existe. ${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (1-c)}{\Gamma (n+1-c)}}M(n,c,z)}$

${\displaystyle U(c-n,c,z)}$cuando n es un entero positivo es una forma cerrada con potencias de z , igual a cuando este último existe. ${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (c-1)}{\Gamma (c-n)}}z^{1-c}M(1-n,2-c,z)}$

${\displaystyle U(a,a+1,z)=z^{-a}}$

${\displaystyle U(-n,-2n,z)}$Para un entero no negativo n es un polinomio de Bessel (ver más abajo).

${\displaystyle M(1,2,z)=(e^{z}-1)/z,\ \ M(1,3,z)=2!(e^{z}-1-z)/z^{2}}$etc.

Usando la relación contigua obtenemos, por ejemplo, ${\displaystyle aM(a+)=(a+z)M+z(a-b)M(b+)/b}$ ${\displaystyle M(2,1,z)=(1+z)e^{z}.}$

• Función de Bateman
• Funciones de Bessel y muchas funciones relacionadas, como las funciones de Airy , las funciones de Kelvin y las funciones de Hankel . Por ejemplo, en el caso especial b = 2 a la función se reduce a una función de Bessel :

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,2a,x)=e^{x/2}\,{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)=e^{x/2}\left({\tfrac {x}{4}}\right)^{1/2-a}\Gamma \left(a+{\tfrac {1}{2}}\right)I_{a-1/2}\left({\tfrac {x}{2}}\right).}$

A esta identidad también se la denomina a veces la segunda transformación de Kummer .

${\displaystyle U(a,2a,x)={\frac {e^{x/2}}{\sqrt {\pi }}}x^{1/2-a}K_{a-1/2}(x/2),}$

Cuando a es un entero no positivo, esto es igual a 2 ^{− a} θ _{− a} ( x /2) donde θ es un polinomio de Bessel .

• La función de error se puede expresar como

${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$

• Función de onda de Coulomb
• Funciones de Cunningham
• Integral exponencial y funciones relacionadas como la integral seno , la integral logarítmica
• Polinomios de Hermite
• Función gamma incompleta
• Polinomios de Laguerre
• Función cilindro parabólica (o función de Weber)
• Función de Poisson-Charlier
• Funciones de Toronto
• Las funciones de Whittaker M _κ,μ ( z ), W _κ,μ ( z ) son soluciones de la ecuación de Whittaker que se pueden expresar en términos de las funciones de Kummer M y U mediante

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

• El momento bruto p -ésimo general ( p no necesariamente un entero) se puede expresar como ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left|N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)\right|^{p}\right]&={\frac {\left(2\sigma ^{2}\right)^{p/2}\Gamma \left({\tfrac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left[N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)^{p}\right]&=\left(-2\sigma ^{2}\right)^{p/2}U\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

En la segunda fórmula, el segundo corte de la rama de la función se puede elegir multiplicando por (−1) ^p .

Aplicación a fracciones continuas

Aplicando un argumento limitante a la fracción continua de Gauss se puede demostrar que ^[5]

${\displaystyle {\frac {M(a+1,b+1,z)}{M(a,b,z)}}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1-\ddots }}}}}}}}}}}$

y que esta fracción continua converge uniformemente a una función meromórfica de z en cada dominio acotado que no incluye un polo.

Notas

1. Campos, LMBC (2001). "Sobre algunas soluciones de la ecuación diferencial hipergeométrica confluente extendida". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 137 (1): 177–200. Bibcode :2001JCoAM.137..177C. doi :10.1016/s0377-0427(00)00706-8. MR  1865885.
2. Andrews, GE; Askey, R.; Roy, R. (2001). Funciones especiales . Cambridge University Press. ISBN 978-0521789882..
3. Esto se deriva de Abramowitz y Stegun (ver referencia a continuación), página 508, donde se da una serie asintótica completa. Cambian el signo del exponente en exp( iπa ) en el semiplano derecho, pero esto es irrelevante, ya que el término es despreciable allí o bien a es un número entero y el signo no importa.
4. "Aspectos de la teoría estadística multivariante | Wiley". Wiley.com . Consultado el 23 de enero de 2021 .
5. Frank, Evelyn (1956). "Una nueva clase de expansiones de fracciones continuas para las proporciones de funciones hipergeométricas". Trans. Am. Math. Soc . 81 (2): 453–476. doi :10.1090/S0002-9947-1956-0076937-0. JSTOR  1992927. MR  0076937.

Referencias

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 13". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 504. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Chistova, EA (2001) [1994], "Función hipergeométrica confluente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Daalhuis, Adri B. Olde (2010), "Función hipergeométrica confluente", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
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• Slater, Lucy Joan (1960). Funciones hipergeométricas confluentes . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. MR  0107026.
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• Tricomi, Francesco G. (1954). Funciones impergeométricas confluentes . Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche (en italiano). vol. 1. Roma: Edizioni cremonese. ISBN 978-88-7083-449-9.Sr .  0076936.
• Oldham, KB; Myland, J.; Spanier, J. (2010). Atlas de funciones: con Equator, la calculadora de funciones Atlas. Springer Nueva York. ISBN 978-0-387-48807-3. Recuperado el 23 de agosto de 2017 .

Enlaces externos

• Funciones hipergeométricas confluentes en la Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST
• Función hipergeométrica de Kummer en el sitio Wolfram Functions
• Función hipergeométrica de Tricomi en el sitio Wolfram Functions