Polinomios de Kravchuk

Los polinomios de Kravchuk o polinomios de Krawtchouk (escritos también con otras transliteraciones del apellido ucraniano Кравчу́к ) son polinomios ortogonales discretos asociados con la distribución binomial , introducida por Mykhailo Kravchuk  (1929). Los primeros polinomios son (para q = 2):

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{0}(x;n)=1,}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{1}(x;n)=-2x+n,}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{2}(x;n)=2x^{2}-2nx+{\binom {n}{2}},}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}(x;n)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2nx^{2}-(n^{2}-n+{\frac {2}{3}})x+{\binom {n}{3}}.}$

Los polinomios de Kravchuk son un caso especial de los polinomios de Meixner del primer tipo.

Definición

Para cualquier potencia prima q y entero positivo n , defina el polinomio de Kravchuk

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)={\mathcal {K}}_{k}(x)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}(q-1)^{k-j}{\binom {x}{j}}{\binom {n-x}{k-j}},\quad k=0,1,\ldots ,n.}$

Propiedades

El polinomio de Kravchuk tiene las siguientes expresiones alternativas:

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=\sum _{j=0}^{k}(-q)^{j}(q-1)^{k-j}{\binom {n-j}{k-j}}{\binom {x}{j}}.}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}q^{k-j}{\binom {n-k+j}{j}}{\binom {n-x}{k-j}}.}$

Relaciones de simetría

Para números enteros , tenemos que ${\displaystyle i,k\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(q-1)^{i}{n \choose i}{\mathcal {K}}_{k}(i;n,q)=(q-1)^{k}{n \choose k}{\mathcal {K}}_{i}(k;n,q).\end{aligned}}}$

Relaciones de ortogonalidad

Para números enteros no negativos r , s ,

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}(q-1)^{i}{\mathcal {K}}_{r}(i;n,q){\mathcal {K}}_{s}(i;n,q)=q^{n}(q-1)^{r}{\binom {n}{r}}\delta _{r,s}.}$

Función generadora

La serie generadora de polinomios de Kravchuk se muestra a continuación. Aquí hay una variable formal. ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+(q-1)z)^{n-x}(1-z)^{x}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q){z^{k}}.\end{aligned}}}$

Recurrencia de tres términos

Los polinomios de Kravchuk satisfacen la relación de recurrencia de tres términos

${\displaystyle {\begin{aligned}x{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=-q(n-k){\mathcal {K}}_{k+1}(x;n,q)+(q(n-k)+k(1-q)){\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)-k(1-q){\mathcal {K}}_{k-1}(x;n,q).\end{aligned}}}$

Véase también

• Matriz de Krawtchouk
• Polinomios de Hermite

Referencias

• Kravchuk, M. (1929), "Sur une généralisation des polynomes d'Hermite.", Comptes Rendus Mathématique (en francés), 189 : 620–622, JFM  55.0799.01
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Clase Hahn: Definiciones", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Nikiforov, AF; Suslov, SK; Uvarov, VB (1991), Polinomios ortogonales clásicos de una variable discreta , Springer Series in Computational Physics, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-51123-7, Sr.  1149380.
• Levenshtein, Vladimir I. (1995), "Polinomios de Krawtchouk y límites universales para códigos y diseños en espacios de Hamming", IEEE Transactions on Information Theory , 41 (5): 1303–1321, doi :10.1109/18.412678, MR  1366326.
• MacWilliams, FJ; Sloane, NJA (1977), La teoría de los códigos de corrección de errores , North-Holland, ISBN 0-444-85193-3

Enlaces externos

• Página de inicio de polinomios de Krawtchouk
• "Polinomio de Krawtchouk" en MathWorld