Serie hipergeométrica bilateral

Serie matemática

En matemáticas, una serie hipergeométrica bilateral es una serie Σ a _n sumada sobre todos los números enteros n , y tal que el cociente

un _n / un _{n +1}

de dos términos es una función racional de n . La definición de la serie hipergeométrica generalizada es similar, excepto que los términos con n negativo deben desaparecer; la serie bilateral tendrá en general un número infinito de términos distintos de cero tanto para n positivo como negativo .

La serie hipergeométrica bilateral no converge para la mayoría de las funciones racionales, aunque puede extenderse analíticamente hasta una función definida para la mayoría de las funciones racionales. Existen varias fórmulas de suma que dan sus valores para valores especiales en los que converge.

Definición

La serie hipergeométrica bilateral _p H _p se define por

${\displaystyle {}_{p}H_{p}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{p};z)={}_{p}H_{p}\left({\begin{matrix}a_{1}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&\ldots &b_{p}\\\end{matrix}};z\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\ldots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\ldots (b_{p})_{n}}}z^{n}}$

dónde

${\displaystyle (a)_{n}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,}$

es el símbolo factorial ascendente o Pochhammer .

Generalmente, la variable z se toma como 1, en cuyo caso se omite de la notación. Es posible definir la serie _p H _q con p y q diferentes de manera similar, pero esto no logra converger o puede reducirse a la serie hipergeométrica habitual mediante cambios de variables.

Convergencia y continuación analítica

Supóngase que ninguna de las variables a o b son números enteros, de modo que todos los términos de la serie son finitos y distintos de cero. Entonces, los términos con n < 0 divergen si | z | < 1, y los términos con n > 0 divergen si | z | > 1, por lo que la serie no puede converger a menos que | z | = 1. Cuando | z | = 1, la serie converge si

${\displaystyle \Re (b_{1}+\cdots b_{n}-a_{1}-\cdots -a_{n})>1.}$

La serie hipergeométrica bilateral puede continuarse analíticamente hasta una función meromórfica multivaluada de varias variables cuyas singularidades son puntos de ramificación en z = 0 y z = 1 y polos simples en a _i = −1, −2,... y b _i = 0, 1, 2,... Esto puede hacerse de la siguiente manera. Supóngase que ninguna de las variables a o b son números enteros. Los términos con n positivo convergen para | z | <1 a una función que satisface una ecuación lineal no homogénea con singularidades en z = 0 y z = 1, por lo que pueden continuarse hasta una función multivaluada con estos puntos como puntos de ramificación. De manera similar, los términos con n negativo convergen para | z | >1 a una función que satisface una ecuación lineal no homogénea con singularidades en z = 0 y z = 1, por lo que también pueden continuarse hasta una función multivaluada con estos puntos como puntos de ramificación. La suma de estas funciones da la continuación analítica de la serie hipergeométrica bilateral para todos los valores de z distintos de 0 y 1, y satisface una ecuación diferencial lineal en z similar a la ecuación diferencial hipergeométrica.

Fórmulas de suma

Suma bilateral de Dougall

${\displaystyle {}_{2}H_{2}(a,b;c,d;1)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}(d)_{n}}}={\frac {\Gamma (d)\Gamma (c)\Gamma (1-a)\Gamma (1-b)\Gamma (c+d-a-b-1)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)\Gamma (d-a)\Gamma (d-b)}}}$

(Dougall 1907)

Esto a veces se escribe en la forma equivalente

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\Gamma (a+n)\Gamma (b+n)}{\Gamma (c+n)\Gamma (d+n)}}={\frac {\pi ^{2}}{\sin(\pi a)\sin(\pi b)}}{\frac {\Gamma (c+d-a-b-1)}{\Gamma (c-a)\Gamma (d-a)\Gamma (c-b)\Gamma (d-b)}}.}$

Fórmula de Bailey

(Bailey 1959) dio la siguiente generalización de la fórmula de Dougall:

${\displaystyle {}_{3}H_{3}(a,b,f+1;d,e,f;1)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}(f+1)_{n}}{(d)_{n}(e)_{n}(f)_{n}}}=\lambda {\frac {\Gamma (d)\Gamma (e)\Gamma (1-a)\Gamma (1-b)\Gamma (d+e-a-b-2)}{\Gamma (d-a)\Gamma (d-b)\Gamma (e-a)\Gamma (e-b)}}}$

dónde

${\displaystyle \lambda =f^{-1}\left[(f-a)(f-b)-(1+f-d)(1+f-e)\right].}$

Véase también

• Serie hipergeométrica bilateral básica

Referencias

• Bailey, WN (1959), "Sobre la suma de una serie hipergeométrica bilateral particular ₃ H ₃ ", The Quarterly Journal of Mathematics , Segunda serie, 10 : 92–94, doi :10.1093/qmath/10.1.92, ISSN  0033-5606, MR  0107727
• Dougall, J. (1907), "Sobre el teorema de Vandermonde y algunas expansiones más generales", Proc. Edinburgh Math. Soc. , 25 : 114–132, doi : 10.1017/S0013091500033642
• Slater, Lucy Joan (1966), Funciones hipergeométricas generalizadas , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 0-521-06483-X, Sr.  0201688(Existe una edición de bolsillo de 2008 con ISBN 978-0-521-09061-2 )