Serie hipergeométrica elíptica

Análogo elíptico de la serie hipergeométrica

En matemáticas, una serie hipergeométrica elíptica es una serie Σ c _n tal que el cociente c _n / c _{n −1} es una función elíptica de n , análoga a las series hipergeométricas generalizadas donde el cociente es una función racional de n , y a las series hipergeométricas básicas donde el cociente es una función periódica del número complejo n . Fueron introducidas por Date-Jimbo-Kuniba-Miwa-Okado (1987) y Frenkel & Turaev (1997) en su estudio de los símbolos elípticos 6-j .

Para estudios de series hipergeométricas elípticas, consulte Gasper y Rahman (2004), Spiridonov (2008) o Rosengren (2016).

Definiciones

El símbolo q-Pochhammer se define por

${\displaystyle \displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}).}$

${\displaystyle \displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}$

La función theta de Jacobi modificada con argumento x y nombre p se define mediante

${\displaystyle \displaystyle \theta (x;p)=(x,p/x;p)_{\infty }}$

${\displaystyle \displaystyle \theta (x_{1},...,x_{m};p)=\theta (x_{1};p)...\theta (x_{m};p)}$

El factorial desplazado elíptico se define por

${\displaystyle \displaystyle (a;q,p)_{n}=\theta (a;p)\theta (aq;p)...\theta (aq^{n-1};p)}$

${\displaystyle \displaystyle (a_{1},...,a_{m};q,p)_{n}=(a_{1};q,p)_{n}\cdots (a_{m};q,p)_{n}}$

La serie hipergeométrica theta _{r +1} E _r está definida por

${\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}E_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};q,p;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},...,a_{r+1};q;p)_{n}}{(q,b_{1},...,b_{r};q,p)_{n}}}z^{n}}$

La serie hipergeométrica theta muy bien equilibrada _{r +1} V _r se define por

${\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}V_{r}(a_{1};a_{6},a_{7},...a_{r+1};q,p;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\theta (a_{1}q^{2n};p)}{\theta (a_{1};p)}}{\frac {(a_{1},a_{6},a_{7},...,a_{r+1};q;p)_{n}}{(q,a_{1}q/a_{6},a_{1}q/a_{7},...,a_{1}q/a_{r+1};q,p)_{n}}}(qz)^{n}}$

La serie hipergeométrica theta bilateral _r G _r se define por

${\displaystyle \displaystyle {}_{r}G_{r}(a_{1},...a_{r};b_{1},...,b_{r};q,p;z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},...,a_{r};q;p)_{n}}{(b_{1},...,b_{r};q,p)_{n}}}z^{n}}$

Definiciones de series hipergeométricas elípticas aditivas

Los números elípticos se definen por

${\displaystyle [a;\sigma ,\tau ]={\frac {\theta _{1}(\pi \sigma a,e^{\pi i\tau })}{\theta _{1}(\pi \sigma ,e^{\pi i\tau })}}}$

donde la función theta de Jacobi se define por

${\displaystyle \theta _{1}(x,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(n+1/2)^{2}}e^{(2n+1)ix}}$

Los factoriales elípticos aditivos desplazados se definen por

• ${\displaystyle [a;\sigma ,\tau ]_{n}=[a;\sigma ,\tau ][a+1;\sigma ,\tau ]...[a+n-1;\sigma ,\tau ]}$
• ${\displaystyle [a_{1},...,a_{m};\sigma ,\tau ]=[a_{1};\sigma ,\tau ]...[a_{m};\sigma ,\tau ]}$

La serie hipergeométrica theta aditiva _{r +1} e _r se define por

${\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}e_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1},...,a_{r+1};\sigma ;\tau ]_{n}}{[1,b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}}$

La serie hipergeométrica theta aditiva muy bien equilibrada _{r +1} v _r se define por

${\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}v_{r}(a_{1};a_{6},...a_{r+1};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1}+2n;\sigma ,\tau ]}{[a_{1};\sigma ,\tau ]}}{\frac {[a_{1},a_{6},...,a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}{[1,1+a_{1}-a_{6},...,1+a_{1}-a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}}$

Lectura adicional

• Spiridonov, VP (2013). "Aspectos de las funciones hipergeométricas elípticas". En Berndt, Bruce C. (ed.). El legado de Srinivasa Ramanujan Actas de una conferencia internacional en celebración del 125 aniversario del nacimiento de Ramanujan; Universidad de Delhi, 17-22 de diciembre de 2012 . Ramanujan Mathematical Society Lecture Notes Series. Vol. 20. Ramanujan Mathematical Society. págs. 347–361. arXiv : 1307.2876 . Código Bibliográfico :2013arXiv1307.2876S. ISBN 9789380416137.
• Rosengren, Hjalmar (2016). "Funciones hipergeométricas elípticas". arXiv : 1608.06161 [math.CA].

Referencias

• Frenkel, Igor B.; Turaev, Vladimir G. (1997), "Soluciones elípticas de la ecuación de Yang-Baxter y funciones hipergeométricas modulares", The Arnold-Gelfand mathematics seminars , Boston, MA: Birkhäuser Boston, págs. 171–204, ISBN 978-0-8176-3883-2, Sr.  1429892
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Series hipergeométricas básicas , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 96 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8, Sr.  2128719
• Spiridonov, VP (2002), "Theta hypergeometric series", Combinatoria asintótica con aplicación a la física matemática (San Petersburgo, 2001) , NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem., vol. 77, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., págs. 307–327, arXiv : math/0303204 , Bibcode :2003math......3204S, MR  2000728
• Spiridonov, VP (2003), "Integrales hipergeométricas Theta", Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Álgebra i Analiz , 15 (6): 161–215, arXiv : math/0303205 , Bibcode :2003math......3205S, doi :10.1090/S1061-0022-04-00839-8, MR  2044635, S2CID  14471695
• Spiridonov, VP (2008), "Ensayos sobre la teoría de funciones hipergeométricas elípticas", Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 63 (3): 3–72, arXiv : 0805.3135 , Bibcode : 2008RuMaS..63..405S, doi : 10.1070/RM2008v063n03ABEH004533, MR  2479997, S2CID  16996893
• Warnaar, S. Ole (2002), "Fórmulas de suma y transformación para series hipergeométricas elípticas", Constructive Approximation , 18 (4): 479–502, arXiv : math/0001006 , doi :10.1007/s00365-002-0501-6, MR  1920282, S2CID  18102177