En matemáticas, el contorno de Pochhammer , introducido por Camille Jordan (1887) [1] y Leo Pochhammer (1890), es un contorno en el plano complejo con dos puntos eliminados, utilizado para la integración de contornos . Si A y B son bucles alrededor de los dos puntos, ambos comenzando en algún punto fijo P , entonces el contorno de Pochhammer es el conmutador ABA −1 B −1 , donde el superíndice −1 denota un camino tomado en la dirección opuesta. Con los dos puntos tomados como 0 y 1, el punto base fijo P estando en el eje real entre ellos, un ejemplo es el camino que comienza en P , rodea el punto 1 en sentido antihorario y regresa a P , luego rodea 0 en sentido antihorario y regresa a P , después de eso rodea 1 y luego 0 en sentido horario, antes de regresar a P. La clase del contorno es un conmutador real cuando se considera en el grupo fundamental con punto base P del complemento en el plano complejo (o esfera de Riemann ) de los dos puntos enlazados. Cuando se trata de tomar integrales de contorno, mover el punto base de P a otra opción Q no hace ninguna diferencia en el resultado, ya que habrá cancelación de integrales de P a Q y viceversa.
Dentro del plano doblemente perforado esta curva es homóloga a cero pero no homotópica a cero. Su número de vueltas alrededor de cualquier punto es 0 a pesar del hecho de que dentro del plano doblemente perforado no puede reducirse a un solo punto.
La función beta está dada por la integral de Euler
siempre que las partes reales de α y β sean positivas, lo que puede convertirse en una integral sobre el contorno de Pochhammer C como
La integral de contorno converge para todos los valores de α y β y, por lo tanto, proporciona la continuación analítica de la función beta. Se puede aplicar un método similar a la integral de Euler para la función hipergeométrica a fin de obtener su continuación analítica.
