Función hipergeométrica de un argumento matricial

En matemáticas , la función hipergeométrica de un argumento matricial es una generalización de la serie hipergeométrica clásica . Es una función definida por una suma infinita que puede utilizarse para evaluar ciertas integrales multivariadas.

Las funciones hipergeométricas de un argumento matricial tienen aplicaciones en la teoría de matrices aleatorias . Por ejemplo, las distribuciones de los valores propios extremos de matrices aleatorias se expresan a menudo en términos de la función hipergeométrica de un argumento matricial.

Definición

Sean y números enteros, y sea una matriz simétrica compleja. Entonces, la función hipergeométrica de un argumento y parámetro de matriz se define como ${\displaystyle p\geq 0}$ ${\displaystyle q\geq 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha >0}$

${\displaystyle _{p}F_{q}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};X)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {(a_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (a_{p})_{\kappa }^{(\alpha )}}{(b_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (b_{q})_{\kappa }^{(\alpha )}}}\cdot C_{\kappa }^{(\alpha )}(X),}$

donde media es una partición de , es el símbolo de Pochhammer generalizado y es la normalización "C" de la función Jack . ${\displaystyle \kappa \vdash k}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (a_{i})_{\kappa }^{(\alpha )}}$ ${\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(X)}$

Dos argumentos de matriz

Si y son dos matrices simétricas complejas, entonces la función hipergeométrica de dos argumentos matriciales se define como: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle m\times m}$

${\displaystyle _{p}F_{q}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};X,Y)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {(a_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (a_{p})_{\kappa }^{(\alpha )}}{(b_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (b_{q})_{\kappa }^{(\alpha )}}}\cdot {\frac {C_{\kappa }^{(\alpha )}(X)C_{\kappa }^{(\alpha )}(Y)}{C_{\kappa }^{(\alpha )}(I)}},}$

donde es la matriz identidad de tamaño . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle m}$

No es una función típica de un argumento matricial

A diferencia de otras funciones de argumento matricial, como la matriz exponencial , que tienen valores matriciales, la función hipergeométrica de (uno o dos) argumentos matriciales tiene valores escalares.

El parámetroalfa

En muchas publicaciones se omite el parámetro . Además, en diferentes publicaciones se asumen implícitamente diferentes valores de . Por ejemplo, en la teoría de matrices aleatorias reales (véase, por ejemplo, Muirhead, 1984), mientras que en otros entornos (por ejemplo, en el caso complejo, véase Gross y Richards, 1989), . Para empeorar las cosas, en la teoría de matrices aleatorias los investigadores tienden a preferir un parámetro llamado en lugar de que se utiliza en combinatoria. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =2}$ ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

Lo que hay que recordar es que

${\displaystyle \alpha ={\frac {2}{\beta }}.}$

Se debe tener cuidado en cuanto a si un texto en particular utiliza un parámetro y cuál es el valor particular de ese parámetro. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Por lo general, en entornos que involucran matrices aleatorias reales, y por lo tanto . En entornos que involucran matrices aleatorias complejas, uno tiene y . ${\displaystyle \alpha =2}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \beta =2}$

Referencias

• KI Gross y D. St. P. Richards, "Positividad total, series esféricas y funciones hipergeométricas del argumento matricial", J. Approach. Theory , 59 , núm. 2, 224–246, 1989.
• J. Kaneko, "Integrales de Selberg y funciones hipergeométricas asociadas con polinomios de Jack", SIAM Journal on Mathematical Analysis , 24 , núm. 4, 1086-1110, 1993.
• Plamen Koev y Alan Edelman, "La evaluación eficiente de la función hipergeométrica de un argumento matricial", Mathematics of Computation , 75 , no. 254, 833-846, 2006.
• Robb Muirhead, Aspectos de la teoría estadística multivariante , John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1984.

Enlaces externos

• Software para calcular la función hipergeométrica de un argumento matricial de Plamen Koev.