Polinomios de Meixner-Pollaczek

En matemáticas, los polinomios de Meixner-Pollaczek son una familia de polinomios ortogonales P^(λ)
_n( x ,φ) introducido por Meixner  (1934), que hasta cambios elementales de variables son los mismos que los polinomios de Pollaczek P^lambda
_​( x , a , b ) redescubierto por Pollaczek  (1949) en el caso λ=1/2, y posteriormente generalizado por él.

Se definen por

${\displaystyle P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )={\frac {(2\lambda )_{n}}{n!}}e^{in\phi }{}_{2}F_{1}\left({\begin{array}{c}-n,~\lambda +ix\\2\lambda \end{array}};1-e^{-2i\phi }\right)}$

${\displaystyle P_{n}^{\lambda }(\cos \phi ;a,b)={\frac {(2\lambda )_{n}}{n!}}e^{in\phi }{}_{2}F_{1}\left({\begin{array}{c}-n,~\lambda +i(a\cos \phi +b)/\sin \phi \\2\lambda \end{array}};1-e^{-2i\phi }\right)}$

Ejemplos

Los primeros polinomios de Meixner-Pollaczek son

${\displaystyle P_{0}^{(\lambda )}(x;\phi )=1}$

${\displaystyle P_{1}^{(\lambda )}(x;\phi )=2(\lambda \cos \phi +x\sin \phi )}$

${\displaystyle P_{2}^{(\lambda )}(x;\phi )=x^{2}+\lambda ^{2}+(\lambda ^{2}+\lambda -x^{2})\cos(2\phi )+(1+2\lambda )x\sin(2\phi ).}$

Propiedades

Ortogonalidad

Los polinomios de Meixner-Pollaczek P _m ^(λ) ( x ;φ) son ortogonales en la línea real con respecto a la función de peso

${\displaystyle w(x;\lambda ,\phi )=|\Gamma (\lambda +ix)|^{2}e^{(2\phi -\pi )x}}$

y la relación de ortogonalidad está dada por ^[1]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )P_{m}^{(\lambda )}(x;\phi )w(x;\lambda ,\phi )dx={\frac {2\pi \Gamma (n+2\lambda )}{(2\sin \phi )^{2\lambda }n!}}\delta _{mn},\quad \lambda >0,\quad 0<\phi <\pi .}$

Relación de recurrencia

La secuencia de polinomios de Meixner-Pollaczek satisface la relación de recurrencia ^[2]

${\displaystyle (n+1)P_{n+1}^{(\lambda )}(x;\phi )=2{\bigl (}x\sin \phi +(n+\lambda )\cos \phi {\bigr )}P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )-(n+2\lambda -1)P_{n-1}(x;\phi ).}$

Fórmula de Rodrigues

Los polinomios de Meixner-Pollaczek se dan mediante la fórmula similar a Rodrigues ^[3]

${\displaystyle P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )={\frac {(-1)^{n}}{n!\,w(x;\lambda ,\phi )}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}w\left(x;\lambda +{\tfrac {1}{2}}n,\phi \right),}$

donde w ( x ;λ,φ) es la función de peso dada anteriormente.

Función generadora

Los polinomios de Meixner-Pollaczek tienen la función generadora ^[4]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )=(1-e^{i\phi }t)^{-\lambda +ix}(1-e^{-i\phi }t)^{-\lambda -ix}.}$

Véase también

• Polinomios de Pollaczek tamizados

Referencias

1. Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010), pág. 213.
2. Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010), pág. 213.
3. Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010), pág. 214.
4. Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010), pág. 215.

• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Polinomios ortogonales hipergeométricos y sus análogos q , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN 978-3-642-05013-8, Sr.  2656096
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Polinomios de Pollaczek", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Meixner, J. (1934), "Orthogonale Polynomsysteme Mit Einer Besonderen Gestalt Der Erzeugenden Funktion", J. London Math. Soc. , s1-9 : 6–13, doi : 10.1112/jlms/s1-9.1.6
• Pollaczek, Félix (1949), "Sur une généralisation des polynomes de Legendre", Les Comptes rendus de l'Académie des sciences , 228 : 1363-1365, SEÑOR  0030037