Serie binomial

Serie matemática

En matemáticas , la serie binomial es una generalización del polinomio que proviene de una expresión de fórmula binomial como para un entero no negativo . Específicamente, la serie binomial es la serie de MacLaurin para la función , donde y . Explícitamente, ${\displaystyle (1+x)^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |x|<1}$

donde la serie de potencias en el lado derecho de ( 1 ) se expresa en términos de los coeficientes binomiales (generalizados)

${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.}$

Nótese que si α es un entero no negativo n entonces el término x ^{n + 1} y todos los términos posteriores en la serie son 0 , ya que cada uno contiene un factor de ( n − n ) . Por lo tanto, en este caso, la serie es finita y da la fórmula binomial algebraica .

Convergencia

Condiciones para la convergencia

La convergencia de ( 1 ) depende de los valores de los números complejos α y  x . Más precisamente:

1. Si | x | < 1 , la serie converge absolutamente para cualquier número complejo α .
2. Si | x | = 1 , la serie converge absolutamente si y sólo si Re ( α ) > 0 o α = 0 , donde Re( α ) denota la parte real de α .
3. Si | x | = 1 y x ≠ −1 , la serie converge si y sólo si Re( α ) > −1 .
4. Si x = −1 , la serie converge si y sólo si Re( α ) > 0 o α = 0 .
5. Si | x | > 1 , la serie diverge excepto cuando α es un entero no negativo, en cuyo caso la serie es una suma finita.

En particular, si α no es un entero no negativo, la situación en el límite del disco de convergencia , | x | = 1 , se resume de la siguiente manera:

• Si Re( α ) > 0 , la serie converge absolutamente.
• Si −1 < Re( α ) ≤ 0 , la serie converge condicionalmente si x ≠ −1 y diverge si x = −1 .
• Si Re( α ) ≤ −1 , la serie diverge.

Identidades que se utilizarán en la prueba

Lo siguiente es válido para cualquier número complejo  α :

${\displaystyle {\alpha \choose 0}=1,}$

A menos que sea un entero no negativo (en cuyo caso los coeficientes binomiales se desvanecen cuando es mayor que ), una relación asintótica útil para los coeficientes binomiales es, en notación Landau : ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha }$

Esto es esencialmente equivalente a la definición de Euler de la función Gamma :

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+k)}},}$

e implica inmediatamente los límites más burdos

para algunas constantes positivas m y M .

La fórmula ( 2 ) para el coeficiente binomial generalizado se puede reescribir como

Prueba

Para demostrar (i) y (v), aplique la prueba de razón y use la fórmula ( 2 ) anterior para demostrar que siempre que no es un entero no negativo, el radio de convergencia es exactamente 1. La parte (ii) se deduce de la fórmula ( 5 ), en comparación con la serie p ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\;{\frac {1}{k^{p}}},}$

con . Para demostrar (iii), primero use la fórmula ( 3 ) para obtener ${\displaystyle p=1+\operatorname {Re} \alpha }$

y luego usamos (ii) y la fórmula ( 5 ) nuevamente para demostrar la convergencia del lado derecho cuando se supone. Por otro lado, la serie no converge si y , nuevamente por la fórmula ( 5 ). Alternativamente, podemos observar que para todos , . Por lo tanto, por la fórmula ( 6 ), para todos . Esto completa la demostración de (iii). Volviendo a (iv), usamos la identidad ( 7 ) anterior con y en lugar de , junto con la fórmula ( 4 ), para obtener ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha >-1}$ ${\displaystyle |x|=1}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha \leq -1}$ ${\displaystyle j}$ ${\textstyle \left|{\frac {\alpha +1}{j}}-1\right|\geq 1-{\frac {\operatorname {Re} \alpha +1}{j}}\geq 1}$ ${\textstyle k,\left|{\alpha \choose k}\right|\geq 1}$ ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle \alpha -1}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;(-1)^{k}={\alpha -1 \choose n}\;(-1)^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}}(1+o(1))}$

como . La afirmación (iv) ahora se sigue del comportamiento asintótico de la secuencia . (Precisamente, ciertamente converge a si y diverge a si . Si , entonces converge si y solo si la secuencia converge , lo cual es ciertamente verdadero si pero falso si : en el último caso la secuencia es densa , debido al hecho de que diverge y converge a cero). ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log(n)}}$ ${\displaystyle \left|e^{-\alpha \log n}\right|=e^{-\operatorname {Re} \alpha \,\log n}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha >0}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha <0}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha =0}$ ${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-i\operatorname {Im} \alpha \log n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \log n}$ ${\displaystyle {\bmod {2\pi }}}$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle {\bmod {2\pi }}}$ ${\displaystyle \log n}$ ${\displaystyle \log(n+1)-\log n}$

Suma de la serie binomial

El argumento habitual para calcular la suma de la serie binomial es el siguiente. Diferenciando término por término la serie binomial dentro del disco de convergencia | x | < 1 y usando la fórmula ( 1 ), se tiene que la suma de la serie es una función analítica que resuelve la ecuación diferencial ordinaria (1 + x ) u ′( x ) − αu ( x ) = 0 con condición inicial u (0) = 1 .

La única solución de este problema es la función u ( x ) = (1 + x ) ^α . De hecho, multiplicando por el factor integrante (1 + x ) ^{− α −1} se obtiene

${\displaystyle 0=(1+x)^{-\alpha }u'(x)-\alpha (1+x)^{-\alpha -1}u(x)={\big [}(1+x)^{-\alpha }u(x){\big ]}'\,,}$

entonces la función (1 + x ) ^−α u ( x ) es una constante, que la condición inicial nos dice que es 1 . Es decir, u ( x ) = (1 + x ) ^α es la suma de la serie binomial para | x | < 1 .

La igualdad se extiende a | x | = 1 siempre que la serie converge, como consecuencia del teorema de Abel y por continuidad de (1 + x ) ^α .

Serie binomial negativa

Estrechamente relacionada está la serie binomial negativa definida por la serie de MacLaurin para la función , donde y . Explícitamente, ${\displaystyle g(x)=(1-x)^{-\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |x|<1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{(1-x)^{\alpha }}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\frac {g^{(k)}(0)}{k!}}\;x^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha +1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)}{3!}}x^{3}+\cdots ,\end{aligned}}}$

que se escribe en términos del coeficiente multiconjunto

${\displaystyle \left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right):={\alpha +k-1 \choose k}={\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\cdots (\alpha +k-1)}{k!}}\,.}$

Cuando α es un entero positivo, son evidentes varias secuencias comunes. El caso α = 1 da la serie 1 + x + x ² + x ³ + ... , donde el coeficiente de cada término de la serie es simplemente 1 . El caso α = 2 da la serie 1 + 2 x + 3 x ² + 4 x ³ + ... , que tiene los números de conteo como coeficientes. El caso α = 3 da la serie 1 + 3 x + 6 x ² + 10 x ³ + ... , que tiene los números triangulares como coeficientes. El caso α = 4 da la serie 1 + 4 x + 10 x ² + 20 x ³ + ... , que tiene los números tetraédricos como coeficientes, y de manera similar para valores enteros mayores de α .

La serie binomial negativa incluye el caso de la serie geométrica , la serie de potencias ^[1] (que es la serie binomial negativa cuando , convergente en el disco ) y, más generalmente, las series obtenidas por diferenciación de la serie de potencias geométricas: con , un entero positivo. ^[2] $${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}$$ ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle |x|<1}$ $${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{n}}}={\frac {1}{(n-1)!}}{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}{\frac {1}{1-x}}}$$ ${\displaystyle \alpha =n}$

Historia

Los primeros resultados relativos a las series binomiales para exponentes distintos de los enteros positivos fueron dados por Sir Isaac Newton en el estudio de las áreas encerradas bajo ciertas curvas. John Wallis se basó en este trabajo al considerar expresiones de la forma y = (1 − x ² ) ^m donde m es una fracción. Encontró que (escrito en términos modernos) los coeficientes sucesivos c _k de (− x ² ) ^k se encuentran multiplicando el coeficiente precedente por ⁠m- ( k -1)/a⁠ (como en el caso de los exponentes enteros), dando así implícitamente una fórmula para estos coeficientes. Escribe explícitamente los siguientes casos ^[a]

${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }$

${\displaystyle (1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }$

${\displaystyle (1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots }$

Por ello, a la serie binomial se la denomina a veces teorema binomial de Newton . Newton no ofrece ninguna prueba y no es explícito sobre la naturaleza de la serie. Más tarde, en 1826, Niels Henrik Abel analizó el tema en un artículo publicado en el Crelle's Journal , en el que trataba principalmente cuestiones de convergencia. ^[4]

Véase también

• Portal de matemáticas

• Aproximación binomial
• Teorema del binomio
• Tabla de series newtonianas
• Función W de Lambert

Notas al pie

Notas

1. ^[3] De hecho, esta fuente da todos los términos no constantes con un signo negativo, lo que no es correcto para la segunda ecuación; hay que asumir que se trata de un error de transcripción.

Citas

1. George Andrews (2018), "Las series geométricas en el cálculo" (PDF) , The American Mathematical Monthly , 105 (1): 36–40, doi :10.1080/00029890.1998.12004846
2. Knopp, Konrad (1944), Teoría y aplicaciones de series infinitas , Blackie and Son, §22.
3. Coolidge 1949.
4. Abel 1826.

Referencias

• Abel, Niels (1826), "Recherches sur la série 1 + (m/1)x + (m(m − 1)/1.2)x2 + (m(m − 1)(m − 2)/1.2.3) x3 +...", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1 : 311–339
• Coolidge, JL (1949), "La historia del teorema del binomio", The American Mathematical Monthly , 56 (3): 147–157, doi :10.2307/2305028, JSTOR  2305028

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Serie binomial". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Teorema del binomio". MathWorld .
• Fórmula binomial en PlanetMath .
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Series binomiales", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• "Cómo Isaac Newton descubrió la serie de potencias binomiales". 31 de agosto de 2022.