Serie hipergeométrica de Lauricella

En 1893 Giuseppe Lauricella definió y estudió cuatro series hipergeométricas F _A , F _B , F _C , F _D de tres variables. Son (Lauricella 1893):

${\displaystyle F_{A}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}$

para | x ₁ | + | x ₂ | + | x ₃ | < 1 y

${\displaystyle F_{B}^{(3)}(a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{i_{1}}(a_{2})_{i_{2}}(a_{3})_{i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}$

para | x ₁ | < 1, | x ₂ | < 1, | x ₃ | < 1 y

${\displaystyle F_{C}^{(3)}(a,b,c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}$

para | x ₁ | ^1/2 + | x ₂ | ^1/2 + | x ₃ | ^1/2 < 1 y

${\displaystyle F_{D}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}$

para | x ₁ | < 1, | x ₂ | < 1, | x ₃ | < 1. Aquí el símbolo de Pochhammer ( q ) _i indica el i -ésimo factorial ascendente de q , es decir

${\displaystyle (q)_{i}=q\,(q+1)\cdots (q+i-1)={\frac {\Gamma (q+i)}{\Gamma (q)}}~,}$

donde la segunda igualdad es verdadera para todos los complejos excepto . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q=0,-1,-2,\ldots }$

Estas funciones pueden extenderse a otros valores de las variables x ₁ , x ₂ , x ₃ mediante continuación analítica .

Lauricella también indicó la existencia de otras diez funciones hipergeométricas de tres variables, denominadas F _E , F _F , ..., F _T , que Shanti Saran estudió en 1954 (Saran 1954). Por lo tanto, hay un total de 14 funciones hipergeométricas de Lauricella-Saran.

Generalización anortevariables

Estas funciones se pueden extender directamente a n variables. Se escribe, por ejemplo,

${\displaystyle F_{A}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c_{1},\ldots ,c_{n};x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+\cdots +i_{n}}(b_{1})_{i_{1}}\cdots (b_{n})_{i_{n}}}{(c_{1})_{i_{1}}\cdots (c_{n})_{i_{n}}\,i_{1}!\cdots \,i_{n}!}}\,x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}~,}$

donde | x ₁ | + ... + | x _n | < 1. Estas series generalizadas también se denominan a veces funciones de Lauricella.

Cuando n = 2, las funciones de Lauricella corresponden a la serie hipergeométrica de Appell de dos variables:

${\displaystyle F_{A}^{(2)}\equiv F_{2},\quad F_{B}^{(2)}\equiv F_{3},\quad F_{C}^{(2)}\equiv F_{4},\quad F_{D}^{(2)}\equiv F_{1}.}$

Cuando n = 1, las cuatro funciones se reducen a la función hipergeométrica de Gauss :

${\displaystyle F_{A}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{B}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{C}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{D}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv {_{2}}F_{1}(a,b;c;x).}$

Representación integral deFD

En analogía con la función F 1 de Appell , la F _D de Lauricella se puede escribir como una integral de tipo Euler unidimensional para cualquier número n de variables:

${\displaystyle F_{D}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c;x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-x_{1}t)^{-b_{1}}\cdots (1-x_{n}t)^{-b_{n}}\,\mathrm {d} t,\qquad \operatorname {Re} c>\operatorname {Re} a>0~.}$

Esta representación se puede verificar fácilmente mediante la expansión de Taylor del integrando, seguida de una integración término por término. La representación implica que la integral elíptica incompleta Π es un caso especial de la función de Lauricella F _D con tres variables:

${\displaystyle \Pi (n,\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}=\sin(\phi )\,F_{D}^{(3)}({\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}};n\sin ^{2}\phi ,\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi ),\qquad |\operatorname {Re} \phi |<{\frac {\pi }{2}}~.}$

Soluciones de suma finita deFD

Caso 1: , un entero positivo ${\displaystyle a>c}$ ${\displaystyle a-c}$

Se puede relacionar FD _con la función Carlson R mediante ${\displaystyle R_{n}}$

${\displaystyle F_{D}(a,{\overline {b}},c,{\overline {z}})=R_{a-c}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})\cdot \prod _{i}(z_{i}^{*})^{b_{i}^{*}}={\frac {\Gamma (a-c+1)\Gamma (b^{*})}{\Gamma (a-c+b^{*})}}\cdot D_{a-c}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})\cdot \prod _{i}(z_{i}^{*})^{b_{i}^{*}}}$

con la suma iterativa

${\displaystyle D_{n}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{N}b_{i}^{*}\cdot (z_{i}^{*})^{k}\right)\cdot D_{k-i}}$y ${\displaystyle D_{0}=1}$

donde se puede aprovechar que la función R de Carlson tiene una representación exacta (ver ^[1] para más información). ${\displaystyle n>0}$

Los vectores se definen como

${\displaystyle {\overline {b^{*}}}=[{\overline {b}},c-\sum _{i}b_{i}]}$

${\displaystyle {\overline {z^{*}}}=[{\frac {1}{1-z_{1}}},\ldots ,{\frac {1}{1-z_{N-1}}},1]}$

donde la longitud de y es , mientras que los vectores y tienen longitud . ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle {\overline {b}}}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle {\overline {z^{*}}}}$ ${\displaystyle {\overline {b^{*}}}}$ ${\displaystyle N}$

Caso 2: , un entero positivo ${\displaystyle c>a}$ ${\displaystyle c-a}$

En este caso también existe una forma analítica conocida, pero es bastante complicada de escribir y requiere varios pasos. Véase ^[2] para obtener más información.

Referencias

1. Glüsenkamp, ​​T. (2018). "Tratamiento probabilístico de la incertidumbre a partir del tamaño finito de datos de Monte Carlo ponderados". EPJ Plus . 133 (6): 218. arXiv : 1712.01293 . Código Bibliográfico :2018EPJP..133..218G. doi :10.1140/epjp/i2018-12042-x. S2CID  125665629.
2. Tan, J.; Zhou, P. (2005). "Sobre las representaciones de suma finita de las funciones de Lauricella FD". Avances en Matemática Computacional . 23 (4): 333–351. doi :10.1007/s10444-004-1838-0. S2CID  7515235.

• Apelar, Paul ; Campé de Fériet, Joseph (1926). Funciones hipergéométriques e hiperesféricas; Polynômes d'Hermite (en francés). París: Gauthier-Villars. JFM  52.0361.13.(ver pág. 114)
• Exton, Harold (1976). Funciones hipergeométricas múltiples y aplicaciones . Matemáticas y sus aplicaciones. Chichester, Reino Unido: Halsted Press, Ellis Horwood Ltd. ISBN 0-470-15190-0.Sr. 0422713  .
• Lauricella, Giuseppe (1893). "Sulle funzioni ipergeometriche a più variabili". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (en italiano). 7 (T1): 111-158. doi :10.1007/BF03012437. JFM  25.0756.01. S2CID  122316343.
• Saran, Shanti (1954). "Funciones hipergeométricas de tres variables". Ganita . 5 (1): 77–91. ISSN  0046-5402. MR  0087777. Zbl  0058.29602.(corrigendum 1956 en Ganita 7 , p. 65)
• Slater, Lucy Joan (1966). Funciones hipergeométricas generalizadas . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X.Sr. 0201688  .(Existe una edición de bolsillo de 2008 con ISBN 978-0-521-09061-2 ) 
• Srivastava, Hari M.; Karlsson, Per W. (1985). Series hipergeométricas gaussianas múltiples . Matemáticas y sus aplicaciones. Chichester, Reino Unido: Halsted Press, Ellis Horwood Ltd. ISBN 0-470-20100-2.Sr. 0834385  .(existe otra edición con ISBN 0-85312-602-X ) 

• Ronald M. Aarts. "Funciones de lauricella". MundoMatemático .