En matemáticas , la transformada de rayos X (también llamada transformada de rayos [1] o transformada de John ) es una transformada integral introducida por Fritz John en 1938 [2] que es una de las piedras angulares de la geometría integral moderna . Está muy relacionada con la transformada de Radon , y coincide con ella en dos dimensiones. En dimensiones superiores, la transformada de rayos X de una función se define integrando sobre líneas en lugar de sobre hiperplanos como en la transformada de Radon. La transformada de rayos X deriva su nombre de la tomografía de rayos X (utilizada en tomografías computarizadas ) porque la transformada de rayos X de una función ƒ representa los datos de atenuación de una exploración tomográfica a través de un medio no homogéneo cuya densidad está representada por la función ƒ . Por lo tanto, la inversión de la transformada de rayos X es de importancia práctica porque permite reconstruir una densidad desconocida ƒ a partir de sus datos de atenuación conocidos.
En detalle, si ƒ es una función continua con soporte compacto en el espacio euclidiano R n , entonces la transformada de rayos X de ƒ es la función Xƒ definida en el conjunto de todas las líneas en R n por
donde x 0 es un punto inicial en la línea y θ es un vector unitario en R n que da la dirección de la línea L . La última integral no se considera en el sentido orientado: es la integral con respecto a la medida de Lebesgue unidimensional en la línea euclidiana L .
La transformada de rayos X satisface una ecuación de onda ultrahiperbólica llamada ecuación de John .
La función hipergeométrica gaussiana o ordinaria se puede escribir como una transformada de rayos X. (Gelfand, Gindikin y Graev 2003, 2.1.2).
