En matemáticas , una rama principal es una función que selecciona una rama ("sección") de una función multivaluada . En la mayoría de los casos, esto se aplica a funciones definidas en el plano complejo .
Las ramas principales se utilizan en la definición de muchas funciones trigonométricas inversas , como la selección para definir eso
o eso
Una función de rama principal más familiar, limitada a números reales, es la de un número real positivo elevado a la potencia de 1/2 .
Por ejemplo, tomemos la relación y = x 1/2 , donde x es cualquier número real positivo.
Esta relación puede satisfacerse con cualquier valor de y igual a una raíz cuadrada de x (ya sea positiva o negativa). Por convención, √ x se utiliza para denotar la raíz cuadrada positiva de x .
En este caso, la función de raíz cuadrada positiva se toma como la rama principal de la relación multivaluada x 1/2 .
Una forma de ver una rama principal es observar específicamente la función exponencial y el logaritmo , tal como se define en el análisis complejo .
La función exponencial tiene un solo valor, donde e z se define como:
dónde .
Sin embargo, la naturaleza periódica de las funciones trigonométricas involucradas deja claro que el logaritmo no está determinado de manera tan única. Una forma de ver esto es mirar lo siguiente:
y
donde k es cualquier número entero y atan2 continúa los valores de la función arctan(b/a) desde su rango de valores principal , correspondiente al rango de valores principal de la función arg(z) , cubriendo los cuatro cuadrantes en el plano complejo .
Cualquier número log z definido por dichos criterios tiene la propiedad de que e log z = z .
De esta manera, la función logarítmica es una función multivalor (a menudo denominada "multifunción" en el contexto del análisis complejo). Un corte de rama, generalmente a lo largo del eje real negativo, puede limitar la parte imaginaria de modo que quede entre −π y π . Estos son los valores principales elegidos .
Esta es la rama principal de la función de registro. A menudo se define utilizando una letra mayúscula, Log z .
![{\displaystyle \arcsin :[-1,+1]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0a6e18f8a9bd3dcab650be7fb50552337076b4)
![{\displaystyle \arccos :[-1,+1]\rightarrow [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38aab40eba8abd0f6c2ba327a69d5e9fd40c8574)
![{\displaystyle (-\pi /2,\;\pi /2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d2a7d892fc2a2772c0f95dcf140e4a3953d9b5)
![{\displaystyle (-\pi ,\;\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d42d585d0cc7e452cd100efa4127cc28bedceb)