En matemáticas , una rama principal es una función que selecciona una rama ("segmento") de una función multivaluada . En la mayoría de los casos, esto se aplica a funciones definidas en el plano complejo .
Las ramas principales se utilizan en la definición de muchas funciones trigonométricas inversas , como la selección para definir que
o eso
Una función de rama principal más familiar, limitada a números reales, es la de un número real positivo elevado a la potencia de 1/2 .
Por ejemplo, tomemos la relación y = x 1/2 , donde x es cualquier número real positivo.
Esta relación se puede satisfacer con cualquier valor de y igual a una raíz cuadrada de x (ya sea positiva o negativa). Por convención, se utiliza √ x para indicar la raíz cuadrada positiva de x .
En este caso, la función raíz cuadrada positiva se toma como la rama principal de la relación multivaluada x 1/2 .
Una forma de ver una rama principal es mirar específicamente la función exponencial y el logaritmo , tal como se define en el análisis complejo .
La función exponencial es univaluada, donde e z se define como:
dónde .
Sin embargo, la naturaleza periódica de las funciones trigonométricas implicadas deja claro que el logaritmo no está determinado de manera tan unívoca. Una forma de comprobarlo es observar lo siguiente:
y
donde k es cualquier entero y atan2 continúa los valores de la función arctan(b/a) desde su rango de valores principales , correspondiente a dentro del rango de valores principales de la función arg(z) , cubriendo los cuatro cuadrantes en el plano complejo.
Cualquier número log z definido por tales criterios tiene la propiedad de que e log z = z .
De esta manera, la función logarítmica es una función multivaluada (a menudo denominada "multifunción" en el contexto del análisis complejo). Un corte de rama, generalmente a lo largo del eje real negativo, puede limitar la parte imaginaria de modo que se encuentre entre −π y π . Estos son los valores principales elegidos .
Esta es la rama principal de la función logarítmica. A menudo se define con una letra mayúscula, Log z .
![{\displaystyle \arcsin :[-1,+1]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0a6e18f8a9bd3dcab650be7fb50552337076b4)
![{\displaystyle \arccos :[-1,+1]\rightarrow [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38aab40eba8abd0f6c2ba327a69d5e9fd40c8574)
![{\displaystyle (-\pi /2,\;\pi /2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d2a7d892fc2a2772c0f95dcf140e4a3953d9b5)
![{\displaystyle (-\pi ,\;\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d42d585d0cc7e452cd100efa4127cc28bedceb)