Función hipergeométrica generalizada

Familia de series de potencias en matemáticas

Gráfico de la función hipergeométrica generalizada pFq(abz) con a=(2,4,6,8) y b=(2,3,5,7,11) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

En matemáticas , una serie hipergeométrica generalizada es una serie de potencias en la que la relación de coeficientes sucesivos indexados por n es una función racional de n . La serie, si es convergente, define una función hipergeométrica generalizada , que luego puede definirse sobre un dominio más amplio del argumento por continuación analítica . La serie hipergeométrica generalizada a veces se denomina simplemente serie hipergeométrica, aunque este término también se refiere a veces simplemente a la serie hipergeométrica gaussiana . Las funciones hipergeométricas generalizadas incluyen la función hipergeométrica (gaussiana) y la función hipergeométrica confluente como casos especiales, que a su vez tienen muchas funciones especiales particulares como casos especiales, como las funciones elementales , las funciones de Bessel y los polinomios ortogonales clásicos .

Notación

Una serie hipergeométrica se define formalmente como una serie de potencias.

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}z+\beta _{2}z^{2}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}\beta _{n}z^{n}}$

en la que la relación de coeficientes sucesivos es una función racional de n . Es decir,

${\displaystyle {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {A(n)}{B(n)}}}$

donde A ( n ) y B ( n ) son polinomios en n .

Por ejemplo, en el caso de la serie de la función exponencial ,

${\displaystyle 1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

tenemos:

${\displaystyle \beta _{n}={\frac {1}{n!}},\qquad {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {1}{n+1}}.}$

Por lo tanto, esto satisface la definición con A ( n ) = 1 y B ( n ) = n + 1 .

Se acostumbra factorizar el término principal, por lo que se supone que β ₀ es 1. Los polinomios se pueden factorizar en factores lineales de la forma ( a _j  +  n ) y ( b _k  +  n ) respectivamente, donde a _j y b _k son números complejos .

Por razones históricas, se supone que (1 +  n ) es un factor de B . Si este no es ya el caso, entonces tanto A como B pueden multiplicarse por este factor; el factor se cancela, por lo que los términos no cambian y no hay pérdida de generalidad.

La relación entre coeficientes consecutivos ahora tiene la forma

${\displaystyle {\frac {c(a_{1}+n)\cdots (a_{p}+n)}{d(b_{1}+n)\cdots (b_{q}+n)(1+n)}}}$,

donde c y d son los coeficientes principales de A y B. La serie tiene entonces la forma

${\displaystyle 1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {cz}{d}}+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {(a_{1}+1)\cdots (a_{p}+1)}{(b_{1}+1)\cdots (b_{q}+1)\cdot 2}}\left({\frac {cz}{d}}\right)^{2}+\cdots }$,

o bien, escalando z por el factor apropiado y reordenando,

${\displaystyle 1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a_{1}(a_{1}+1)\cdots a_{p}(a_{p}+1)}{b_{1}(b_{1}+1)\cdots b_{q}(b_{q}+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots }$.

Esta tiene la forma de una función generadora exponencial . Esta serie se suele denotar por

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)}$

o

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{q}\end{matrix}};z\right].}$

Utilizando el factorial ascendente o símbolo de Pochhammer

${\displaystyle {\begin{aligned}(a)_{0}&=1,\\(a)_{n}&=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1),&&n\geq 1\end{aligned}}}$

Esto se puede escribir

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\cdots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\cdots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

(Tenga en cuenta que este uso del símbolo Pochhammer no es estándar; sin embargo, es el uso estándar en este contexto).

Terminología

Cuando todos los términos de la serie están definidos y esta tiene un radio de convergencia distinto de cero , entonces la serie define una función analítica . Dicha función, y sus continuaciones analíticas , se denomina función hipergeométrica .

El caso en que el radio de convergencia es 0 produce muchas series interesantes en matemáticas, por ejemplo, la función gamma incompleta tiene la expansión asintótica

${\displaystyle \Gamma (a,z)\sim z^{a-1}e^{-z}\left(1+{\frac {a-1}{z}}+{\frac {(a-1)(a-2)}{z^{2}}}+\cdots \right)}$

que podría escribirse z ^{a −1} e ^−z  ₂ F ₀ (1− a ,1;;− z ⁻¹ ). Sin embargo, el uso del término serie hipergeométrica suele restringirse al caso en que la serie define una función analítica real.

La serie hipergeométrica ordinaria no debe confundirse con la serie hipergeométrica básica , que, a pesar de su nombre, es una serie bastante más complicada y recóndita. La serie "básica" es el análogo q de la serie hipergeométrica ordinaria. Existen varias generalizaciones de este tipo de la serie hipergeométrica ordinaria, incluidas las que provienen de funciones esféricas zonales en espacios simétricos de Riemann .

La serie sin el factor n ! en el denominador (sumada sobre todos los números enteros n , incluidos los negativos) se llama serie hipergeométrica bilateral .

Condiciones de convergencia

Hay ciertos valores de a _j y b _k para los cuales el numerador o el denominador de los coeficientes es 0.

• Si cualquier a _j es un entero no positivo (0, −1, −2, etc.) entonces la serie sólo tiene un número finito de términos y es, de hecho, un polinomio de grado − a _j .
• Si cualquier b _k es un entero no positivo (excepto el caso anterior con b _k < a _j ) entonces los denominadores se convierten en 0 y la serie no está definida.

Excluyendo estos casos, se puede aplicar la prueba de razón para determinar el radio de convergencia.

• Si p < q + 1 entonces la relación de coeficientes tiende a cero. Esto implica que la serie converge para cualquier valor finito de z y, por lo tanto, define una función completa de z . Un ejemplo es la serie de potencias para la función exponencial.
• Si p = q + 1 entonces la relación de coeficientes tiende a uno. Esto implica que la serie converge para | z | < 1 y diverge para | z | > 1. Es más difícil determinar si converge para | z | = 1. Se puede emplear la continuación analítica para valores mayores de z .
• Si p > q + 1, entonces la relación de coeficientes crece sin límite. Esto implica que, además de z  = 0, la serie diverge. Se trata entonces de una serie divergente o asintótica, o puede interpretarse como una abreviatura simbólica de una ecuación diferencial que la suma satisface formalmente.

La cuestión de la convergencia para p = q +1 cuando z está en el círculo unitario es más difícil. Se puede demostrar que la serie converge absolutamente en z = 1 si

${\displaystyle \Re \left(\sum b_{k}-\sum a_{j}\right)>0}$.

Además, si p = q +1 y z es real, entonces se cumple el siguiente resultado de convergencia de Quigley et al. (2013): ${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}a_{i}\geq \sum _{j=1}^{q}b_{j}}$

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow 1}(1-z){\frac {d\log(_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z^{p}))}{dz}}=\sum _{i=1}^{p}a_{i}-\sum _{j=1}^{q}b_{j}}$.

Propiedades básicas

De la definición se desprende inmediatamente que el orden de los parámetros a _j o el orden de los parámetros b _k se pueden cambiar sin cambiar el valor de la función. Además, si alguno de los parámetros a _j es igual a alguno de los parámetros b _k , entonces los parámetros coincidentes se pueden "anular", con ciertas excepciones cuando los parámetros son números enteros no positivos. Por ejemplo,

${\displaystyle \,{}_{2}F_{1}(3,1;1;z)=\,{}_{2}F_{1}(1,3;1;z)=\,{}_{1}F_{0}(3;;z)}$.

Esta cancelación es un caso especial de una fórmula de reducción que puede aplicarse siempre que un parámetro en la fila superior difiera de uno en la fila inferior en un entero no negativo. ^{[1] [2]}

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c+n\\b_{1},\ldots ,b_{B},c\end{array}};z\right]=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {z^{j}}{(c)_{j}}}{\frac {\prod _{i=1}^{A}(a_{i})_{j}}{\prod _{i=1}^{B}(b_{i})_{j}}}{}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+j,\ldots ,a_{A}+j\\b_{1}+j,\ldots ,b_{B}+j\end{array}};z\right]}$

Transformada integral de Euler

La siguiente identidad básica es muy útil ya que relaciona las funciones hipergeométricas de orden superior en términos de integrales sobre las de orden inferior ^[3]

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt}$

Diferenciación

La función hipergeométrica generalizada satisface

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]{\text{ for }}b_{k}\neq 1\end{aligned}}}$

Además,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}$

Combinando estos se obtiene una ecuación diferencial satisfecha por w = _p F _q :

${\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w}$.

Función contigua e identidades relacionadas

Tome el siguiente operador:

${\displaystyle \vartheta =z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}.}$

A partir de las fórmulas de diferenciación dadas anteriormente, el espacio lineal abarcado por

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),\vartheta \;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)}$

contiene cada uno de

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),}$

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q};z),}$

${\displaystyle z\;{}_{p}F_{q}(a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1;b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1;z),}$

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).}$

Como el espacio tiene dimensión 2, tres de estas funciones p + q +2 son linealmente dependientes: ^{[4] [5]}

${\displaystyle (a_{i}-b_{j}+1){}_{p}F_{q}(...a_{i}..;...,b_{j}...;z)=a_{i}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}+1..;...,b_{j}...;z)-(b_{j}-1){}_{p}F_{q}(...a_{i}..;...,b_{j}-1...;z).}$

${\displaystyle (a_{i}-a_{j}){}_{p}F_{q}(...a_{i}..a_{j}..;.....;z)=a_{i}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}+1..a_{j}..;......;z)-a_{j}{}_{p}F_{q}(...a_{i}..a_{j}+1...;....;z).}$

${\displaystyle b_{j}{}_{p}F_{q}(...a_{i}....;..b_{j}...;z)=a_{i}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}+1....;..b_{j}+1...;z)+(b_{j}-a_{i}){}_{p}F_{q}(...a_{i}....;..b_{j}+1...;z).}$

${\displaystyle (a_{i}-1){}_{p}F_{q}(...a_{i}..a_{j};...;z)=(a_{i}-a_{j}-1){}_{p}F_{q}(...a_{i}-1..a_{j};...;z)+a_{j}{}_{p}F_{q}(...a_{i}-1..a_{j}+1;...;z).}$

Estas dependencias se pueden escribir para generar una gran cantidad de identidades que involucren . ${\displaystyle {}_{p}F_{q}}$

Por ejemplo, en el caso más simple y no trivial,

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a;z)=(1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)=({\frac {\vartheta }{a-1}}+1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

${\displaystyle z\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)=(a\vartheta )\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

Entonces

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)-\;{}_{0}F_{1}(;a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)}$.

Éste y otros ejemplos importantes,

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {z}{b}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {bz}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-a)z}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

se puede utilizar para generar expresiones de fracciones continuas conocidas como fracción continua de Gauss .

De manera similar, al aplicar las fórmulas de diferenciación dos veces, existen funciones contenidas en ${\displaystyle {\binom {p+q+3}{2}}}$

${\displaystyle \{1,\vartheta ,\vartheta ^{2}\}\;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),}$

que tiene dimensión tres, por lo que cuatro de ellas son linealmente dependientes. Esto genera más identidades y el proceso puede continuar. Las identidades así generadas pueden combinarse entre sí para producir otras nuevas de una manera diferente.

Una función que se obtiene sumando ±1 a exactamente uno de los parámetros a _j , b _k en

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)}$

se llama contiguo a

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).}$

Utilizando la técnica descrita anteriormente, se puede dar una identidad que relacione y sus dos funciones contiguas, seis identidades que relacionen y dos cualesquiera de sus cuatro funciones contiguas, y se han encontrado quince identidades que relacionen y dos cualesquiera de sus seis funciones contiguas. (La primera se derivó en el párrafo anterior. Las últimas quince fueron dadas por Gauss en su artículo de 1812.) ${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$ ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$ ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

Identidades

En los siglos XIX y XX se descubrieron otras identidades de funciones hipergeométricas. Una contribución del siglo XX a la metodología de demostración de estas identidades es el método de Egorychev .

Teorema de Saalschütz

El teorema de Saalschütz ^[6] (Saalschütz 1890) es

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.}$

Para ampliar este teorema, consulte un artículo de investigación de Rakha y Rathie.

La identidad de Dixon

La identidad de Dixon, ^{[7] demostrada por primera vez por Dixon (1902), da la suma de un} ₃ F ₂ bien equilibrado en 1:

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.}$

Para generalizar la identidad de Dixon, véase un artículo de Lavoie, et al.

Fórmula de Dougall

La fórmula de Dougall ( Dougall  1907) da la suma de una serie muy bien equilibrada que es terminal y 2-equilibrada.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&d&e&-m\\&{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}}{(1+a-b)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}}}.\end{aligned}}}$

Terminante significa que m es un entero no negativo y 2-balanceado significa que

${\displaystyle 1+2a=b+c+d+e-m.}$

Muchas de las otras fórmulas para valores especiales de funciones hipergeométricas pueden derivarse de ésta como casos especiales o límite.

Generalización de las transformaciones e identidades de Kummer para2F2

Identidad 1.

${\displaystyle e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)}$

dónde

${\displaystyle f={\frac {d(a-c+1)}{a-d}}}$;

Identidad 2.

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right),}$

que vincula las funciones de Bessel a ₂ F ₂ ; esto se reduce a la segunda fórmula de Kummer para b = 2 a :

Identidad 3.

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{1}F_{1}(a,2a,x)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)}$.

Identidad 4.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}},\end{aligned}}}$

que es una suma finita si bd es un entero no negativo.

La relación de Kummer

La relación de Kummer es

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).}$

La fórmula de Clausen

La fórmula de Clausen

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}}$

Fue utilizado por de Branges para demostrar la conjetura de Bieberbach .

Casos especiales

Muchas de las funciones especiales en matemáticas son casos especiales de la función hipergeométrica confluente o de la función hipergeométrica ; consulte los artículos correspondientes para ver ejemplos.

La serie0F0

Como se señaló anteriormente, . La ecuación diferencial para esta función es , que tiene soluciones donde k es una constante. ${\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=e^{z}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=w}$ ${\displaystyle w=ke^{z}}$

La serie0F1

Las funciones de la forma se denominan funciones límite hipergeométricas confluentes y están estrechamente relacionadas con las funciones de Bessel . ${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$

La relación es:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

${\displaystyle I_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

La ecuación diferencial para esta función es

${\displaystyle w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}}$

o

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.}$

Cuando a no es un entero positivo, la sustitución

${\displaystyle w=z^{1-a}u,}$

da una solución linealmente independiente

${\displaystyle z^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z),}$

Entonces la solución general es

${\displaystyle k\;{}_{0}F_{1}(;a;z)+lz^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z)}$

donde k , l son constantes. (Si a es un entero positivo, la solución independiente viene dada por la función de Bessel apropiada del segundo tipo).

Un caso especial es:

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cos z}$

La serie1F0

Un caso importante es:

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.}$

La ecuación diferencial para esta función es

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,}$

o

${\displaystyle (1-z){\frac {dw}{dz}}=aw,}$

que tiene soluciones

${\displaystyle w=k(1-z)^{-a}}$

donde k es una constante.

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(1;;z)=\sum _{n\geqslant 0}z^{n}=(1-z)^{-1}}$es la serie geométrica con razón z y coeficiente 1.

${\displaystyle z~{}_{1}F_{0}(2;;z)=\sum _{n\geqslant 0}nz^{n}=z(1-z)^{-2}}$También es útil.

La serie1F1

Las funciones de la forma se denominan funciones hipergeométricas confluentes de primer tipo , también escritas como . La función gamma incompleta es un caso especial. ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$ ${\displaystyle M(a;b;z)}$ ${\displaystyle \gamma (a,z)}$

La ecuación diferencial para esta función es

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right){\frac {dw}{dz}}}$

o

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0.}$

Cuando b no es un entero positivo, la sustitución

${\displaystyle w=z^{1-b}u,}$

da una solución linealmente independiente

${\displaystyle z^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z),}$

Entonces la solución general es

${\displaystyle k\;{}_{1}F_{1}(a;b;z)+lz^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)}$

donde k , l son constantes.

Cuando a es un entero no positivo, − n es un polinomio. Hasta factores constantes, estos son los polinomios de Laguerre . Esto implica que los polinomios de Hermite también se pueden expresar en términos de ₁ F _{1 .} ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(-n;b;z)}$

La serie1F2

Las relaciones con otras funciones se conocen solo para ciertas combinaciones de parámetros.

La función es la antiderivada del seno cardinal . Con valores modificados de y , se obtiene la antiderivada de . ^[8] ${\displaystyle x\;{}_{1}F_{2}\left({\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{4}}\right)}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle \sin(x^{\beta })/x^{\alpha }}$

La función de Lommel es . ^[9] ${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {z^{\mu +1}}{(\mu -\nu +1)(\mu +\nu +1)}}{}_{1}F_{2}(1;{\frac {\mu }{2}}-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}},{\frac {\mu }{2}}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}})}$

La serie2F0

La función hipergeométrica confluente de segundo tipo se puede escribir como: ^[10]

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\;{}_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;;-{\frac {1}{z}}\right).}$

La serie2F1

Históricamente, las más importantes son las funciones de la forma . Estas a veces se denominan funciones hipergeométricas de Gauss , hipergeométricas estándar clásicas o, a menudo, simplemente funciones hipergeométricas. El término función hipergeométrica generalizada se utiliza para las funciones _p F _q si existe riesgo de confusión. Esta función fue estudiada en detalle por primera vez por Carl Friedrich Gauss , quien exploró las condiciones para su convergencia. ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

La ecuación diferencial para esta función es

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+c\right){\frac {dw}{dz}}}$

o

${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$

Se conoce como ecuación diferencial hipergeométrica . Cuando c no es un entero positivo, la sustitución

${\displaystyle w=z^{1-c}u}$

da una solución linealmente independiente

${\displaystyle z^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z),}$

Entonces la solución general para | z | < 1 es

${\displaystyle k\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+lz^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$

donde k , l son constantes. Se pueden derivar diferentes soluciones para otros valores de z . De hecho, hay 24 soluciones, conocidas como soluciones de Kummer , derivables mediante varias identidades, válidas en diferentes regiones del plano complejo.

Cuando a es un entero no positivo, − n ,

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,b;c;z)}$

es un polinomio. Hasta factores constantes y escala, estos son los polinomios de Jacobi . Varias otras clases de polinomios ortogonales, hasta factores constantes, son casos especiales de polinomios de Jacobi, por lo que también se pueden expresar utilizando ₂ F _{1. Esto incluye} polinomios de Legendre y polinomios de Chebyshev .

Se puede expresar una amplia gama de integrales de funciones elementales utilizando la función hipergeométrica, por ejemplo:

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\sqrt {1+y^{\alpha }}}\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2+\alpha }}\left\{\alpha \;{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{\alpha }},{\tfrac {1}{2}};1+{\tfrac {1}{\alpha }};-x^{\alpha }\right)+2{\sqrt {x^{\alpha }+1}}\right\},\qquad \alpha \neq 0.}$

La serie3F0

Los polinomios de Mott se pueden escribir como: ^[11]

${\displaystyle s_{n}(x)=(-x/2)^{n}{}_{3}F_{0}(-n,{\frac {1-n}{2}},1-{\frac {n}{2}};;-{\frac {4}{x^{2}}}).}$

La serie3F2

La función

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)}$

es el dilogaritmo ^[12]

La función

${\displaystyle Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)}$

es un polinomio de Hahn .

La serie4F3

La función

${\displaystyle p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left(-n,a+b+c+d+n-1,a-t,a+t;a+b,a+c,a+d;1\right)}$

es un polinomio de Wilson .

Todas las raíces de una ecuación de quinto grado se pueden expresar en términos de radicales y el radical Bring , que es la solución real de . El radical Bring se puede escribir como: ^[13] ${\displaystyle x^{5}+x+a=0}$

${\displaystyle \operatorname {BR} (t)=-a\;{}_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125a^{4}}{256}}\right).}$

La serieq+1Fq

Las funciones

${\displaystyle \operatorname {Li} _{q}(z)=z\;{}_{q+1}F_{q}\left(1,1,\ldots ,1;2,2,\ldots ,2;z\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-p}(z)=z\;{}_{p}F_{p-1}\left(2,2,\ldots ,2;1,1,\ldots ,1;z\right)}$

para y son el polilogaritmo . ${\displaystyle q\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$

Para cada entero n ≥2, las raíces del polinomio x ⁿ − x +t se pueden expresar como una suma de como máximo N −1 funciones hipergeométricas de tipo _{n +1} F _n , que siempre se pueden reducir eliminando al menos un par de parámetros a y b . ^[13]

Generalizaciones

La función hipergeométrica generalizada está vinculada a la función G de Meijer y a la función E de MacRobert . Las series hipergeométricas fueron generalizadas a varias variables, por ejemplo por Paul Emile Appell y Joseph Kampé de Fériet ; pero una teoría general comparable tardó mucho en surgir. Se encontraron muchas identidades, algunas bastante notables. Una generalización, los análogos de la serie q , llamados series hipergeométricas básicas , fueron dadas por Eduard Heine a finales del siglo XIX. Aquí, las razones consideradas de términos sucesivos, en lugar de una función racional de n , son una función racional de q ⁿ . Otra generalización, las series hipergeométricas elípticas , son aquellas series donde la razón de los términos es una función elíptica (una función meromórfica doblemente periódica ) de n .

Durante el siglo XX, esta fue una área fructífera de las matemáticas combinatorias, con numerosas conexiones con otros campos. Hay varias definiciones nuevas de funciones hipergeométricas generales , por Aomoto, Israel Gelfand y otros; y aplicaciones, por ejemplo, a la combinatoria de la disposición de una serie de hiperplanos en el complejo N -espacio (véase disposición de hiperplanos ).

Las funciones hipergeométricas especiales se dan como funciones esféricas zonales en espacios simétricos de Riemann y grupos de Lie semisimples . Su importancia y papel se pueden entender a través del siguiente ejemplo: la serie hipergeométrica ₂ F ₁ tiene como caso especial los polinomios de Legendre , y cuando se consideran en forma de armónicos esféricos , estos polinomios reflejan, en cierto sentido, las propiedades de simetría de la biesfera o, equivalentemente, las rotaciones dadas por el grupo de Lie SO(3) . En las descomposiciones de productos tensoriales de representaciones concretas de este grupo se cumplen los coeficientes de Clebsch–Gordan , que se pueden escribir como serie hipergeométrica ₃ F _{2 .}

Las series hipergeométricas bilaterales son una generalización de las funciones hipergeométricas donde se suman todos los números enteros, no sólo los positivos.

Las funciones de Fox-Wright son una generalización de funciones hipergeométricas generalizadas donde los símbolos de Pochhammer en la expresión de la serie se generalizan a funciones gamma de expresiones lineales en el índice n .

Véase también

• Serie Appell
• Serie Humbert
• Función del campamento de feria
• Serie hipergeométrica de Lauricella

Notas

1. Prudnikov, AP; Brychkov, Yu. A.; Marichev, OI (1990). Integrales y series, volumen 3: Más funciones especiales . Gordon y Breach. pág. 439.
2. Karlsson, Per W. (1970). "Funciones hipergeométricas con diferencias de parámetros integrales" (PDF) . J. Math. Phys . 12 (2): 270–271. doi :10.1063/1.1665587.
3. (Slater 1966, Ecuación (4.1.2))
4. Gottschalk, JE; Maslen, EN (1988). "Fórmulas de reducción para funciones hipergeométricas generalizadas de una variable". J. Phys. A: Math. Gen . 21 (9): 1983–1998. Bibcode :1988JPhA...21.1983G. doi :10.1088/0305-4470/21/9/015.
5. Rainville, D. (1945). "Las relaciones de funciones contiguas para pFq con aplicación a la J de Bateman y la H de Rice". Bull. Amer. Math. Soc . 51 (10): 714–723. doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08425-0 .
6. Véase (Slater 1966, Sección 2.3.1) o (Bailey 1935, Sección 2.2) para una prueba.
7. Véase (Bailey 1935, Sección 3.1) para una prueba detallada. Una prueba alternativa se encuentra en (Slater 1966, Sección 2.3.3)
8. Victor Nijimbere, Ural Math J vol 3(1) y https://arxiv.org/abs/1703.01907 (2017)
9. "Tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel" de Watson (1966), Sección 10.7, Ecuación (10)
10. "DLMF: §13.6 Relaciones con otras funciones ‣ Funciones de Kummer ‣ Capítulo 13 Funciones hipergeométricas confluentes". dlmf.nist.gov .
11. Véase Erdélyi et al. 1955.
12. Candan, Cagatay. "Una prueba simple de F(1,1,1;2,2;x)=dilog(1-x)/x" (PDF) .
13. Glasser, M. Lawrence (1994). "La fórmula cuadrática hecha difícil: un enfoque menos radical para resolver ecuaciones". arXiv : math.CA/9411224 .

Referencias

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• Yoshida, Masaaki (1997). Funciones hipergeométricas, mi amor: interpretaciones modulares de espacios de configuración . Braunschweig/Wiesbaden: Friedr. Vieweg y Sohn. ISBN 978-3-528-06925-4.Señor 1453580  .

Enlaces externos

• El libro "A = B", este libro se puede descargar gratuitamente de Internet.
• MundoMatemático
  • Weisstein, Eric W. "Función hipergeométrica generalizada". MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Función hipergeométrica". MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Función hipergeométrica confluente de primer tipo". MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Función límite hipergeométrica confluente". MathWorld .